DES ACCÉLÉRATIONS
Menons en ces points, dans le sens du mouvement, des tan* gentes à la trajectoire, et prenons sur ces tangentes des longueurs Uv, M^Vj, Mjt^j, M5 Vj }IL^v^,,,, égales respectivement aux vitesses successives Vy v^, v^, v-y v^y.,» que possède le mobile à son passage en ces différents points.
Par un point G, pris arbitrairement dans l'espace, menons des droites CD, CD^, CD2, CD3, CD4...: égales et parallèles à Mr, M^Vj, M^v,, A Mj v^, M4 V4, . ... Le lieu géométrique des points D, D^, Dj, D5, D4.... sera une ligne dont les arcs infiniment petits successifs DDj, D^'D^, Dj D5, DjD^,... seront égaux aux produits des accélérations totales par la durée 0. Cette courbe auxiliaire donne donc par ses arcs les produits j0, et par ses rayons vecteurs les valeurs des vitesses v. Nous rappellerons la courbe indicatrice des accélérations totales.
Lorsque la trajectoire AB est plane, Tindicatrice des accélérations totales est aussi plane.
Lorsque le mouvement sur la courbe AB est uniforme, l'indicatrice des accélérations est située sur une sphère décrite du point C comme centre, puisque tous les rayons CD, CD^,... sont égaux. Elle devient alors la courbe qu'on appelle en géométrie Yindîcatrice sphérique de la courbe AB.
r 3 •. / CD 4- CDA
Le produit I ^ ^^ \ x B donne la longueur de l'arc MM^
de la trajectoire. Le produit CDxô est la longueur Mm=v0 que le mobile décrirait sur sa tangente Uv si à partir du point M il conservait un mouvement rectiligneet uniforme. Nous savons enfin quemM^ = ^j 0^; maisj Q^W^; doncmM^^ * DD^XO. La courbe indicatrice des accélérations totales fait donc coimaître les éléments utiles à l'étude du mouvement sur la trajectoire.
Fig. 85.
et notamment les directions des accélérations totales qui sont parallèles à ses tangentes.
A mesure que le mobile parcourt la trajectoire ÂB, on peut imaginer qu'un second mobile parcoure l'indicatrice DD4, de manière que les deux mobiles soient à la fois aux points correspondants, M et D, Ml et D^, M, et D,,.... des deux courbes. Les vitesses du mobile auxiliaire sur sa trajectoire DD^ seront à chaque instant égales et parallèles aux accélérations totales du mobile réel sur sa trajectoire AB.
DE l'accélération DANS LE MOUVEMENT PROJETÉ.
68. Soit AB la trajectoire d'un mobile, et abh projection de cette trajectoire sur un plan PP', parallèlement à une droite donnée. Soient M, M' deux positions successives et infiniment voisines du mobile; M^ et M\, les positions correspondantes du mobile projeté.
Menons la tangente Mm à la trajectoire AB au point M ; cette droite aurai pour projection sur le plan PP' la tangente Mim^ àla courbe ab au point Mj. Prenons ensuite sur la tangente à AB une longueur Mm =vB, v étant la vitesse du mobile au point M, et le temps que le mobile met à aller de M en M^ La projection du point m sur le plan PP' sera un point m^ de la tangente M^m^, et M^m^ sera égal à v^ G, v^ étant la vitesse du mouvement projeté ; en effet M^ m^ est la projection de Mm, ou de V 9. Mais nous savons que la projection de la vitesse v est égale à la vitesse v^ du mouvement projeté ; donc la projection de V est égale kv^Q; et par suite M^ m^ =: v^ ô.
L'accélération dans le mouvement réel est égale à
a pour direction la direction limite de la droite mW.
L'accélération dans le mouvement projeté est égale à
Fig. 84.
et
et a pour direction la direction limite de la droite m^M/. Or cette droite m^ M/ est la projection de la droite mM'.
