LEMME SUR LÀ PROJECTION

Fig. 248.

droite une longueur IL proportionnelle à Taire MN tracée dans le premier plan. On projette orthogonalenïent cette longueur en LL' sur la droite IK. Je dis que IL' est proportionnelle à l'âire M'N', c'est-à-dire qu'on a Ja proportion

aire MN IL aire M'N' ^ IL''

En effet, partageons l'aire HN en tranches infiniment minces et d'égale épaisseur, par des droites menées dans le plan ABC parallèlement à Fintersertion AB des deux plans. Nous pourrons former (fig. 248) un ensemble de rectangles inscrits dans le contour, et un ensemble de rectangles faisant saillie sur le contour, de telle sorte que l'aire du contour soit évidemment comprise entre la somme des aires des rectangles intérieurs, et la somme des aires des rectangles saillants. La différence entre ces deux sommes peut d'ailleurs êtie rendue aussi petite qu'on voudra en réduisant l'intervalle des lignes parallèles, ou en augmentant le nombre.

Or projetons la figure sur le plan ABD; nous formerons de même deux séries de rectangles : la première, comprenant des rectangles inscrits dans le contour M'N'; la seconde, les rectangles en saillie sur ce contour ; deux rectangles correspondants pris, l'un dans le plan ABC, l'autre dans le plan ABD, ont des dimensions égales dans le sens parallèle à Fintersection commune AB; ils sont donc entre eux comme les dimensions perpendiculaires à AB. Coupons les deux plans donnés par le plan des deux droites IL, IK, lequel est normal à Fintersection commune AB; Fintersection lE avec le premier plan rencontrera à angle droit toutes les parallèles menées dans ce plan à la droite AB, et deux parallèles consécutives intercepteront sur cettedrdte lË un segmentai (fig. 248) égal à leur intervalle commun. De même la droite IF (fig. 247) rencontrera les deux parallèlescorrespondantes du plan BAD, et elles y intercepteront un segment o!h\ qui sera la projection de ah. Deux rectangles corres-