MOUVEMENT

On trouverait de même le point O3 qiii coïncidera avec le point 0'" en faisant au point 0, un angle TjOjOj = w'' — T'O'W, et en prenant A =0"0'".

Le mouvement de la figure mobile peut donc se définir par le roulement du polygone OOiOjOs.... lié invariablement à cette figure, sur le polygone 00'0"0'"... fixe dans le plan. A la limite, ces polygones se changent en des courbes, dont Tune roule sans glisser sur l'autre ; et l'on parvient ainsi à ce théorème : Tout mouvement continu d'une figure plane dans son plan est un mouvement épicycloïdal.

Lorsqu'à la limite, les côtés 00', O'O",' sont infiniment petits, les angles TO'O", T'0"0'",... sont les angles de contingence àt la courbe fixe , et les angles T^O^O,, Tfifi^j sont les angles de

contingence de la courbe mobile. A un instant quelconque, la courbe mobile tourne autour de son point de contact avec la courbe fixe, d'un angle qui est la somme des angles de contingence des deux courbes. On peut déduire de là une relation entre la vitesse angulaire de la rotation instantanée, et la vitesse linéaire avec laquelle le point géométrique de contact se déplace le long des deux courbes. Soit R=OA le rayon de courbure de la courbe fixe OB, p = OCle rayon de courbure de la courbe mobile OD- Soit V la vitesse avec laquelle le point géo- Fig. H8. métrique de contact se déplace le long des

deux courbes constamment tangentes l'une à l'autre. Dans un temps infiniment petit G, l'arc 00' =00^, parcouru sur chacune des deux courbes par le point de contact, sera égal à vB] or à cet arc correspond dans la courbe une un angle de contingence égal

à -TT- , et dans la courbe mobile, un angle de contingence égal

. La courbe mobile décrit donc dans le temps un angle total égal à la somme :

vB vB /l ^1\ ^

ÉPICYCLOÏDAL.

La vitesse angulaire u s'obtient en divisant l'angle décrit par le temps 6 mis à le décrire ; donc

Si les courbures des deux courbes étaient dans le même sens, on trouverait de même

ta

ou bien

86. Pour donner un exemple de mouvement épicycloïdai , considérons le mouvement d'une droite AB de longueur constante, dont les extrémités A et B glissent respeclivenient sur deux droites fixes rectangulaires GX, GY. Gherchons comment nous obtiendrons ce mouvement en faisant rouler sur une courbe fixe une courbe liée invariablement à la droite AB.

Nous savons qu'à un instant quelconque le centre instantané de rotation est le point 0, intersection des deux droites AO, BO, élevées aux points A et B perpendiculairement à GX et à GY. Le point ainsi obtenu est le quatrième sommet du rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont G A et GB. La diagonale GO de ce rectangle est égale à l'autre diagonale BA, laquelle est constante par hypothèse. Donc GO est constant, et le lieu des centres instantanés sur le plan est une circonférence DEF décrite du point C comme centre avec un rayon GO égal à la longueur de la droite donnée. Voilà la courbe fixe trouvée.

Pour obtenir la courbe mobile, observons que le cercle circonscrit au rectangle AGBO est constant de forme, car il a pour diamètre la longueur AB qui est constante ; et que ce cercle, ayant son centre au point 1, sur le diamètre GO, est tangent au cercle

HÉCAN. EKS. SPÉCIAL, S" ANX. 10

Fig. 119.

146 MOUVEMENT ÉPICYCLOÏDAL.

fixe DEF. Ce cercle OBCA est la seconde courbe cherchée ; le mouvement deja droite BA s'obtient en effet en faisant rouler la circonférence OBCA sur la circonférence fixe DEF. Le déplacement élémentaire de la figure qui résulte du roulement du premier cercle sur le second, équivaut au déplacement élémentaire en vertu duquel les extrémités de la droite AB glisseraient sur les droites fixes CX, CY ; ces deux déplacements sont en effet deux rotations égales autour d'un même point, à savoir le point de contact des deux circonférences.

On peut observer que tout point de la circonférence mobile OBCA décrit une droite passant par le point C ; que le point I, centre de ce cercle, décrit, autour du point C comme centre, un cercle de diamètre égal à AB ; que tout point de la droite mobile AB décrit une ellipse qui a le point C pour centre, et les droites CX, CY, pour directions de ses axes principaux. Enfin, si l'on appelle v la vitesse avec laquelle le point de contact parcourt Tune ou l'autre des courbes OBCA, OEFD, et w la vitesse angulaire de la courbe mobile au même moment, la formule générale