DÉMONSTRATION DU MÊME THÉORÈME PAR LA CONSIDÉRATION DES VITESSES

66. Soient toujours M, M^ deux positions successives infiniment voisines du mobile sur sa trajectoire AB.

Pour trouver Taccélération totale, nous savons qu'il suffit de

mener par un point C de Tespace deux

droites CD, CE, égales et parallèles aux

vitesses Mv, M'r', du mobile aux points

DF M et M', et de prendre le rapport —

de la vitesse acquise élémentaire, laquelle est représentée par le côté DE du triangle construit sur ces deux droites â), CE, au temps Q que le mobile met à aller de M en M'.

Or, nous pouvons décomposer la vitesse DE en deux vitesses simultanées, DF, FE, en projetant le point E sur la direction CF ;

DE raccélération — se décomposera de même en deux accélé-

DF rations, Tuae — > parallèle à la tangente à la trajectoire au

FE point M, et l'antre — , normale à cette tangente, et dirigée

parallèlement au plan osculateur qui contient à la fois les deux tangentes Mv, Wv\

L'angle ECF est Y angle de contingence de Varc MM'; il est infiniment petit, et par suite CF diffère infiniment peu de CE.

CE La limite du rapport — est l'unité, et Ton peut poser

Lr

DF = CF — CD = CE — CD = v' — v.

DP i;' 1)

Donc — = r> valeur déjà trouvée de l'accélération

tangentielle.

D'un autre côté, EF se confond à la limite avec l'arc de cercle