QUADRATURE DE LA COURBE DES VITESSES. ÔT

petites représente donc l'espace décrit par le mobile sur la trajectoire pendant un même temps Q , compté à partir de l'époque définie par Tabscisse correspondante. Les valeurs négatives de lu vitesse indiquent le mouvement rétrograde du mobile ; on devra donc prendre négativement les aires correspondantes aux ordonnées négatives. Les signes étant ainsi définis, si l'on fait la somme algébrique de tous ces éléments de surface à partir d'un point quelconque a, jusqu'à un point quelconque m, le résultat que l'on obtiendra, el qui n'est autre chose que Taire de la courbe des vitesses, représentera le déplacement total du mobile sur sa trajectoire à partir de l'époque < =. — Ga jusqu'à l'époque t = -h Cm; en d'autres termes, les aires siLccessives de la courbe des vîtesseSy à paitir d'un point quelconque a de l'axe des abscisses, représenteront en grandeur et en signe les déplacements totaux successifs du point mobile sur sa trajectoire, à partir du point qu'il occupe à l'époque définie par l'abscisse du point a qui sert d'origine à la mesure des aires.

Le problème est donc ramené à la recherche des aires dans la courbe des vitesses ou, comme on dit en géométrie, à la quadrature de cette courbe. Ce problème résolu, il suffira, pour définir entièrement le mouvement du point, de faire connaître le jieu qu'il occupe sur sa trajectoire à V époque que Pon a prise pour origine des aires.

i9. La géométrie fait connaître pour certaines lignes des procédés de quadrature ; on pourra donc employer ces procédés lorsque la ligne des vitesses sera l'une des lignes étudiées en géométrie : ligne droite, parabole, ellipse, Si, comme cela arrive

souvent, la courbe des vitesses ne rentre pas dansuu type connu, on aura recours aux procédés géné-

raux de quadrature par approxi- g

mation, qui permettiont de tracer graphiquement la courbe des espaces avec une suffiisanle exactitude.

Pour évaluer l'aire ABCD corn- i^ ^ f g h t c prise entre la courbe AD, les or- ^'6- 2C.

données AB, CD, et l'axe des abscisses CB, on inscrira dans la courbe un contour polygonal AEFGHID, dont les côtés rectiligni s

ll£CAll. EN8. SPÉCIAL, 5* ÀVS. Z

5* QIADRATUKË DE U COURBE Mis VMËSSËS.

s'écartent peu des arcs de courbe compris entre leurs extrémités ; etTon évaluera les aires des trapèzes successifs ABeB, EFfe, ¥Ggfy .... IDCi, que la^éoméUie enseigne àmesurer. La seinme de ces trapèzes représentera avec une grande approximation Taire dé hi courJîe cherchée, car la dilTéreace est égale à la somme des aires des segments: compris entre les cordes AË, EP, FG, .... ID, et les arcs sons-tendus, somme qui peut être considérée comme négligeable si Ton a sufljsamment multiplié le nombre des côtés dn [iolf gone inscrit.

On ne doit pas être surpris de voir un espace décrit, c'est-ùdire une longueur, représenté par une aire, ou une suriace. Il est faoite de se rendre compte de cette particularité. Nous avons vu que L'espace élémentaire décrit dans le temps 6 est vQ ; dans ce produit, vest une longueur, et 6 un nombre ; c'est le rapport de la duréedu trajet du point mobile à Tunitc de temps. Le rectingh* élémentaire i»6 n'a donc pas ses deux dimensions, de même nature, et si la figure fait de Q une longueur, il est entendu qu'en réalité

on doit substituer à le rapport — de cette longueur à la loii-

;;ueurqui représente Tunité de temps. Alors Texpression — =- représentera une longueur, c'est-à-dire la seconde dimension d'un rectangle qui aurait vQ pour surface et T pour première dimension. Après avoir déterminé, à l'aide de l'épure, les aires A de la courbe dés vitesses, il faudra donc diviser ces aires par la longueur T qui représente l'unité de temps à Téchelie, et les résultats de celte opération, qui seront des longueurs, représenteront les arcs de la trajectoire, o:i les ordonnée-^ de la courbe de> espaces.

EXTENSION Dli LA DKFI.MTIOX [>f MOÏ VITESSE.

20. La vitesse d'un mobile à un instant donné est le rapport de l'espace infiniment petitqu'il décrit sur sa trajectoire au temps employé à le décrire. Nous avons vu comment on pouvait par la considération d'une courbe auxiliaire, celle des espaces, ramenei la recherche de ce rapport à .la construction d'une tangente.

VITESSE Itl UEFUGIÛlSSeMËNT.

Plus.généiBileai/^t,, loi*squune quantité variable quelconqpe dépeml du temps^ on appelle vit^se de oelte quantité à liUHiie ment donné, le rapport de la variation infiniment petite, ftneiliTe ou négative, de celte quantité, au temps infiniment, petit emp^yé pour produire cette variation; et comme GAI peut. toujpurfi>repc6senterrpar< les ordonnées d'une courbe le& valeurs. d!uuft quantité qudeoDque,. puisqu'il suffit pourcela de faire choix d'une échelle arbitraire, on saum trouver par la construetieades tangenlesiaux dilTérents points de cette courbe auxiliaire ies' valeurs sueûesaives de la:vitessci de cette quantité.

Par exemple, un corps à une température de 100? est exposé à l'aff libres par une température extérieure de 0^. Ce covp^ se refroidit; Sa iempétature est' ici la quantité variablaaveGLleteâip&; et la vitesêû de cette qumUite' sera plus* grande en. valeur abselue au commencement de l'observa- ^ tion que vers»la fin.

La courbedes temperatune& suocessives présente bforme ÂB.

A Torigine des temps, c'est-à-dire au point 0, qui. cor- Fig. 27.

respond au commencement de l'expérience, le corps a une température QA;= 100^. Use refroidit d'abord très-rapidement, et sn température est représentée par les ordonnées décroissantes

CD, au bout d'une seconde, EP, de deux secondes,

GH, de trois secondes, etc.

Au bout d'un certain nombre de £.3condcs, (=rOH, sa température. est représentée par BH, quantité très-voisine de 0% ou de la températme du milieu où se fait rexpérience. La température va donc toujours en diminuant, sans pouvoir toutefois descendre au-dessous de zéro; la vitesse de la température, qui esl négative,, va de même en diminuant en valeur absolue.; car la tangente  la courbe au point A est plus inclinée sur Taxe OX q^ic la tangente au point D, celle-ci Test plus que la tangente au point F,