REPRÉSENTATION

Le"secoud pian coupe Taxe OYen un point m', piojeclion de M sur 0¥, parallèleraenl à ZOX ; il coupe de plus les plans XOY, YOZ, suivant les droites m"fA, m'p, parallèles respectivement à OX et à OZ. Enfin, il coupe le premier plan suivant la droite M/a", parallèle à Taxe OZ.

Le] troisième plan coupe Taxe OZ au point m", projection de M sur OZ parallèlement à XOY; il coupe les plans YOZ, ZOX, suivant les droites m"iiy m"it.\ respectivement parallèles à OY et à OX; et, enfin, il rencontre les deux premiers plans suivant l(^s droites Mfz', M/x, respectivement parallèles à OY et à OX.

Le solide compris sous ces trois plans et sous les trois plans fixes est un parallélépipède, et le point M, dans cette figure, est le sommet opposé à 1 * origine 0, Les sommets m, m', m", situés sut les arêtesaboutissani au point 0, sont \es projections du point Msur les axes; les autres sommets p, p', yJ'^ sont les projections du point M sur les trois plans fixes , parallèlement aux axes OX, OY", OZ, ()ui forment les intersections mutuelles de ces trois plans.

Si, à un instant donné, on fait connaître les distances Om, Om', Om", de Torigine aux projections sur les trois axes d'un même point M de l'espace, on pourra en déduire la position cor. respondante de ce point. 11 suffit pour cela d'achever le parallélépipède en menant par m, m\ m" des plans respectivement parallèles aux plans coordonnés. Ces trois plans se couperont en un point unique, qui sera le point clierclié.

De même, si f on donnait les projections ^', u" du point M sur deux plans coordonnés, on obtiendruit le point M eu menant par Itf et fit" des droites f*' M, p" M, respectivement parallèles à OY et OZ : rintersection de ces deux droites donne le point cherclié. La position du point M est donc définie par ses projections sur deux plans coordonnés, tandis qu'elle ne peut être définie que par ses projections sur trois axes coordonnés. Mais il y a généralement avantage à employer en mécanique la triple projection sur les axes plutôt que la double projection sur les plans.

Non-seulement on ramène ainsi tous les mouvements à des mouvements rectdignes, mais encore les positions des projections m, m', m", du point M sur les axes sont complètement indépendantes les unes des autres, tandis que les projections ^a', ^a", sur deux des plans coordonnés sont assujetties à une rondition pour

DUiN MOUVtMEM DAiSS L'ESPACE. 55

qu'elles correspondent à un point de Tespace, car elles doiven élre toutes deux situées dans un plan parallèle au troisième plan roordonné *.

Remarquons encore que les distauces Om, Om', Om", peuvent entrer dans les calculs avec Tun des signes -i- et — , suivant qu'elles sont portées sur les axes d'un côté ou de l'autre de l'origine ; grâce à cette convention, à chaque point M de Tespaco correspond une valeur bien déterminée, en grandeur et en signe, des trois distances Om, Om', Om" ; ces trois distances données en ^'randeur et en signe font donc connaître la position du point M sans aucune ambiguïté.

On désigne ordinairement par x la longueur Om, prise avec son ^iigne et comptée sur l'axe OX ; par y h longueur Om', prise sur l'axe OY, et par z la longueur Om", prise sur l'axe OZ. Ce sont les trois coordonnées du point mobile. Le mouvement du point M dans l'espace est entièrement défini si l'on donne les valeurs successives de j?, de i/, et de z en fonction du temps L

Quand le mouvement a lieu dans un plan, on peut prendre ce plan pour plan des XOY et y mener deux droites OX, OY, qui seront deux des axes coordonnés. Le troisième axe OZ sera dirigé en dehors du plan, et comme le point mobile n'en sort pas, sa coordonnée ;s sera constamment nulle. Il n'y a donc, dans ce cas particulier, que deux coordonnées variables, x et i/, et il suffit pour définir le mouvement de donner leurs valeurs successives on fonction du temps t

KiUDË DU MOUVEMENT DANS l'ëSFACE AU MOYEN DES PROJECTIONS DE CE MOUVEMENT SUR LES AXES.

54. Les valeurs des coordonnées x, y, z, en fonction du temps t, définissent trois mouvements rectilignes ; nous pouvons appliquer à chacun d'eux les méthodes géométriques données dans

* C'est la condition que l'on rencontre en géométrie descriptive, et en vertu de laquelle les projections d'un même point dans toute épure <loivent être situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.