PU CBNTRE DB GRAVITÉ D'UN CORPS

§ 37. BéilnltioB da eentre de gravlfé. — Un corps solide est formé par la réunion d'un grand nombre de molécules placées à côté les unes des autres dans des positions déterminées. Chacune de ces molécules est pesante ; elle est soumise à une force agissant verticalement et de haut en bas, que nous appelons son poids. Les poids des différentes molécules, dont l'ensemble constitue un corps solide, sont donc autant de forces appliquées au corps, aux différents points où sont placées ces molécules. A moins que le corps n'ait de très grandes dimensions, on peut regarder les verticales menées par ses différents points comme parallèles entre elles : toutes les forces dont on vient de parler sont donc parallèles, et ont en conséquence une résultante : c'est cette résultante que nous avons appelée le poids du corps.

Pour trouver la résultante des poids des diverses molécules d'un corps solide, on composera ces poids, conformément à ce qui a été expliqué au § 25, relativement à la composition d'un nombre quelconque de forces parallèles, agissant sur un corps solide, dans un même sens. Imaginons, pour simplifier, que le corps solide, dont nous nous occupons, ne contienne que quatre molécules A, B, C, D, /îgf . 3 0 , dont nous supposerons les poids tous égaux à un milligramme. Les forces appliquées en A et B se composeront en une seule force,

de deux milligrammes, appli- I quée au point E, milieu de la ligne AB. Cette première résultante partielle se composera, à son tour, avec la force appliquée en C, en une force unique, de trois milligrammes, appliquée en un point F ; ce point est ' situé sur la ligne CE, de telle Fig. 30. manière que EF est la moitié

de CF, ou, ce qui revient au même, le tiers de CE. Cette deuxième résultante partielle se composera enfin avec la force appliquée en D, ce qui donnera la résultante définitive de quatre milligrammes, appliquée au point G, situé sur la ligne FD, au quart de cette ligne à partir du point F.

Concevons maintenant qu'on retourne le corps composé des molécules A, B, C, D, pour le mettre dans une autre position, sans le déformer, c'est-à-dire sans que les molécules qui le constituent ces-

DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DU CENTRE DE GRAVITÉ. 29 sent d'être placées de la même manière les unes par rapport aux autres. Le corps ayant été ainsi retourné, nous pourrons répéter la composition des poids des molécules, i comme nous venons de l'effectuer dans la première position du corps ; et si nous avons soin de composer ces poids dans le même ordre, ainsi que l'indique | la fig. 31, il est clair que nous retrouverons successivement, pour les points 1 d'application des résultantea partielles et de la résultante définitive, les mô- [ mes points E, F, G, que nous avions» | trouvés précédemment.

Le résultat que nous venons d'obte- 1 nir, s'obtiendra évidemment de même, f quel que soit le nombre des molécules *'''S»

d'un corps, et aussi quels que soient les poids de ces molécules, qui pourront être égaux ou inégaux. Ce n'est que pour fixer les idées, que nous avons réduit à quatre le nombre des molécules, et que nous les avons supposées également pesantes. Dans tous les cas, le point d'application de la résultante définitive des poids des diverses molécules ne dépendra aucunement de la position qu'on aura donnée au corps : ce point sera toujours placé de la même manière par rapport aux molécules.

Le point dont nous venons de reconnaître l'existence, par lequel passe constamment la résultante des poids des diverses molécules d'un corps, quelle que soit la position qu'on lui aura donnée, se nomme le centre de gravilé de ce corps.

§38. DétenniiMitloii cxpérliiientale da centre de gratté. — Lorsqu'un corps est suspendu à une corde, par un point de sa surface, fig. 32, il prend une certaine position d'équilibre. La force qui tend à le faire tomber est son poids, et le point d'application de cette force est son centre de gravité. Si le corps ne tombe pas, c'est qu'il éprouve de la |)art de la corde une traction, dirigée de bas en haut, qui fait équilibre à la première force, et qui doit en conséquence lui être égale et directement ' opposée. On conclùtde là que, si Ton imagine la direction de la corde prolongée à l'intérieur du corps, suivant la ligne AB , cette ligne devra passer par gravité.

Si l'on vient maintenant à suspendre le corps par un autre point

de sa surface, il prendra une nouvelle position d'équilibre, fig.33. Dans cette nouvelle position, la corde étant supposée prolongée à , 1 intérieur du corps, suivant CD, passera encore pai

ï le centre de gravité. Si l'on a conservé la trace de la I première ligne Â6, qui passait déjà par ce point, on I voit qu'il ne pourra se trouver qu'au point de rencontre -A G de AB avec CD.

I \\ Le moyen qui vient d'être indiqué pour trouver le K j % centre de gravité dun corps peut paraître difficile à ^n--j-"|l^ employer réellement, parce qu'il suppose qu'on ait tracé i I jJ à l'intérieur du corps les deux lignes AB et CD. Mais ^^f s'il ne peut pas conduire à trouver ainsi exactement la position du centre de gravité, il fournira au moins, dans °' * ' un grand nombre de cas, des indications suffisantes sur la place qu'occupe ce pointa Tin térieurdu corps Prenons pour exemple une canne de jonc, garnie à son extrémité supérieured'une pomme d'ivoire. Cette canne est symétrique tout autour d'un axe qui la traverse dans toute sa longueur : il est clair que son centre de gravité est situé sur cet axe. Pour trouver où il est placé au juste, il suffira de suspendre la canne horizontalement, en l'attachante une corde, ou bien en la posant sur l'arête vive d'un corps fixe, comme le montre la /îgf . 3 4 ; on cherchera, par le tâtonnement, en quel poin t la

A^[r^-- canne doit être appuyée, pour

^^mÊ^ se maintenir horizontalement à

Fig» 34. l'aide de ce seul point d'appui, et

l'on en conclura que son centre de gravité est situé au point de l'axe de figure qui se trouve immédiatement au-dessus du point d'appui.

§ 39. Centre de gravité d*nn eorp« homogène. — Il arrive souvent que la matière dont un corps se compose est répandue uniformément dans toute l'étendue du volume qu il occupe ; en sorte que, si Ton prend dans diverses parties du corps la quantité de matière contenue dans un millimètre cube, par exemple, on trouvera que le poids de cette matière sera toujours le même, quel que soit le point du corps où on l'aura prise. Dans ce cas, la position du centre de gravité ne dépend absolument que de la configuration du corps, et la recherche de ce point se réduit à une question de géométrie. En géométrie, on appelle centre de figure d'une surface, un point tel qu'en menant une ligne droite, comme on voudra, par ce point, et la terminant de part et d'autre à la surface, elle se trouve divisée par le point en deux parties égales. Toutes les fois que la surface d'un corps homogène aura un centre de figure, il est bien. évident

CENTRE DE GRAVITÉ d'uNE SURFACE. 31

que ce point sera le centre de gravité du corps. C'est ainsi que le centre de gravité d'un parallélipipède, fig. 35, est au point de rencontre de deux des diagonales ; que le centre de gravité d'un cylindre droit, fig. 36, ou oblique, /Jgf. 37, est au milieu delà ligne droit qui joint les centres des deux bases ; que le centre de gravité d'une sphère est au centre de cette sphère ; que le centre de gravité d'un

Fig. 35. Fig. 36. Fig. 37. Fig. 38.

anneau, ^g. 38, est au centre de cet anneau. On voit, par ce dernier exemple, que le centre de gravité d'un corps n'est pas nécessairement situé dans ia portion de l'espace qui est occupée par la matière du corps.

§ 40. Centre de g^ravité d'une surface. — Quelquefois le corps dont on veut trouver le centre de gravité présente dans toute son étendue une même épaisseur, qui est petite par rapport à ses autres dimensions ; en sorteque l'on est naturellement porté à faire abstraction de cette épaisseur, et à assimiler le corps à une simple surface. C'est ce qui arrivera, par exemple, pour une planche mince, ou une feuille de tôle. Si, de plus, ce corps est homogène, la position de son centre de gravité ne dépendra que de la figure de la surface à laquelle on le suppose réduit. C'est ainsi qu'on est conduit à chercher le centre de gravité d'une surface.

On reconnaîtra facilement que le centre de gravité d'un parallèle- [ gramme, fig, 39, est au point del rencontre de ses diagonales. Onl verra de môme que celui d'un cercle 1 n'est autre chose que le centre du [ cercle. l'S. 39.

Pour trouver le centre de gravité d'un triangle, fig. 40, nous observerons que la ligne AD, qui joint le sommet À au milieu de la base BC , divise en deux parties égales toutes les lignes, telles que mn, menées parallèlement à la base. Imaginons que les molécules dont se compose notre triangle soient rangées régulièrement le long de ces lignes, et que le triangle soit posé sur l'arête vive d'un prisme PQ, de manière à s'appuyer sur cette arête par la ligne AD. Chacune des files de molécules, si elle était seule, se tiendrait

en équilibre sur l'arête du prisme, puisqu'elle est supportée par son milieu. Toutes les files étant supposées liées ensemble, de manière

à former le triangle, se maintien- I dront encore en équilibre, et le triangle ne tendra pas à tomber plutôt d'un côté que de l'autre :

I on en conclut nécessairement que le centre de gravité du triangle est I situé sur la ligne AD. On verrait de même qu'il est situé sur la ligne qui joint le sommet B au milien E du côté AC : donc il se trouve ^^** *®' au point G de rencontre de ces deux

lignes. On démontre en géométrie que le point G, ainsi obtenu, divise la ligne AD en deux parties, dont l'une, AG, est double do l'autre, GD : on peut donc dire que le centre de gravité d'un triangle est sur la ligne qui joint le sommet au milieu de la base, et au tiers de cette ligne à partir de la base.

A l'aide du résultat que nous venons d'obtenir, nous résoudrons sans peine la question suivante : Trois hommes doivent porter un triangle pesant, fig. 41, en le prenant chacun par un des sommets; quel est celui qui sera le plus I chargé, et celui qui le sera le moins? Le poids du triangle, que nous supposerons être de 45", est une force appliquée en son centre de gravité G. D'après ce que nous venons de voir, la ligne BG prolongée va passer par le milieu D du côté j AC, et la distance BG est le double de la distance GD : nous pouvons donc regarder ^»s-4i. la force verticale de 45", appliquée au

point G, comme résultant de la composition d'une force verticale de 1 5" appliquée au point B,et d'une autre force verticale de 30 *^ appliquée au point D. Mais cette dernière force, qui agit au milieu de AC, peut être considérée comme provenant de la composition de deux forces verticales, de chacune 1 5** , agissant l'une en A, l'autre en C. Donc le poids du triangle équivaut à trois forces, de ^ 5" chacune, agissant verticalement aux trois sommets du triangle ; et, par suite, les trois hommes qui porteront le triangle seront également chargés, quelle que soit sa forme.

§41. Centre de gravité d'un corps formé par la réanioii de plnilewniaatrescorp0.*«^Lorsqu'on connaît les centresde gravité

ÉQUILIBRE d'un CORPS PESANT, ETC. 35

et lespoîdsdes diverses partiesdont un corps est formé, il est facile do trouver le centre de gravité du corps tout entier. Prenons pour exem pie deux boulets inégaux,honiogènes, fixés lun à l'autre par une éS^sSm^^mSSm^ss^^

tige cylindrique, éga- ^W j Ç

lement homogène, /îgf. i } *