MF OP

ou MP* = OP xPT, ce qui indique que le triangle GMT est rectangle en M.

Cet exemple suffit pour montrer comment il est possible de déterminer la tangente en un point donné d'une courbe, connaissant la relation générale qui lie Y ordonnée MP de la courbe avec Vab-' scisse OP correspondante. L'équation dont on s'est servi renfermait des infiniment petits du premier et du second ordre et, en outre, des termes finis qui se sont réduits et ont disparu d'eux-mêmes. La solution a été donnée par les termes du premier ordre, et il n'y aurait eu aucune erreur à ci'aindre en effaçant tout de suite le terme

PUOJËGTION D UKE DROITE FINIE.

P^'* comme infiniment petit par rapport aux termes du premier ordre, qui devaient seuls concourir k la solutioi^4;berchée.

Nous supposerons dans ce qui suit quç Ton sache mener des tangentes aux lignes dont on aura à faire usage. La recherche des tangentes aux courbes constitue une branche particulière de Vanalyse qu'il ne serait pas possible de développer ici» Observons, d^ailleurs, que le tracé de la tangente à une courbe peut en général se faire graphiquement et sans calcul. Cette opération graphique donne donc un moyen

MN

indirect de trouver la limite d'un rapport -z?^ de deux grandeurs infiniment petites. '

Avant de passer à la cinématique, nous établirons encore les deux propositions suivantes, dont nous aurons à faire de fréquentes applications.

LEMHE I.

8. La projection orthogonale d*une droite finie sur une direcUon qui fait avec celle droite un angle infiniment petit, est égale à la longueur de la droite, à moins d'un infiniment petit du secondordre.

Soit AB la droite finie ; MN, la direction sur laquelle se fait la projection. Du point A on abaisse ka, et ^ du point B, Bb, perpendiculaires sur MN. La longueur ab .est la projection de AB. — La construction revient à mener par les points A et B deux plans P et Q perpendiculaires h MN, et à prendre les intersections a et 6 de ces plans avec la droite.

Par le point A, menons une droite AC parallèle à MN; elle sera, comme la droite MN, perpendiculaire aux plans P et Q, et percera ce dernier plan en un point G. Joignons G^ et BC ; la droite AG, perpendiculaire au plan Q, est perpendiculaire aux deux droites G&, GB, qui passent par son pied dans ce plan. Donc d une part, la figure Aa^G est un rectangle, et par suite AC = a/^; d'autre part, le triangle ACB est rectangle Ai G, de sorte que AG est la projection orthogonale de la droite AB ^ur une direction AG menée parallèlement à MN parle point A. La projection d'une droite AB sur un axe quelconque MN est donc égale à la ))rojeclion de cette même droite sur tout autre axe parallèle au premier. €ette première partie de la démonstration est générale et ne suppose pas infiniment petit Tangle BAG des deux directions AB, MN. Ceci posé, nous avons à chercher une limite du rapport de AB à sa

Fig. 5.