EXTENSION AU MOUVEMENT CURVILIGNE QUELCONQUE
64. SoitAB une courbe tracée dans Tespace. Considérons un arc
très-petit MN de cette courbe : nous pouvons prendre sur cet arc
trois points M, P, N, non situés en ligne droite et par ces trois
points faire passer un plan qui contiendra Tare MN entier, pourvu
y que la longueur MN soit assez petite ;
ce plan est le plan de la courbe dans la région MN; on lui donne le nom de plan oseulateur.
Par les trois points M, P, N, qui ne
sont pas en ligne droite, on peut faire
passer une circonférence de cercle, qui
f''fif- ^- se confondra avec la courbe dans toute
rétendue de l'arc MN. Cette circonférence est appelée le cercle
osculateur.
Ces définitions supposent que l'arc MN est infiniment petit ; le plan osculateur et le cercle osculateur sont le plan limite et le cercle limite que l'on obtient en un point M donné quand l'arc MN décroit indéfiniment.
La normale principale à une courbe en un point M est la normale élevée à la courbe au point M dans son plan osculateur. Elle *» par le centre du cercle osculateur.
Le rayon OM du cercle osculateur reçoit le nom de rayon de courbure.
Menons deux tangentes à la courbe, Tune au point M, l'autre au point N. L'angle de ces deux tangentes, qu'on appelle angle de contingence, est la mesure de la courbure totale de l'arc MN. Cet angle est le même pour la courbe et pour le cercle osculateur. Or, dans le cercle osculateur, il est égal à l'angle au centre NOM, et si on évalue cet angle, non en degrés, mais en parties du rayon, suivant l'usage de l'analyse, on pourra poser
arc MN = OMx angle MON.
D'où l'on déduit
arc MN OM, ou le rayon de courbure = — ; — ^r^rrr.
•* • angle MON
Le rayon de courbure est donc égal à la longueur de l'arc MN divisée par l'angle de contingence, ou plutôt est égal à la limite de ce rapport.
65. Ces définitions posées, il est facile d'étendre à un mouvement curviligne quelconque le théoième que nous venons d'établir pour le mouvement circulaire varié.
Soit AB la trajectoire ;
M, la position du mobile à un certain instant;
V, sa vitesse à cet instant ;
M^, la position du mobile au bout du temps 0;
v'y la vitesse du mobile au bout de ce temps.
Menons la tangente MT et prenons sur cette tangente, à partir du point M, une longueur Mm = v9.
Joignons mW et projetons M' en m' sur la tangente MT.
V accélération totale sera égale à
2 X wiM
et elle se décompose en deux :
2 mw! ., laccélérationtangentiellej—r — =j ,
et \ accélération normale, — ^ — =; .
106 ACCÉLÉRATION TANGEMIELLE.
Al 1 Aj'
Or Mm', à la limite, se confond avec MM' qui est ^gal à x 0,
v' — V et par suite mm' = — - — X o- Donc
ce qui justifie notre définition générale de Taccélération tangentielle.
Pour évaluer /', considérons le cercle osculateur de la courbe au point M, et soit /> le rayon de ce cercle, ou le rayon de courbure de la trajectoire en ce point. Nous aurons
M'm' X 2/5 = (arc MM')*,
et
.„ mm' 2 X (arc MM^) *^ t)« •^ ~ 6« — 2/56» ~" f
Nous retrouvons les mêmes expressions que nous avons posées pour le mouvement circulaire, grâce à l'introduction du rayon de courbure. Remarquons que la direction limite de/' est une normale à la courbe menée dans le plan du cercle osculateur ; Taccélération normale est donc dirigée suivant la normale principale delà courbe. En résumé, nous parvenons ace théorème général :
V accélération totale dans le mouvement curviligne est la résultante de deux accélérations, lune tàngentielle, qui est égale à la vitesse de la vitesse, Vautre centripète, qui estdirigée suivant la normale principale, et qui est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure.
Ces deux accélérations composantes ont chacune leur rôle dans le mouvement d'un point. C'est la première qui produit à chaque instant la variation de vitesse du mobile ; et c'est la seconde qui produit la déviation en vertu de laquelle il abandonne une direction pour en prendre une autre.
Lorsque le mouvement est rectiligne, l'accélération centripète disparaît, car le rayon de courbure devient infini, et l'accélération totale se réduit à l'accélération tangentielle.
