PROJECTION DES VITESSES

le cliapitie précédent, et déterminer pour chacun les valeurs des vitesses et des accélérations.

Le premier problème qui se présente ici cousiste à déduire des

vitesses des coordonnées x, y, z, la grandeur et la direction de

la vitesse effective du mobile sur sa trajectoire à ce même instant.

Soit R[\' la trajectoire d'un point mobile, LL' une droite sur

laquelle on projette le mouvement parallèlement à un plan fixe;

y soient Â, A', deux positions successives

iJjl -^ \ très-voisines du mobile sur la ligne RR',

îT" I ! ^1 et a^ a', les projections de ces deux

positions sur la ligne LL'. Nous aTons

déjà remarqué que le vrai mobile met

~T'" autant de temps à aller de S. en A'

^'^s- 59. que le mobile idéal représenté par sa

projection met de temps à aller de a en a'. Soit V la vitess<^

du mobile au point A, et i;la vitesse du mouvement projeté, nous

aurons à la fois :

., AA' , flfl'

V = - et . . = -,

étant la durée commune aux deux trajets AA' et aa\ Diane

T AA' V ~' aaf'

Or, aa'^ est la projectian sur L de l'élément rectiligne AA ; it y a entre aa*^ et AA' un certain rapport qui dépend des situations relatives de ces deux éléments. Le même rapport existant entre les vitesses vet V, nous pourrons dire par analogie que v est hpr(h jectivn de V. Nous avons vu que la vitesse v pouvait être considérée comme une longueur portée en A sur la tangente à la trajectoire ; par l'extrémité V de cette longueur, menons un plan projetant, qui rencontrera en v la droite L. Les deux droites. AV, av étant rencontrées respectivement aux points A> A^ V, et. a, a', Vy par trois>plans parallèles^ sont coupées en parties proportionnelles, et Ton a :

y^ AA' y

av ^ act "^ ?*

l'ARALLÉLÉPirÈDE DKS VITESSES PROJETÉES.

Si donc, AV = V, on a aussi av = », de sorte que la vitesse V du mouvement prcgeté s'obtient en projetant la vitesse V du niouvemeni réel,

La même proposition s'applique à la projection du mouvement sur un plan parallèlement à une droite fixe.

35. Il est aisé maintenant de résoudre le problème que nous nous sommes proposé tout à Thenre.

Soient a, b, c,\es projections d'une des positions A du mobile sur sa trajectoire R.

Nous savons par le théorème qui précède quela vitesse du point a est la projection sur OX de la vitesse du mobile au point A ; que la vitesse du point b est la projection de la même vitesse sur OY; quenfîn la vitesse du point c est la projection de la même vitesse sur OZ. Prenons donc sur les trois axes à partir de a, b^ c, des quantités aa', bb\ cc\ égales ou proportionnelles aux vitesses respectives de ces points, et cherchons le point V qui a pour projections a', b\ c' ; la droiie AV sera la vitesse demandée en direction et en grandeur. Au lieu de procéder ainsi, nous pouvons mener par le point A trois droites Aa", kb'\ kc^, parallèles et égales respectivement à aa', bb\ cc\ et dirigées dans le même sens. Le plan mené par a' parallèlement au plan YOZ passera par Je point a" ; de même les plans menés par V et par c\ parallèlement à ZOX et XOY, passeront respectivement par W et par c^. Ces trois plans achèvent un parallélépipède qui a pour arêtes aboutissant au point A les trois vitesses Aa", Aft", Ac", égales et parallèles aux vitesses aa! , bb\ cd \ I^a vitesse cherchée AV est la diagonale de ce parallélépipède. De là résulte ce théorème :

io. vitesse du mouvement effectif est, à chaque, instant, représentée en grandeur et en direction par ladiagonale d'un parallélépipède dont les arêtes sont égales et parallèles aux vitesses fin mouvement projeté sur les trois axes.

Lorsque le mouvement est plan^ le paTallélépipède.so réduit à

Fig. 40.

PARALLELOGRAMME DES VITESSES.

Fig. Ai.

un parallélogramme ; et la vitesse AV est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme dont les

côtés Aa", Ab'\ sont égaux et parallèles aux vitesses aa'f bb' , du mouvement projeté sur les deux axes, OX, OY, et dirigés dans le même sens que ces vitesses.

36. On pourrait procéder de même pour les accélérai ioïi s des mouvements projetés sur les axes ; mais on obtiendrait, non pas Vaccélératiofi tangentielle du mouvement effectif, la seule que nous oyons encore considérée, mais \ accélération totale, que nous étudierons dans un autre chapitre.

37. Remarque, Il n'est pas nécessaire, pour trouver la vitesse

d'un mouvement réel, de former entièrement le parallélépipède des vitesses des mouvements projetés; il suffit d'en construire les arêtes utiles, savoir Aa", égale et parallèle à la vitesse de la projection sur l'axe OX, a" h^* égale et parallèle à la vitesse de la projection sur l'axe OY, et V" V, égale et parallèle à la vitesse de la projection sur Taxe OZ. On obtiendra ainsi le sommet V du parallélépipède opposé au tommet A ; AV sera la diagonale de ce parallélépipède et représentera en grandeur et en direction la vitesse cherchée.

Lorsque Iqs axes sont rectangulaires, le parallélépipède devient rectangle, et la grandeur de la vitesse V peut s'obtenir au moyen de l'équation :

Fig. 12.

en d'autres termes, le carré de la vitesse du mouvement daub l'espace est la somme des carrés des vitesses des mouvements projetés sur trois axes rectangulaires.

En général, on appelle résultante géométrique d'un certain nombre de droites finies, AB, Ae, Ad, Ae, issues d'un m^nie