DU PROBLÈME DES ENGRENAGES

rotations seront dans le même sens, puisque les rotations primitives 6> et (J étaient supposées en sens contraires. Elles se composent (§94) en une rotation unique, a=&i + c>>', autour d'un axe parallèle à et 0^ et qui partage la distance 00' en deux parties réciproquement proportionnelles à ca et &>', c'est-à-dire autour de Taxe projeté en A, point de contact des deux circonférences primitives. Le mouvement relatif de la roue 0' par rapport à la roue est donc une rotation autour du point A, égale à la somme w -h w' des deux rotations données ; en d'autres termes, la roue 0' roule sur ja circonférence primitive 0, ce que nous avions déjà reconnu.

Soit A6 (fig.lSO) une courbe quelconque, arbitrairementchoisie, attachée à la roue 0', et représentant le profil du creux ; pour en déduire le profil correspondant de la dent à ajouter à la circonférence 0, on fera rouler sur la roue la roue 0' qui entraîne ce profil AB, et on construira la courbe formée par les intersections successives de ce profil.

Le problème est ramené ainsi à trouver la courbe enveloppée par une ligne plane, de forme constante, qui se déplace dans son plan d'après une loi déterminée. Nous savons résoudre ce problème (§ 82).

Soit MN (fig.i8i)1a ligne mobile dans une de ses positions particulières ; soit au même instant G le centre instantané de rotalion de la figure ; nous savons x'"^^v\ que si du point G on abaisse ^ une perpendiculaire GP sur la f »'"• ^i^^^y^^'^^r^^r-iK' ligne MN, le point P, pied de cette perpendiculaire, est le point où MN touche son enveloppe.

Appliquons ce théorème aux

Fig.181.

Fig. 183.

engrenages. Faisons rouler (fig. 182) le cercle O' sur le cercle 0;

soit 0" une position du cercle mobile au bout d'un certain temps, et soit G le point de contact des deux cercles dans cette position. Pour trouver la position correspondante du profil AB, prenons sur le cercle 0", à partir du point G, un arc CA' égal à Tare AC; le point A' sera la position du point A dans le cercle 0"; le profil AB occupera par conséquent la position A' B'. On aura donc un point du profil conjugué en abaissant du point G, centre instantané de rotation de la figure 0", une perpendiculaire CP sur le profil A'B'; si Ton fépète cette construction pour un certain nombre dépositions intermédiaires entre 0' et 0", on obtiendra pour la dent le profil AP.

1 24. Cette construction nous fournit un nouveau théorème relatif aux engrenages. Ramenons la figure 0" sur la figure 0', par une rotation autour du centre 0, et faisons participer la roue à cette rotation ; le point A de cette foue viendra en A, à une distance AAj = AG; lepoint G viendra en A, le point A' en A'i , et TarcAA^ sera égal à AA^; le profil A'B' prendra la position A'^B'^, le point P passera en P^, et le profil AP viendra occuper la positiou Aj Pj ; enfin la droite GP, normale aux deux profils, prendra la position APj, et sera encore normale au point P^ aux deux profils qui sont en prise. Mais les deux roues et 0' sont alors ramenées à leur position véritable, et elles ont reçu autour de leurs centres respectifs des déplacements angulaires simultanés qui sont compatibles. avec le rapport donné de leurs vitesses &> et cw'. Donc, daiis le mouvement commun des deux roues, la droite élevée perpendiculairement au point de contact des deux profils en prisé passe constamment par le point de contact A des deux circonférences primitives,

125. Ce théorème conduit immédiatement k la détermination de Varc de glissement élémentaire de Tun des profils sur Tautre (fig. 1 83).

Considérons dans une position quelconque les deux profils en prise, CD et BE, et soit P leur point de contact; la droite PA est normale à la fois aux deux lignes BE, CD, en vertu du théorème précédent.

Cherchons le glissement relatif élémentaire a, de Tun des profils par rapport à Tautre.

Pour cela, observons que le mouvement relatif de la roue 0' par rapport à la roue est une rotation autour du point A, et que la vitesse angulaire est égale à la sonune, u + u^ dès vitesses de rotation don-

nées. Dans un temps infiniment petit 6, le profil CD tourne donc autour de A d'un angle (w -h «') 6; et le point de contact? parcourt sur le profil BE un arc égal à ( w + «' ) 6 x AP, ou à p (c>> + o)') 6, en appelant p la longueur de la normale commune AP. Celte formule, peut se transformer ; en effet tùb est Tangle dont tourne pendant le temps 6 la roue autour de son centre ; soit s Parc infiniment petit décrit dans ce temps par un point de la cir-

conférence primitive OA : nous aurons cdô =

R étant le rayon OA; de même, co' 6 ;^ :gj , R'

étant le rayon de la circonférence primitive

^A. Fig. ig5.

L'arc s est d'ailleurs le même pour ces deux circonférences, puisque leurs vitesses linéaires sont égales.

Donc

et par suite

ou bien

formule qui donne Tare de glissement relatif élémentaire en fonction du déplacement linéaire commun aux deux roues, mesuré sur les circonférences primitives.

Remarquons que, pour un même déplacement s, Varc de glissement a est proportionnel à;?; comme cet arc a entre «n facteur dans l'expression du travail du frottement, il y a intérêt à le réduire le plus possible.

On doit donc faire en sorte que p reste toujours très-petit. Les profils des deux roues sont toujours choisis de manière que le contact puisse avoir lieu à un certain moment au point A lui-même ; alors p est nul, et le glissement élémentaire est nul aussi. On limite d^ailleurs la dent de manière à maintenir p au-dessous d'une certaine valeur ; le contact des deux profils cesse au point où la longueur de la dent fait défaut ; mais

ARC m GLISSEMENT.

la continuité de la transmission exige qu'au même moment deux nouveaux profils soient en prise au point À; ces deux profils se déplacent ensuite simultanément, comme Tout fait les deux précédents, et quand leur contact cesse, le contact est établi au point A entre les deux profils qui les suivent. On voit par là qu'il y a une relation à observer entre la longueur des dents et Tespacement de deux profils consécutifs mesuré sur Tune ou Tautre des circonférences primitives, espacement qu'on appelle le pas de l'engrenage.

126. La petitesse du pas permet d'obtenir approximativement la valeur <le l'arc total de glissement relatif 2 pour une dent particulière depuis le moment où le contact des deux profils conjugués est établi au point Â, jusqu'au moment où la prise cesse parce que les deux roues ont avancé d'un pas.

Quand un corps roule et glisse à la fois sur un autre, on obtient l'arc de glissement élémentaire en prenant la distance infiniment petite produite par le déplacement relatif entre deux points primitivement en contact.

Appliquons cette règle au déplacement commun des deux roues et 0'. Soit AB =: AC = S le pas dont se déplacent simultanément les deux circonférences; les deux points G et B étaient primitivement réunis en un seul au point A. Donc le glissement relatif n'est autre chose que la distance GB. Le pas ^étant trèspetit, on peut confondre sensiblement les arcs AG, AB avec les perpendiculaires CG', BB', qui sont égales entre elles, puisque les arcs sont égaux ; la distance GB est, par suite, égale à sa projection G' B' sur la ligne des centres, ou à la somme AB' -+■ AC'.

Or l'arc AB, dans le cercle 0, peut être confondu avec sa corde, ce qui donne

^»=2RxAB'.

Fig. 184.

De môme dans le cercle 0'

S«=2R'xAC.

Donc enfin

AB'-4-AC=arc de glissement total 2= ^/^l+iV 127. Nous avons vu qu'il y avait avantage à réduire le pas S mesuré

sur les deux circonférences primitiTes, ce qui ne peut se faire sans augmenter le nombre des dents sur chaque roue. Soit m le nombre de dents de la roue 0, m' le nombre de dents de la roue (V; on aura les relations :

wS=27rR, fn'S = 27rR'.

Donc