DE LA €1?CL0ÏDE

107. Il est facile d'en déduire le i^yon de courbure de la cycloïde MN

décrite par le point B. On sait que raccélération totale estla résultante de

deux accélérations, Tune tangentielle, Tautre normale à la trajectoire,

•et que cette dernière accélération est égale au carré de la vitesse divisé

par le rayon de courbure (§ 63). La normale à la trajectoire du peint B

est la droite AB, qui joint le point B au centre instantané de rotation A,

et par suite la vitesse du point B est égale à © x AB. Le carré de la

w* X AB* vitesse est donc cû*xAB*, et par suite est la composante

normale de Taccélération totale.

Mais raccélération totale est dirigée suivant BO et égale à cd* x OB ; projetons cette accélération sur la direction de la normale BA. La droite OB projetée sur BA donne le segment BI, moitié de AB. La composante

normale de l'accélération est donc égale à «• x BI, ou à -q- X AB , et

par suite on a Tégalité,

ou bien

c^' Ai> » AB' -5-XAB = «2x —

p = 2AB.

Dans la cycloïde^ le ray on de courbure BC, en un point donné B de la courbe j est donc double de la normale BA en ce point.

iOS. Problème. — Vérifier le théorème deCoriolis dans le mouvement apparent d'un point fixeF, rapporté à deux axes mobiles OX, OY tracés dans son plan et animés d'un mouvement uniforme de rotation autour de leur intersection commune 0.

On donne la vitesse angulaire tù de la rotation des axes autour de l'origine ; la distance OF reste constante ; nous la représenterons par R. La rotation des axes s'opérant dans le sens de la flèche f avec la vitesse w , le point F qui en ^

réalité reste fixe, aura, par rapport aux ^*g- ^^7.

axes, un mouvement apparent, qui sera une rotation égale et contraire ; il semblera donc décrire uniformément la circonférence du cercle FMN, qui a le point pour centre et R=:OF pour rayon, et sa vitesse linéaire sera constante et égale à OF X o). Le sens du mouvement apparent ou relatif est le sens de la flèche f\

L'accélération du mouvement absolu du point F est nulle puisque le

MéCAIf. ENS. SPÉCIAL, 3« ANN. 12

point reste Rie, Nous devons donc trouTer une résultante nulle en com]iosant les trois accélérations jr, je, je. Nous allons déterminer ces trois accélérations en direction et en grandeur.

L*accelération jr est dirigée suivant FO, et elle est égale à

««XOF.

L'accélération je s'obtient en considérant le mouvement du point F supposé lié aux axes mobiles ; le point F entraîné par les axes décrirait uniformément la chrconférence FNM dans le sens de la flèche f, avec une vitesse <ù x OF ; donc Taccélération je est encore dirigée de F vers et elle est égale aussi à w* x OF.

Les deux accélérations jV et j« sont donc toutes deux dirigées suivant la même droite FO, et elles se composent en s'ajoutant, ce qui donne 2(0* X OF pour somme de ces deux premières composantes. Cherchons enfin Taccélération je .

Nous savons qu^elle est normale à la fois à la vitesse relative, laquelle est dirigée suivant la tangente FG et à Taxe de rotation projeté en ; elle a donc pour direction la droite FO^ qui est normale à la fois à ces deux droites. De plus, nous savons qu'elle a pour sens le sens dans lequel la rotation instantanée (qu'on peut supposer transportée parailèlement 2i elle-même au point F) tend k déplacer l'extrémité 6 de la vitesse relative; c'est ici le sens GG',et, par^ suite, le sens de l'accélération complémentaire est FH.

Nous savons enfin qu'elle a pour grandeur 2t;V <^' Ici vV» projection de la vitesse relative sur un plan normal à Taxe, n'est autre que la vitesse relative elle-même, qui est égale à « x OF; enfin, je=^ «'x OF.

La troisième accélération est donc dirigée en sens contraire des deux premières, suivant la même droite, et elle es égale à leur somme ; la résultante des trois accélérations, jr -f- je — je* «t égale à zéro et le théorème est ainsi vérifié.

109. Problème. — Trouver l'accélération j du mouvement absolu d'un point M, qui glisse avec une vitesse linéaire constante v le long d'une droite OA, laquelle est animée, autour d'un axe projeté en 0, d'une vitesse an* gulaire o) dans le sens de la flèche f. On suppose la vitesse v dirigée dans le sens OA (fig. 148).

Nous considérerons le glissement uniforme du point M sur la droite OA comme un mouvement relatif, et le mouvement de rotation de la

Fig. 148.