THÉORÈME DE CORIOLIS

DE L*ACGéLÉRAT10N DANS LE MOUVEMENT RELATIF.

105. La vitesse absolue d'un point dont le mouvement est rapporté à des axes mobiles est, comme nous Pavons vu (§ 44), la résultante de la vitesse relative du point par rapport aux axes, et de la vitesse d'entraînement qu'aurait le point supposé lié aux axes pendant un instant infiniment court ; cette décomposition est toujours vraie, quel que soit le mouvement d'entraînement.

Il n'en est pas de même de l'accélération , et sauf certains cas particuliers que nous étudierons en détail, il n'est pas vrai de dire que l'accélération totale du mouvement absolu d'un point mobile soit la résultante de deux accélérations, dont Tune correspond au mouvement relatif, l'autre au mouvement du point lié aux axes mobiles et entraîné par eux ; pour trouver Taccélération totale du mouvement absolu, il faut composer ensemble trois accélérations, savoir, les deux accélérations qui viennent d'être indiquées, et une troisième accélération, dite complémentaire, que nous allons définir, et qui dépend de la nature du mouvement d'entraînement.

Les axes mobiles forment un système invariable, et par suite (§ 89) le déplacement élémentaire qu'ils subissent peut être décomposé d'une infinité de manières en une translation et une rotation. Mais à un certain moment le point mobile M coïncide avec un point géométrique A du système de comparaison , et le mouvement d'entraînement fait passer ce point géométrique de A en A'; par suite, le mouvement élémentaire d'entraînement du système invariable de comparaison est décomposable en une translation A A', et une rotation autour d'un axe instantanée PP', qu'on peut regarder comme passant parle point A' (fig. 144).

Le mouvement d'entraînement du point A, lié aux axes mobiles, fait décrire à ce point une certaine trajectoire AG ; au bout d'un temps infi^ niment petit d après le passage du point M en A, le point A est parvenu en A'. Menons en A la tangente AB à la trajectoire AC, et prenons AB= v^O, en appelant v^ la vitesse d'entraînement. Joignons BA' ; nous savons (§ 60) que BA' est égal à

I je 6«,

je étant l'accélération totale d'entraînement.

Pendant ce temps, le point mobile Af, qui était en A à l'origine du emps 0, est parvenu en M' sur sa trajectoire relative AD. Et si l'ont désigne par Vr et jV la vitesse et l'accélération du mouvement relatif, nous

174 ACCELERATION

prendrons sur la tangente à la trajectoire relative une longueur AN=:iy6 nous joindrons NM', et nous aurons KM' = | jV®*. Nous trouvons donc sur la figure la vitesse et raccélération d'entraînement, la vitesse et Taccélé-

ralion relatives. Il reste à trouver la vitesse et raccélération absolues.

La trajectoire relative AD subit le mouvement d'entraînement; elle se transporte donc pendant le temps de AD dans la position A' D''; mais ce mouvement peut être décomposé en deux autres : un mouvement de translation, parallèle à AA',,qui amènera la trajectoire relative de la po- Fig. 144. sition AD à la position A' D' ; et un mouve-

ment de rotation autour de Taxe PP', qui la fera pas>er de la position A' D'à la position A'D'^ en faisant décrire à chaque point S de la trajectoire un arc de cercle infiniment petit SU, ayant son centre quelque part en I sur Taxe PP'. Si nous prenons A'H = A' S= AM', le point H sera la position absolue du point mobile M au bout du t^mps ; le point S serait la position vraie du mobile M au bout de ce temps si la rotation autour de Taxe PP' n'existait pas.

Achevons le parallélogramme NABL; les côtés AN, AB, étant respectivement égaux à Vfb et v^ ô,Ia diagonale AL, résultante de ces deux déplacements, sera égale à Vô, Y désignant la vitesse absolue du mobile M'. Joignant donc LH, et appelant j Taccélération totale du mouvement absolu, nous aurons LH= | j 6*.

La droite M' S est égale et parallèle à la droite AA'; sur les drc ies M' S et M' N, construisons un parallélogramme M'NRS; nous aurons RS =M'N, et .NR sera égal et parallèle à A A'.

Joignons enfin RA' et RL ; la figure SRA' n'est autre chose que la figure M'NA transportée parallèlement à elle-même d'une quantité égale à A A'. Donc RA' est égal et parallèle à AN, et par suite à EL; donc LBA' R est un parallélogramme, et LR est égal et parallèleà BA'. Le contour polygonal LRSH se compose de trois côtés, dont les deux premiers LR, RS, sont respectivement égaux et parallèles à BA' et à NM', c'est-à-dire aux lignes qui représentent en direction et on grandeur, au facteur ^ ô< près, l'accélération totale dans le mouvement d'entraînement et diins le mouvement relatif. Le troisième côté SH est un élément de cirroniéiince, normal au plan UA'P conduit parla trajectoire relative et l'axe instantané; et il a pour longueur IH x uO, en appelant (i> la vitesse anguhiire du système de comparaison autour de l'axe PP' ; l'élément IH peut être regardé comme la projection de A'H sur un plan perpendiculaire à PP', et Télément A'H, espace décrit par le point mobile pendant le temps sur sa