OC
et par suite
«' + « OC-f-O'C
Et comparant cette proportion à la première, nous en déduisons
La rotation résultante est donc la somme des deux rotations composantes; elle est d'ailleurs de même sens que chacune d'elles.
w ^, 95. Supposons en second lieu
^ >= — ^ que les rotations parallèles soient
- , de sens contraires.
^0 0' Cherchons encore sur la direc-
Fi§- *32. tion 00' un point C qui reste im-
mobile en vertu de la simultanéité des deux déplacements correspondants à chacune des rotations données. Ce point se trouvera sur le prolongement de 00', et du côté de la rotation la plus grande ; il sera défini par l'égalité
wex0C = w'dx0'C, ou par la proportion
OC^û/ 0'C""û)'
Le point C est déterminé par la condition que ses distances aux centres et 0' soient en raison inverse des rotations correspondantes.
Le mouvement résultant est donc une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan du papier et passant par le point G. Appelons û la grandeur de cette rotation unique. Nous déterminerons û en considérant le mouvement du point 0' ; comme il ne reçoit aucun déplacement de la rotation &>', ses déplacements doivent être les mêmes, qu'on le considère comme entraîné par la rotation 6> autour de 0, ou par la rotation û autour de G. Don c
ÛX0'C=:«X00',
et par suite
Mais
a/__ oc w""0'C'
et par suite
OJ
— ft»^ o^c— oc oy
Donc enfin
û = ûi — ûi'.
La rotation résultante est la différence des deux rotations composantes, et elle a le sens de la plus grande.
CAS PARnCULIER DE DEUX ROTATIONS PARALLÈLES, ÉGALES ET CONTRAIRES.
96. Supposons que les deux rotations &> et <ù soient égales , mais contraires. Les formules précédentes deviennent
et
La première équation nous indique que le point G est infiniment éloigné ; car 0' G surpasse OG d'une quantité oon-
OC stante 00' , et pour que le rapport -^7^;- puisse être considéré
comme égal à l'unité) il faut et il suffit que la distance OC soit infiniment grande par rapport à la distance constante 00'. La seconde équation nous apprend que &> est nul ; de sorte que notre méthode nous conduit à un mouvement résiillant qui est une rotation nulle autour d*un^ axe infiniment éloigné.
Nous avons déjà fait pressentir (§ 8i) que ce mouvement particulier était l'équivalent d'une translation. Il est facile de vérifier qu'une translation est la résultante de deux rotations simultanées parallèles, égales et contraires.
Prenons un point M quelconque du plan ; la rotation &> autour de imprime à ce point un déplacement MA, perpendiculaire à
la droite MO, et égal à w0 xMO. La rotation (ù autour de 0' lui imprime un déplacement MB=;wexMO', et le déplacement résultant est représenté par la diagonale MN du parallélogramme B. MANB, construit sur les côtés HA, MB.
N Le triangle MAN a son côté MA perpen-
Fig. 133. diculaire et proportionnel à MO ; le côté
AN = MB, est perpendiculaire et proportionnel à MO'; l'angle MAN est égal à OHO'; par suite le triangle MAN est semblable à OMO', et MN, homologue de 00', lui est proportionnel et normal. Les déplacements résultant des points du système, tous perpendiculaires à une même direction 00', sont parallèles entre eux. On a de plus la proportion
