DES LIMITES ET DES INFINIMENT PETITS

5. Nous ferons fréquemment usage dans ce cours des quantités infiniment petites, U est utile d'en donner ici une définition bien précise.

Une quantité constante est la limite d'une quantité variable, lorsque

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la différence entre ia quantité variable et la quantité constante peut être rendue plus petite en valeur absolue qu'une quantité donnée, aussi petite qu'on voudra.

On a un exemple de linaite dans Tarithmétique élémentaire, en considérant le nombre variable dont les valeurs successives sont représentées par les nombres décimaux

Cette quantité variable a pour limite Tunité ; car la différence entre la quantité variable et Tunité est successivement

et elle peut être rendue moindre que tout nombre donné, quelque petit qu'il soit» en prenant un nombre de 9 suffisamment grand dans le nombre décimal 0,9999.... On peut donc poser l'égalité

1 = lim. (0,9999....)

On démontre d'une manière analogue qu'une fraction décimale périodique a pour limite la fraction ordinaire qui l'engendre par la division.

En géométrie, la surface du cercle est la lignite de la surface d'un polygone régulier inscrit dans le cercle, k mesure que le nombre de cotés de ce polygone augmente. En effet, la surface du cercle est comprise entre la surface d'un polygone régulier inscrit et la surface d'ojn polygone régulier circonscrit du même nombre de côtés. Or il est aisé de démontrer que la différence entre le polygone circonscrit et le polygone inscrit peut être rendue aussi petite qu'on veut en prenant un nombre de côtés suffisamment grand. Il en est de même, à plus forte raison, de la différence entre le cercle et le polygone inscrit, et par suite le cercle, quantité constante, est la limite du polygone inscrit, quantité qui varie avec le nombre de côtés attribué à ce polygone.

On exprime quelquefois celte proposition en d'autres termes , en disant que le cercle se confond avec un polygone régulier inscrit d'un nombre infini de côtés : manière abrégée de dire que le cercle est la limite du polygone inscrit, k mesure que le nombre des côtés augmente, de sorte que l'erreur commise en confondant le cercle avec le