RÉSULTA>TES GÉOMÉTRIQUES

point A de l'espace, et dirigées chacune dans un sens défini, la droite AE qui joint le point A à rextrémité E du contoui* polygonal obtenu en menant par Textrémité B de la première droite AB, une droite BG égale et parallèle à la seconde droite Ac, et dans le sens même où elle est dirigée ; par le point d

G, une droite GD égale et parallèle à la troi- /

sième droite kd, et dans le même sens que A^^; par le point D, enfin, une droite DE, égale et jparallèle à Xe, et dirigée dans le même sens que he, I^a résultante a le sens AE. Les droites Aft, Ac, kd, Ac, sont appelées les composantes, et l'opération prend le nom de composition. Fig. 45.

Nous verrons plus tard les raisons qui ont conduit à adopter ces définitions.

Nous pouvons dire en nous servant de cette nouvelle expression que la vitesse du mouvement dans l* espace est la résultante géométrique des vitesses des projections de ce mouvement sur trois axes coordonnés.

PKOJECTIUM DU MOUVEMENT RECTILIGKE ET UNIFORME.

38. Soient MN une trajectoire rectiligne, et PQ Taxe sur lequel on projette le mouvement parallèlement à un plan donné.

Prenons sur la trajectoire des points A, B, G, équidistants ; les projections a, fe, c, de ces points sur Taxe PQ, seront aussi équidistantes. Le mobile animé d*un mouvement uniforme le long de la droite MN, parcourt en (emps égaux les intervalles égaux AB, BG. La projection du mobile, qui décrit la droite PQ, parcourt dans le même intervalle de temps les ^^^' ^' espaces égaux a&, bc, pris sur sa trajectoire. Donc son mouvement est uniforme, 11 en résulte ce théorème : la projection sur une droite fixe d'un mouvement rectiligne et uniforme est un mouvement uniforme.

^Si au lieu de projeter le mouvement sur une droite pai'allèfeinciit à un plan donné^on projette le mouvement sur un plan P parallèlement à une droite donnée L, tout mouvement rectUigne

dans l espace aura pour projection un mouvement rectUigne sur le plan.

En effet,, la trajectoire du mouvement projeté sera la projection de la h^oit droite MM' que le mobile décrit dans Tes^ pace^; elle s'obtiendra dono en roenant *'i«- ^- par la droite MM' un plan parallèle à

lu droite fixe L ; Tintersec^tian mm' de ce.plan avec le plan P sera la droite cherchée. La projection du mobile décrit dMM»-uiie ligne droite dans le plan P. De plus, on démontrerait oommc tout, à l'heure qu en temps égaux la projection du mobile décrit des espaces égaux sur sa trajectoire mm\ si le mobile décrit lui-même des espaces égaux en temps égaux sur sa trajectoire MM'. Doncla protection sur tm plan. d* un mouvementreciiligne ^t uniforme est un mouvement rectUigne et uniforme, 39. Nous allons démontrer une proposition inverse. Lorsque les projections sur trois axes OX, OY, OZ, du mouvement d'un point M, sont des mouvements uniformes , le mouvement du point M dam l'espace est rectUigne et uniforme.

Considérons trois positions

queèeonques M^, M,^ M^, . du

mobile • M sur sa trajectoire.

Par chacun de ces points me-

nous une parallHe àFiaxe OZ

^^^'^' juaqu*à la rencontre du plan

XOY ; par le pied b de cette parallèle, menons une parallèle ba

à 1 axe OY, jusqu'à la rencontre de l'axe OX. Nous formons ainsi

trois contours poljgoanux,

dont les c^és suoœssifesont les^ valeurs -des coordonnées des trais points Ml, M«, M,.

DU MOUVEMENT Uï^lFORME. (51

Jeiis d abord que les trois points fri, ^t» ^s* ^^^^ ^^ ^^^^^ àmke.

ilfenons, eii effet, par le point fr^ une droite b^c paraHèle à OX : elle coupera en ^ la droite a, fr, et en e la droite a^b^; les paralléiograninies a^^^c^at^asa^dc, nous donnent les égalités:

a^ iii = a^d z= a^Cy b^ il = <i| flj, 6| c = «1 flj.

La distance a^a^ représente la variation deTabscisse x du point mobile pendant le (emps 6 qu'il a mis à se .transporter du point \ au point Mg ; pendant ce même temps G, lordonnée y de ce point a passé de la grandeur a^ b^ à la grandeur a, b^ ; elle a donc varié de la quantité a^ b^ — a^ b^=zb^ d,

La vitesse deo: qui, par hypothèse, est constante, est donc égale à

— , et la Mtesse de t/ a — .

Appelons de même ô' le temps que le mobile met à aller *du^ point M^ au point M, ; les coordonnées x et y varient dans cet intervalle de temps de quantités égales à a^a, ^è^c et à b^c; leurs

vitesses sont donc — ;— pour la première, et — ;- pour la seconde.

Et comme les mouvements des projections sont supposés unilormes, nous aurons les égalités :

Divisons ces égalités membre à membre, il viendra la proportion :

6a d bjC

OU bien

Les triangles b^ db^, bi cb^, ont eu c? etc, des angles égaux comme correspondants ; les côtés qui comprennent ces angles sont proportionnels en vertu de Tégalilé précédente. Les deux triangles saal donc semblables, et Tangle h^b^^d de Tuu est égal à langle &. b^c de l'autre. Donc, les trois points b^, fr„ b, sont en ligne droite.

On en peut conclure sur-le-cbamp que les trois point M|, M„ U-, sont situés dans un même plan mené par la droite bi b^ b^ parallèlement à Taxe OZ.

Les points fr^, b^, b^, sont les projections des points M^, H,, M^ sur le plan XOY ; nous venons donc de démontrer que le mouvement projeté sur le plan XOY est rectiligne, du moment que les mouvements projetés sur les axes OX, OY sont tous deux uniformes.

On peut ajouter que ce mouvement projeté sur le plan XOY esl uniforme.

En effet, 6. est le temps que met la projection du mobile sur Je plan XOY à parcourir l'espace b^ ft„ et 6' est le temps qu'elle met à parcourir l'espace b^ b^. Or, les trianglosèj b^d^ b^ b.c, donnent la proportion :

b^b^ b^d «jfl^

Mais * * ="^7 y cai' le mouvement projeté sur l'axe OX

étant uniforme, les espaces décrits sont proportionnels aux temps mis à les décrire.

h h fi

Donc —^ = — ^ , et les espaces décrite sur la Irajectoire ft^ t-

sont aussi proportionnels aux temps mis à les décrire ; le mouvement projeté sur le plan XOY est par suite un mouvement uniforme.

Nous avons reconnu que la trajectoire réelle M^M^M, est contenue dans un plan mené par la droite b^ b^ b^ parallèlement à Li droite OZ. Il en résulte immédiatement que cette trajectoire est droite et que le mouvement qui s'y opère est uniforme. Remarquons, en effet, que ce que nous avons dit de la figure plane b^b^b^a^^a^a^^ nous pouvons le répéter de la figure planr

Dl MOUVEMENT UNIFORME. 65

Mi M, Mj ^3 b^ ^1- Nous mènerons par le point M^ une parallèle U^e à ia droite b^ b^ ; elle coupera en /" Tordonnée ft^Mj ; les longueurs /IMj, eMj seront les variations du z du point mobile pendant les temps 6 et 6', et nous savons qu'elles sont proportionnelles à ces intervalles de temps ; nous venons de démontrer que ft^ è„ bib^ ou M^fj M^e sont aussi proportionnels à ces mêmes intervalles de temps ; donc, la similitude des triangles M^fM^M^eMs est encore établie, et les trois points M^M^M- sont, par conséquent, en ligne droite. Enfin, les espaces M^Mj, M^Mj sont parcourus sur cette droite en des temps égaux respectivement à G et à G' ; or, ces temps sont proportionnels aux espaces ; donc, le mouvement du point M est uniforme, et le théorème est démontré.

40. — Remarque. Nous avons vu dans le chapitre précédent comment on pouvait trouver la vitesse moyenne d*un point sur sa trajectoire entre deux époques déterminées. Si Ton applique ce procédé aux mouvements projetés sur trois axes OX, OY, OZ, en ayant soin de les considérer chacun entre les mômes époques, on obtient Ij vitesse moyenne pour chacun des mouvements projetés, et on détermine ainsi le mouvement moyen des projections pendant' la période considérée. Mais le mouvement dans l'espace qui, pendant celte même période, a pour projeQti')ns sur les trois axes les mouvements moyens ainsi- déterminés, n'est pas, en général, le mouvement moyen du mobile sur sa trajectoire. En effet, le résultat de la composition des trois mouvements moyens, qui sont tous trois reclilignes el uniformes, est luimême un mouvement recliligne et uniforme. Soient donc A et A' les positions du mobile aux deux époques entre lesquelles on a cherché les mouvements moyens des projections; le mouvement résultant de ces trois mouvements moyens sera le mouvement uniforme qui s'accomplirait dans le même intervalle de temps le long de la corde AÂ'et non le long de l'arc ABA'.

Si les points A et A' sont infiniment voisins, le mouvement moyen résultant s'accomplirait encore suivant la sécante AA'; mais cette sécante, ayant avec la courbe BB' deux points com-

VITESSE ARKOI.AIIIK.

rauns infiniment rapprochés, serait en réalité une tangente à la courbe. La résultante des vitesses des mouvements projetés est donc dirige suivant la tangente à la trajectoire, co que l'on savait déjà par le théorème du g 55.

PROJECTION SUR UN l?LAN d'uN MOUVEMENT DANS l'esiWCI:. • VITESSE ARÉOLAIIIR PROJETÉE.

41. Supposons les trois aies OX, OY, OZ rectangulaires. Soit 8R' la tpajecloire d'un point mobile ; soient A, A', deux positions

successives du point mobile; a, a\

les projections de ces positions sur

Taxe OX, et b, &', les projections des

mêmes points sur le plan XOY.

Les points a et a' seront aussi les

-- projections sur OX des points ^ et b',

pieds des perpendiculaires atiaissées

de A et A' sur le plan XOY.

y \b' Soit rr' la projection sur ce plan de

la trajectoire RR'. Menons du point des droifes 06, O&'aux positions successives de la projection du mobile.

Le rayon mobile, allant du point à la projection du mobile sur le plan XOY, engendre une aire qui s'accroît de la surface du triangle très-petit bOV lorsque le mobile passe du point A au point A'. Si donc 9 est le temps qu'il met à parcourir l'arc A\\ la vitesse de l'aire projetée sera égale au rapport.

sorf. bOl/

On peut exprimer cette vitesse en fonction des coordonnée^ .xz=zOa, y=:ab in mobile au point A, et des vitesses de ces coordonnées.

Par le point &, menons bc parallèle à OX, et joignons 0^. Nous aurons :

Fig. 48.

surf, toi/ = surf. Ocl/ — surf. Ocb — surf. bel/.

VITESSE ÂRÈOLAIRE PROJETEE. 65

Mais le triangle bcb' a deux dimensions infiniment petites, tandis que les triangles M)^', Ocb', Och, n'ont qu'une dimension infiniment petite. On a donc, avec une exactitude d'autant plus grande que l'arc bb' ou l'arc AA' est supposé plus petit,

surf. bOb' = surf. Ocb' — surf. Ocb,

Le triangle Ocb^ a pour base cb\ et pour hauteur Oa\ ou ./• -i- flfl'; il a donc pour surface :

i cft' X [X -h nn').

JiC ti'iangle Obc a de môme pour base bc ou aa\ et pour hauteur ba=z y ; W a donc pour mesure :

i rtrt' X y.

Ik)nc

• surf. bOb' = i cb' (c -|" aa') — | ««' X /y.

' . . cb'

Divisons par 0, et observons que — est la vitesse Vy do l'or-

donnée î/, et que—- est la vitesse Vxde 1 abscisse x. H viendra

ffUesse aréolaire projetée = '- =5 [r^ {:r -f- ««') — vx y],

a(/ est infiniment petit, on doit donc le supprimer devant x, el Ton a en définitive

vitease aréolaire projetée = J (a:i>y — yvx)-

Celte formule est générale pourvu qu'on fasse attention aux signes. Nous savons déjà dans quels cas x et y sont positifs, et dans quels cas ils sont négatifs. Les vitesses Vx, v , sont positives si le mouvement projeté sur les axes s'opère dans le sens qui accroît les coordonnées a: et y. Enfin, la vitesse aréolaire projetée est positive, si le rayon 0^ se meut autour du point dans le sens qui amènerait l'axe OX vers Taxe OY.

MéCAN. ENS. SPÉCTAL, 3" KTfTK. ^