Supposons que le ^^ Jk

plus gros des deux boulets pèse 5'' , le plus petit 2*" , et la tige qui les réunit 4 "^ . Le centre de gravité du corps F»«' ♦3.

tout entier est le point d'application de la résultante des poids de ses diverses molécules. On peut d'abord composer entre eux les poids des molécules du gros boulet, ce qui donnera une force de 5" , appliquée à son centre A ; on composera également entre eux les poids des molécules du petit boulet, et Ton trouvera une force résultante de 2"^ , appliquée au point 6, centre de ce petit boulet ; enfin la résultante des poids des molécules de la tige, qui réunit les deux boulets, est une force de 4'', agissant au point C, milieu de Taxe de cette tige. Il ne reste plus qu'à composer ces trois forces parallèles de 5'' , 2" et 1 ^ , appliquées respectivement aux points A, B, G, pour avoir la résultante défini* tive, dont le point d'application est le centre de gravité que nous voulons trouver. Pour cela on composera les forces de 2" et 1 ^ , agissant en B et G, en une seule de 3" , agissant au point D, qui est tel que DB est la moitié de DG ; ensuite on composera la force de 3^ appliquée au point D, avec celle de 5" appliquée au point A, en une seule force de 8'' , qui agira sur un point G, tel que AG soit les I de GD. G sera le centre de gravité du corps tout entier.

§ 42. Équilibre dTiui eorpm pesant qui repose sur nn plan herlaantal. — Lorsqu'un corps pesant s'appuie sur un plan borîzontal, sur une table ou sur le sol, par exemple, pour qu'il se maintienne dans cette position sans tomber ni d'un côté ni d'un autre, il doit remplir certaines conditions : la considération du centre de gra- \ité va nous permettre de les trouver. Ge corps s'appuie sur le plan par des points A, B, G, D, E, F, G, fig, 43, dont le nombre (st souvent très grand. On peut toujours former avec ces points un polygone convexe tel que ABDEG , c'est-à-dire un polygone qui n'ait pas d'angles rentrants ; plusieurs des points d'appui du corps resteront ordinairement à l'intérieur de ce polygone,, comme les

points C, F, et ne concourront pas à sa formalioD. L'action de 1

pesanteur sur le corps se traduit, en définitive, par une force ver

ticale égale à son poids et appliquée

Ison centre de gravité. Pour peu qu'on

j réfléchisse, on verra que, si la direclio

Ide cette force passe à l'intérieur du poly

Igone dont on vient de parler, le corps s

I maintiendra sur le plan, sans changer d^

[position; mais que, si elle passe en de|

Ihors de ce polygone, elle fera nécessaire

Iment basculer le corps, qui prendra ain-

^^^' *^' une nouvelle position dans laquelle

puisse être en équilibre.

Un cylindre oblique, s'appuyant par sa base sur une table, fig. 4i

Fïz, 44.

Fig. 4 5.

restera dans cette positiop, si la verticale qui passe par son cenlil de gravité vient rencontrer la table à l'intérieur du cercle de base cercle qui remplace dans ce cas le polygone convexe dont on a pari il n'y a qu'un instant. Mais si ce cylindre oblique a une plus grand longueur, il pourra arriver que la verticale passant par son centre d gravité tombe sur la table en dehors du cercle de base, fig. 4S, fi alors le cylindre ne restera pas dans cett position : il tombera nécessairement su le côté.

Tout le mondeconnaîtces jouets d'en I fant, qui sont formés d'un morceau d moelle de sureau, au bout duquel on fixé un bouton métallique. Lorsqu'on!^ pose sur une table, en les couchant su le côté, /îgf. 46, ils se redressent immédiatement pour se placer ver| ticalement. Cela tient à ce que la moelle de sureau étant extrénie

PRESSIONS SUPPORTEES PAR LES POIWTS D APPUI.

Fig. 47.

ment légère, le centre de gravité d'un pareil corps est situé à l'intérieur du bouton métallique ; et que lorsque ce corps est couché sur le côté, la verticale qui passe par son centre de gravité est dirigée en dehors du polygone convexe, formé par ses points d'appui avec la table. La force qui est appliquée au centre de gravité peut alors produire son effet, en abaissant ce point, ce qui oblige le corps à se redresser.

Pour qu'un homme qui se tient debout soit en équilibre, il faut que la verticale qui passe par son centre de gravité soit dirigée à lintérieur du polygone convexe, qu'on peut former avec les points de contact de ses pieds avec le sol. La fig. 47 montre la forme de ce polygone, dont toute la surface a été couverte de hachures. Si l'on vient à charger cet homme d'un fardeau un peu lourd, il devra changer de position, afin que le centre de gravité du corps total, formé de son corps et du fardeau, satisfasse encore à la condition précédente : s'il porte ce fardeau sur son dos, il se penchera en avant ; s'il le tient suspendu à côté de lui à l'aide de sa main droite, il se penchera à gauche. Si cet homme veut saisir de la main, sans se déplacer, un objet un peu éloigné, il allongera son bras et penchera son corps du côté de l'objet : mais en même temps il portera une jambe en arrière, pour maintenir toujours le centre de gravité dans les conditions qui conviennent à l'équilibre.

§ 43 . Pressions supportées par les points d'appui. — Un corps pesant qui repose sur un plan horizontal exerce des pressions sur ce plan, en chacun de ses points d'appui. Ces pressions peuvent être déterminées, ainsi que nous allons le voir, toutes les fois que le nombre des points d'appui ne surpasse pas trois.

Si le corps s'appuie sur le plan par un seul point, et qu'il soit en équilibre, il est clair que la pression qu'il exerce en ce seul point d'appui est égale à son poids.

I*renons pour exemple du cas où il y a deux points d'appui , le corps représenté par la /îgf . 48, qui se compose d'un disque circulaire, et d'une tigecy-; . lindrique fixée perpendiculairement à ce disque en son centre. Ce corps, posé sur le côté, s'appuiera en deux points A et B, et l'équilibre exige que la verti- ^*8- 48*

cale, menée par son centre de gravité G, rencontre le plan en un point C tle la ligne droite AB . Lepoidsdu corps est une force appliquée sui-

Kir

Fig.

vant la verticale GC ; nous pouvons regarder cette force comme pr< venant de la composition de deux autres forces verticales, appliquée l'une en A, TautreenB, forces que nous trouverons aisément- Il sul (ira, en effet, de diviser le poids du corps en deux parties, qui soieii entre elles dans le rapport des deux distances AC et GB ; AC étant plu petitque CB, la plus grande desdeux forces partielles ainsi obtenue sera la composante appliquée au point .4 et l'autre sera la composante appliquée ai point B. Ces deux composantes seront précisément les pressions que le corps exerce en ses deux points d'appui.

S'il s'agit d'un corps reposant sur un plat par trois points A, B,C, fig. 49, on trouven encore, de la manière suivante, les pressionî exercées sur les trois points d'appui. La verticale GO, passant pai le centre de gravité G, rencontre le plan en un point 0, qui doil être situé à l'intérieur du triangle ABC. Le poids du corps, qui esl appliqué en G, peut être regardé comme agissant au point O, el comme provenant de la composition de deux forces verticales, appliquées, l'une en A, l'autre en D. Cette dernière force peut elle-même être décomposée en deux forces verticales , agissant , l'une en B, l'autre en C : en sorte qu'on aura trouvé ainsi trois forces verticales, dont les points d'application sont A, B, C, et qu^ ont pour résultante le poids du corps. Ces trois forces sont les pressions supportées par les points d'appui A, B, C.

Lorsqu'un corps pesant s'appuie sur un plan par plus de trois points, il n'est plus possible de déterminer les pressions qu'il exerce en ses points d'appui, par la seule connaissance de la position do

son centre de gravité; l'exemple suivant le fera bien comprendre. Une table, fig. 50, posée sur un parquet, s'y appuie par quatre points A, B, C, D. Imaginons que lo parquet soit solide en A et D, tandis qu'en B et C il flé-^ chisse sous la moindre pression ; il est bien clair que I(^ lrig^ 50. poids de la table portera pres-

que tout entier sur les pointi^ A et D , et que les points B et C ne supporteront qu'une pression itès faible. Si, au contraire, le parquet était solide en B et C, ^

ÉQUILIBRE d'un CORPS PESANT, ETC. 3?

flexible en A et D, la table exercerait en B et C des pressions beaucoup plus fortes qu'en A et D. .

Tout ce qu'on peut dire , en général , pour le cas où nn corps pesant repose sur un plan horizontal par plus de trois points, c'es*t que la somme des pressions exercées sur les points d'appui est égale au poids du corps ; mais on ne peut , en aucune manière , assigner Ja valeur de chacune d'elles.

§ 44. Équilibre d'un corps pesant qui ne peut que toar- ■er autoar d'un axe liorisontal. — Lorsqu'un corps solide ne peut se mouvoir qu'en tournant autour d'un axe horizontal, comme une roue hydraulique, ou une meule de rémouleur, la position de son centre de gravité joue un rôle important. Si ce point est situé exactement sur la ligne droite idéale autour de laquelle peut s'effectuer le mouvement de rotation , le corps restera en équilibre dans toutes les positions qu'on pourra lui donner autour de l'axe ; l'action delà pesanteur ne tendra nullement à le faire tourner, pour le ramener dans une autre position d'équilibre. On voit, en effet, que cette action se réduisant en définitive à une force appliquée rfù centre de gravité, la direction de cette force, la seule qu'on suppose appliquée au corps, rencontrera toujours l'axe de rotation, et que cette force ne pourra , en conséquence, faire tourner le corps ni d'un côté ni de l'autre; elle sera détruite par la fixité de Taxe, et ne fera qu'appuyer le corps sur ses supports.

Si, au contraire, le centre de gravité n'est pas situé sur l'axe de rotation, le corps, soumise la seule action de la pesanteur, ne pourra se maintenir en équilibre que dans deux positions différentes. Lorsqu'on le fait tourner, son centre de gravité décrit une circonférence de cCTcle, fig, 51, dont le centre est situé sur l'axe de rotation, n pourra se maintenir en équilibre, dans chacune des positions pour lesquelles ce centre 1 de gravité sera au point le plus bas A, ou au | point le plus élevé B de cette circonférence : la direction de la force qui lui est appliquée rencontrant l'axe, cette force ne tendra pas plus à I le faire tourner adroite qu'à gauche. Mais toutes I les fois que le centre de gravité sera ailleurs 1 qu'en un de ces deux points, la force qui lui est | appliquée tendra constamment à l'abaisser, en faisant tourner le corps, soit à droite, soit à gauche. On voit par là que le centre de gravité doit être eh A ou en B, pour que le corps na tende pasàtoumer, sous la seule action de la pesanteur ; et que l'équilibre sera stable^ si \ë ceiitre dé gravité est en A , Instable, s'il est en B .

36 C£NTR£ DE GRAVITÉ.

Pour que l'action de la pesanteur ne gône en rien le mouvement de rotation qu'on veut donner à un corps autour d'un axe horizontal, on doit donc faire en sorte que son centre de gravité soit situé exactement sur cet axe. C'est ce qu'on fait, par exemple, pour les aiguilles des horloges de grandes dimensions : l'aiguille présente souvent, au delà du centre du cadran, un prolongement court, mais posant, qu'on a déterminé de manière que le centre de gravité de l'aiguille tout entière soit situé sur l'axe; souvent aussi, afin que l'aiguille ne s'étende pas des deux côtés du centre du cadran, on fixe à la tige qui lui sert daxe, en arrière du cadran, un contre-poids destiné à produire' le même effet. Dans les ateliers où l'on tourne de grosses pièces de fonte ou de fer, on adapte à ces pièces, lorsqu'elles sont montées sur le tour, des masses additionnelles qui ont encore pour objet de ramener le centre de gravité sur l'axe de rotation.

§ 45. L'influence du centre de gravité sur la position d'équilibre d'un corps, qui ne peut que tourner autour d'un axe horizontal, est rendue bien évidente par l'appareil suivant, qui a été désigné sous le nom d horloge magique.

Un cadran de cristal transparent, ^gf. 52, est percé en son centre d'un trou, dans lequel peut tourner librement l'axe C d'une aiguille. Cette aiguille, terminée en pointe à l'une de ses extrémités, pour pouvoir indiquer l'heure vers laquelle elle est dirigée, porte à l autre extrémité un anneau creux, à l'intérieur duquel peut circuler un petit corps assez pesant A. Un mouvement de montre, logé dans l'intérieur de l'aiguille, fait i mouvoir uniformément ce corps A sur tout le contour de l'anneau, dans le sens indiqué par Fig. 52. la flèche, et lui fait faire ainsi un tour entier

en douze heures. Le déplacement de ce corps détermine un changement de position du centre de gravité de l'aiguille, laquelle tourne en conséquence, pour se mettre à chaque instant dans la direction qui convient à l'équilibre. Pour trouver le centre de gravité de l'aiguille, correspondant à une des positions du mobile A, il faut la regarder comme formée de deux parties, dont l'une est ce mobile, et l'autre tout le reste de l'aiguille. Cela posé, on imaginera qu'au centre de gravité B de cette deuxième partie, on ait appliqué une force verticale égale à son poids, et l'on composera cette force avec le poids du mobile A : on obtiendra' ainsi , pour le centre de gravité de l'aiguille tout entière, un point G situé sur la ligne droite AB, et divisant cette ligne en deux segments, BG, AG,

PRESSION d'un levier SUR SON POINT D' APPUI. 39

inversement proportionnels aux poids des deux parties de l'aiguille. Pour toutes les autres positions que le petit mobile A occupera à l'intérieur de l'anneau , on trouvera de la môme manière le centre de gravité de l'aiguille tout entière, etlon reconnaîtra que ce centre de gravité décrit aussi, d'un mouvement uniforme , un petit cercle, qui est ponctué sur la fig. 52 ; c'est au centre de ce petit cercle qu'on a fixé Taxe C. A chaque instant la pesanteur dispose l'aiquille de manière à mettre son centre de gravité le plus bas possible. A mesure que ce centre de gravité décrit le petit cercle dont on vient de parler, l'aiguille doit donc tourner en sens contraire, et elle parcourt ainsi uniformément tout le tour du cadran en douze heures. Le mobile A, et le mouvement de montre qui le fait tourner dans l'anneau, étant cachés à l'intérieur de l'aiguille, il semble que cette aiguille marche seule ; et ce qui ajoute à l'illusion, c'est que l'aiguille est. parfaitement libre de tourner sous l'impulsion du doigt, et que dès qu'on l'abandonne à elle-même, elle revient exactement dans la position qu'elle occupait , après avoir oscillé pendant quelques instants autour de cette position.

ÉTUDE DE DIVERSES MACHINES, SOUS LE POINT DE VUE DE L'ÉQUaiBRE DES FORCES QUI LEUR SONT APPLIQUÉES.

§46. Pression d*an levier sur son point d'appui* — Nous avons vu déjà, dans les §§ 28,29 et 30, à quelle condition doivent satisfaire les forces qui sont appliquées à un levier, pour qu'il soit en équilibre : cherchons maintenant à déterminer la grandeur et la direction de la pression qu'il exerce sur son point d'appui.

Dans le cas du levier droit, représenté par la /igi. 20 (page 21), les deux forces parallèles appliquées aux points A et B auront une résultante égale à leur somme, parallèle à chacune d'elles , et passant par le point C : cette résultante est la pression que le levier exerce sur son point d'appui C.

Pour le levier droit soumis à deux forces parallèles et de sens contraires, fig. 23 (page 23), on peut regarder la force appliquée au point B comme résultant de la composition de deux forces parallèles, appliquées, l'une au point A, l'autre au point C. La première serait égale et contraire à la force qui agit au point A du levier, et serait détruite par cette force; la seconde serait égale à la différence entre la force qui agit au point B et celle qui agit au point A : c'est cette seconde composante qui représente la pression exercée par le levier sur son point d'appui.

Si un levier, droit ou coudé, est soumis à l'aolion de deux forces

hO MACHINES A L*KTAT D'ÉQUILIBRE.

qui ne sont pas parallèles, il ne pourra être en équilibre qu'autant que les directions de ces deux forces se rencontreront en un point D, 53, et que leurs grandeurs satisferont à la condition énoncée 1 précédemment (§29). Ces forces auront une résultante, qu'on obtiendra en construisant le paraiiélogramme D£GF, et qui sera nécessairement dirigé vers le point d'appui C du levier : car, sans cela, 1 elle tendrait à faire tourner le levier autour de cepoint, soit à droite, soit à gaucho. Cette résultante, représentée par la diagonale DG, Fig. 63. uest autre chose que la pression

que le levier exerce sur son point d'appui. On voit que, si Ton mène par le point C deux lignes CH et CK, respectivement égales et parallèles aux lignes qui représentent les forces appliquées aux points A et B, la diagonale CL du parallélogramme construit sur ces deux lignes aura la même grandeur et la même direction que la ligne DG; elle représentera donc, aussi bien que cette dernière ligne, la pression supportée par le point d'appui. C'est ordinairement ainsi, en construisant le parallélogramme CHKL, qu'on détermine la pression supportée par le point d'appui.

§ 47. Balance. — La

balance est un instrument qui sert à peser les corps, c'est-à-dire à déterminer le nombre de grammes ou de kilogrammes qui représente le poids de chacun d'eux.

Elle se compose essentiellement d'un levier, nommé (léaUt dont le point d'appui est au milieu de sa longueur, et dont les extrémités supportent deux plateaux, /Sgr. 54. Il est néces- • saire que le fléau soit très mobile autour de son point F'S- «^4. d'appui, et que ce point

reste toujours exactement au milieu de sa longueur, pendant qu'il oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre. Pour cela, il est

BALANCE. &i

muni d'un couteau d*acier, qui lui est fixé transversalement en son milieu , et qui fait saillie des deux côtés : ce couteau présente une arête déliée, mais non tranchante, tournée vers le bas, et par laquelle il s'appuie sur deux petits plans d acier, ou d'agate, disposés horizontalement, Tun en avant du fléau, l'autre en arrière, et fixés à un pied solide. Les oscillations du fléau s effectuent autour de cette arête, qui fait fonction d'axe de rotation.

Les deux extrémités du fléau présentent deux couteaux analogues à celui qui vient d'être décrit , mais disposés de manière à tourner leurs arêtes vers le haut : c'est sur ces deux arêtes que viennent s'appuyer les crochets auxquels sont fixées les chaînes qui supportent les plateaux. ^

On se sert de la balance en plaçant dans un des plateaux le corps qu'on veut peser, et dans l'autre des poids marqués, en quantité sufOsante pour établir l'équilibre , c'est-à-dire pour que le fléau se maintienne horizontal. 11 suffit alors, si la balance est juste, de compter le nombre de grammes ou de kilogrammes que représentent lespoids marqués qu'on a employés, et Ion a ainsi le poids du corps. Pour qu'une balance soit juste, il faut qu'elle remplisse deux conditions : 4 <^ les distances du point d'appui du fléau aux points de suspension des plateaux doivent être égales; 2" lorsque aucun corps n'est placé dans les plateaux, le fléau doit être horizontal. On voit en effet que, ces conditions étant remplies, si le fléau reste horizontal, lorsqu'on aura mis deux corps dans les plateaux, les poids de ces deux corps devront être égaux : puisque ces poids sont deux forces qui se font équilibre, en agissant sur le fléau, aux extrémités de deux bras de levier égaux.

On se contente souvent, pour s'assurer de la justesse d une balance, de vérifier si la seconde des conditions précédentes est remplie; mais cela ne suffit pas. La balance peut être très inexacte, quoique cette vérification ait réussi , parce qu'elle ne prouve en aucune manière l'égalité des bras de levier du fléau. Pour être certain que la balance est juste, on opérera de la manière suivante : après avoir reconnu que le fléau se maintient bien horizontalement, lorsque les plateaux ne renferment aucun corps, on mettra dans ces plateaux des poids tellement choisis que le fléau reste horizontal ; on changera ensuite ces poids de place, en mettant dans le plateau de gauche le poids qui était dans le plateau de droite, et inversement, et si le fléau ne cesse pas d'être horizontal, on sera sûr que la balance est exacte. Si les bras de levier du fléau étaient inégaux, les poids qu'on a mis dans les plateaux, et qui se faisaient équilibre en agissant aux eUrémités de ces bras de levier, devaient être aussi inégaux, le

plus grand agissant sur le petit bras de levier, et le plus petit sur le grand bras de levier. En changeant ces poids de place, on aurait ainsi appliqué le plus grand au grand bras de levier, le plus peiit au petit bras de levier : ces poids n'auraient donc pas pu se faire équilibre, dans leur nouvelle position, et le fléau ne serait pas resté horizontal. § 48. Sensibilité d'une balance. — Pour qu'une balance puisse servir à déterminer très exactement le poids d'un corps, il ne suffit pas quelle soit juste, il faut encore qu'elle soit très sensible: c'est-à-dire que, lorsque .le fléau se maintient horizontalement, sous l'action de deux poids égaux placés dans les plateaux, si Ion vient à ajouter, d'un côté seulement, un très petit poids, un milligramme, par exemple, le fléau doit se déplacer imméijiatement pour prendre une nouvelle position d'équilibre, visiblement différente de celle qu'il occupait. En outre, une bonne balance doit présenter le même degré de sensibilité, quels que soient les poids des corps placés dans ses deux plateaux. Pour qu'il en soit ainsi, la balance doit satisfaire aux conditions suivantes : r le point d'appui du fléau et les points de suspension des plateaux doivent être en ligne droite ; 2» le centre de gravité du fléau doit être au-dessous de son point d'appui, et très près de ce point.

On voit en effet que, quels que soient les poids égaux qu'on aura mis dans les deux plateaux, les poids de ces plateaux, ainsi . chargés , seront deux forces égales appliquées aux deux points A et B de suspension, fig. 55 : ces deux forces auront une

résultante passant par le point

Id appui C du fléau, résultante qui sera détruite par la fixité

I de ce point , quelle que soit la direction de la ligne AB , hori-

I zontale ou oblique. Le fléau se ^'^°- ^^* trouvera donc dans les mêmes

conditions que si les plateaux n'étaient pas suspendus à ses extrémités, et il ne prendra une position horizontale que sous l'action de son poids, appliqué à son centre de gravité G. Une différence d'un gramme, par exemple, entre les poids des corps mis dans les plateaux, produira donc le même effet que si le fléau était simplement soumis à une force d'un gramme, appliquée à une de ses extrémités A : sous l'action de cette force, il s'inclinera, et ne s'arrêtera dans une position A' B' , que quand son poids, appliqué à son centre de gravité G', fera équilibre à la force qui l'a dérangé do sa première position. On comprend aisément par là qu'une même différence entre les poids des corps mis dans les deux plateaux pro-

MÉTHODE DES DOUBLES PESEES. h^

duira toujours une inême inclinaison du fléau, quels que soient ces poids; et que cette inclinaison sera d'autant plus marquée que le centre de gravité G du fléau sera plus près de son point d appui C.

Une balance qui remplit les conditions qu'on vient d'énoncer cessera cependant d'être sensible, lorsqu'on chargera ses plateaux de corps très pesants : parce que, d'une part, le fléau fléchira, et les points A, B et C ne seront plus en ligne droite; et que, d'une c]utrepart, les arêtes des couteaux de suspension se déformeront, sous la pression très grande qu'elles auront à supporter, ce qui diminuera beaucoup la mobilité du fléau.

En cherchant à atténuer autant que possible ces deux effets, on parvient à obtenir des balances capables de peser, avec précision, des corps dont les poids varient entre des limites très étendues. C'est ainsi que M. Deleuil a construit une balance qui est sensible à laddilion dun milligramme dans un des plateaux, môme lorsque ces plateaux contiennent des poids de 1 0"* chacun.

Lorsqu'une balance est très sensible , l'addition cfcn très petit poids dans un des plateaux la dérange de sa position d'équilibre; mais elle ne s'arrête à une autre position qu'après avoir effectué une série d'oscillations, de part et d'autre de cette nouvelle position d'équilibre. Pour qu'on ne soit pas obligé d'attendre que les oscillations aient cessé, ce qui pourrait être long, on fixe au fléau une aiguille qui oscille en même temps que lui , et dont l'extrémité se meut le long d'un arc de cercle divisé; lorsqu'on voit que l'aiguille, en oscillant, s'écarte également de chaque côté du point de cet arc de cercle qui correspond à l'horizontalité du fléau, on est sûr que les poids mis dans les plateaux sont égaux, et Ton n'a pas besoin d'attendre que le fléau soit immobile, pour reconnaître s'il est horizontal.

§ 49. Méthode des doubles pesées. — Pour effectuer des {)esé(îs très exactes, on emploie toujours une méthode due à Borda, et connue sous le nom de méthode des doubles pesées. Y o\cï en quoi elle consiste.

Après avoir mis le corps à peser dans un des plateaux d'une balance, on lui fait équilibre, en mettant dans Tautre plateau de la grenaille de plomb ou du sable. L'équilibre étant bien établi, on enlève le corps, et on le remplace par des poids marqués, en quantité suffisante pour que le fléau reprenne la position horizontale, ou du moins pour qu" il oscille également de part et d'autre de cette position. Il est bien clair que ces poids marqués, produisant exactement le même effet que le corps, dans les mêmes circonstances, doivent servir de mesure à son poids.

hti

Dans l'emploi de cette méthode ingénieuse, on voit que rexactl tude du résultat ne dépend nullement de la justesse de la baloncc mais seulement de sa sensibilité. Une mauvaise balance, pourv qu'elle soit sensible, pourra ainsi servir à effectuer des pesées trè délicates.

§ 50. Balance de QvliKenB. — La balance de Quintenz, ains appelée du nom de son inventeur, est beaucoup employée dans 11 commerce, et pour peser les bagages, dans les bureaux des messa geries ou des chemins de fer. Cette J^alance est aussi souvent dé signée sous le nom de bascule. Elle est représentée par la fig. 56

Fig. &6

^I^^^Ï^^^^^^^^^ïïï^^^^^ï^^îSï^^S^^^^^^^^^^^^^^K^^^^^S

la fig. 57 e plus claire.

destinée à en montrer le mécanisme d'une manière

Un plateau AB, dont undes bords se relève en BC, est destiné à recevoir les corps quonveutpeser.

Ce plateau, qui fait corps avecla pièce D, s'appuie d'une part en E sur le levier FG, et d'une autre part, en H, il est

accroché dans l'anneau qui termine inférieurement la tringle HK. Le levier FG, mobile autour du point F, s'appuie sur rexlrémilé inférieure de la tringle GL. Les deux tringles HK et GL sap-

BALANCE ROMAINE. (i5

puient à leur tour sur le levier LN , mobile autour du point M ; et ce levier supporte en N un plateau P, destiné à recevoir des poids marqués. Les choses sont disposées de manière que le rapport de ËF à GF soit le même que le rapport de KM à LM : EF sera par eiemple le cinquième de GF, et KM sera aussi le cinquième de LM. En outre, la distance KM est ordinairement égale au dixième de la distance MN.

Admettons que, le plateau AB ne portant aucun corps, le levier LX soit en équilibre sous l'action de son propre poids, du poids du plateau P, et des pressions exercées en K et L par les tiges qui s'y appuient, pressions qui proviennent des poids de diverses parties de l'appareil. Si Ion place un corps Q sur le plateau AB, le poids de ce corps se répartira entre les deux points d'appui E, H du plateau. La portion de ce poids qui agira au point H donnera lieu à une pression égale appliquée en K au levier LN. L'autre portion de ce poids, agissant au point E du levier FG, exercera, par l'intermédiaire de ce levier, une pression cinq fois plus petite sur l'extrémité iDférieure G de la tringle GL ; cette pression , qui se transmettra sans changer de grandeur au point L du levier LN, produira sur ce levier le même effet qu'une pression cinq fois plus grande agissant au point K : en sorte que ce sera exactement comme si la seconde portion da poids Q agissait directement sur le point K. Le levier LN se trouve donc dans les mêmes conditions que si le poids du corps Q était appliqué tout entier en K;-et, pour lui faire équilibre, il faudra mettre dans le plateau P un poids dix fois plus petit.

Pour se servir de cette balance, on doit d'abord s'assurer, avant de mettre aucun corps sur le plateau AB, que le levier LN se tient horizontalement. On est ordinairement obligé pour cela de mettre certains poids dans le plateau P ; ces poids forment ce que l'on appelle la tare : pour ne pas les confondre avec les nouveaux poids qu'on aura besoin d'ajouter dans ce plateau, on les met habituellement dans une petite cuvette a, disposée au-dessus des chaînes qui le supportent. On reconnaît d'ailleurs l'horizontalité du levier LN, à l'aMe de deux appendices saillants &, c, dont l'un est fixe, et l'autre, mobile avec le levier, doit venir se placer en regard du premier. Lorsqu'ensuite on aura mis un corps sur le plateau AB , et qu'on aura établi l'équilibre, à l'aide de poids marqués placés dans le plateau P, il suffira de prendre dix fois le nombre de grammes ou de kilogrammes qu'ils représentent, pour avoir le poids du corps.

§ 54 . Balance romaine. — La balance romaine est très com mode, en ce qu'elle n'exige pas l'emploi de poids marqués. Elle con- >\Ae en un levier AB, fig, 58, suspendu par le point C, et mobile au-

A6 ÎIACHINES A L*ÉTAT D'ÉQUILIBRE.

tour de ce point. Au point A est disposé un crochet, quelquefois u|

plateau. Un anneau D, qui peut glisser le long de CB, supporte ui

Fig. 58

poids, Q. Lorsqu'on a suspendu un corps P au crochet, on fait glisse l'anneau D, jusqu'à ce que le levier AB reste horizontal. La positioi de cet anneau, dépendant du poids du corps, peut servir à le déterminer : il suffit pour cela qu'on ait gradué d'avance la partie B( du levier, c'est-à-dire qu'on ait marqué les points où s'arrête l'an neau, lorsque le corps suspendu au crochet pèse 1^, 2'^, 3^, etc.

La balance romaine est souvent munie de deux anneaux de suspension, comme le montre la/îj/. 58; alors le crochet, qui doit supporter le corps à peser, peut tourner autour de l'extrémité du levier de manière à se diriger toujours vers le bas, quel que soit celui de: deux anneaux de suspension dont on se serve. Quand on veut pesai des corps peu lourds, on suspend la balance par l'anneau le ploi éloigné du point A, comme dans la pg. 58; mais, pour peser dft corps dont le poids est un peu grand, on retourne l'instrument pour le suspendre par l'autre anneau, afin de donner un plus peti bras de levier à ce poids.

§ 52. Peson. — Le peson est destiné, comme la balance romaine à déterijiiner le poids d'un corps sans l'emploi d'aucun poids marqué. La fig. 59 représente un peson de petites dimensions, disposi spécialement pour peser les lettres, et qui est désigné pour cela sou: le nom de pèse-lettre. Le levier coudé ACB peut tourner autour di point C. Le centre de gravité G de ce levier tend à venir se placej sur la verticale qui passe par le centre de rotation C : mais il en es

POULIE. Ul

éloigné par raction du poids d un plateau £ suspendu au point Â. Lorsqu'on charge ce plateau , le levier tourne, et l'extrémité B se meut sur un arc de cercle ; cet arc a été gradué d'avance, en sorte qu'on sait, pour chaque position du point B, quel est le poids du corps qui a été posé sur le plateau. Le renflement D, que porte le levier coudé, a pour objet de placer le centre de gravité à ^ une distance suffisamment grande du ' centre de rotation.

§ 53. Poulie. — La poulie est un disque circulaire , qui présente sur sa tranche, dans tout son contour, une rainure qu'on nomme sa gorge^ et qui peut tourner librement autour d'un axe qui le traverse en soD milieu. L'axe peut être fixé à la poulie, et alors ses deux extrémités tournent dans deux ouvertures circulaires pratiquées dans Due chape qui embrasse la poulie ; ou bien l'axe est fixé à la chape, et il traverse une ouverture circulaire percée au centre de la poulie, qui peut ainsi tourner indépendamment de cet axe. Une corde s'engage dans la gorge de la poulie, s'applique sur une portion de son contour, et s'en détache ensuite de part et d'autre, suivant les directions de deux tangentes à sa circonférence.

La /îg. 60 représente une poulie dont la chape est attachée à un point fixe ; la corde qui passe dans sa gorge supporte un poids à une de ses extrémités, et à l'autre extrémité est appliquée une force de traction qui doit maintenir ce poids en équilibre. Les deux forces, qui agissent suivant les deux parties rectilit^es de la corde, sont dans lés mêmes conditions que si elles agissaient aux deux extrémités d'un levier coudé formé des rayons qui joignent le centre de la poulie aux points de contact A et B des deux cordons avec sa circonférence : et comme les deux bras de ce levier sont égaux, il s'ensuit que la force de traction doit être égale au poids du corps qu'elle maintient en équilibre.

La poulie peut être encore employée comme l'indiquent les fig.&\ *t 62.Lacbapeestalors munied'un crochet auquelonpeut suspendre ^ poids. Une des extrémités de la corde est fixée à un point F, et

8 MACHINES A L*ÉTAT d'ÉQUIUBRK.

à l'autre extrémité est appliquée une force de traction. L'équillb étant établi , les deux cordons qui se détachent de la poulie, de pa

Fig. CI.

Fig. 62.

et d'autre, doivent être également tendus, et la résultante de leurs tensions doit être égale au poids du corps que la poulie supporte. Dans le cas de la /f 9. 64 , la force de traction sera donc la moitié de ce poids. Dans le cas de la /îg. 62, on prolongera les deux cordons jusqu'àleur rencontre en A ; on mènera par ce point une verticale, sur laquelle on prendra une longueur AD représentant le poids dont la poulie est chargée ; enfin on mènera DB, DC parallèles aux deœ^ cordons : les lignes AB, AC ainsi obtenues représenteront les ten-j sions des deux cordons, et la force de traction sera égale à l'un d'elles. Les tensions des cordons étant égales, il en résulte que. là lignes AB, AC devront avoir la même longueur, et par suite qa| les deux cordons devront être également inclinés sur la verticale AU § 54. Moufles. — Les moufles sont des machines formées parij réunion de plusieurs poulies sur une même chape. La /Ig. 63 repré sente un système de moufles dont chacune est formée de troî poulies tournant autour d'un même axe : chaque poulie toum d'ailleurs indépendamment des autres. La chape de la moufle supé rieure est fixée à l'aide du crochet qui la termine. Une corde s'afc tache par une de ses extrémités à cette chape ; de là elle desceil et passe dans la gorge d'une des poulies inférieures; puis ail remonte, et passe dans la gorge d'une des poulies supérieures ; ell redescend ensuite, pour passer dans la gorge d'une seconde poulU

TOUR, 01' TKEUIL. 49

inférieure, et ainsi de suite, jusqu'à ce que, ayant embrassé les gorges des diverses poulies, elle se détache de la dernière poulie supérieure. A la seconde extrémité de cette corde est appliquée une force de ■ traction, destinée à mettre en équilibre i le poids du corps que l'on suspend au ' crochet de la moufle inférieure.

Si l'on suit la corde dans toute sa longueur, on verra qu'elle a partout la même tension, puisque les cordons qui se détachent d'une poulie sont toujours également tendus. D'ailleurs. six cordons, qu'on peut regarder comme parallèles, soutiennent la moufle inférieure : la tension de chacun d'eux sera donc la sixième partie du poids du corps qui est suspendu à cette moufle.

La force de traction qui est appliquée à l'extrémité libre de la corde, et qui détermine cette tension, aura donc la même valeur, c'est-à-dire qu'elle sera six fois plus petite que le poids auquel elle fait équilibre.

A l'aide des moufles, comme à l'aide du levier, on peut, avec une force donnée, faire équilibre- à une résistance aussi grande qu'on voudra. Il suffira pour cela de réunir dans chaque moufle un assez grand nombre de poulies ; car on voit que, pour avoir la grandeur de la force capable de vaincre une résistance, il faut diviser cette résistance par le nombre total des poulies employées.

§ 55. Tour, on Treuil. — Lorsqu'on veut élever un corps pesant à une cer- 1 taine hauteur, on se sert souvent de la machine désignée sous le nom de tour^ ou treuil. Elle consiste en un cy- ' lindre A, /îg. 64, quelquefois de fonte, mais plus ordinairement de bois, qui est terminé à ses deux extrémités par deux tourillons B, reposant dans des coussinets fixes C.

/toogle

50 MACHINES A L'ÉTAT DÉQIJILIBIŒ.

Le cylindre, qui n'est appuyé que par ses tourillons, peut tourner autour de son axe. Une corde, dont un bout est fixé sur le contour du cylindre, est attachée par son autre bout au corps P, qu'il s'agit d'élever On fait tourner le cylindre, en agissant aux extrémités de leviers qui lui sont iixés ou bien qu'on introduit successivement dans des trous pratiqués sur son contour; la corde s'enroule, et elle fait

Fig. 64.

monter le corps auquel elle est attachée.

Pour trouver la relation qui existe entre le poids du corps qui monte et la force quf le fait monter, nous observerons qu'il importe peu que le levier sur lequel agit la force soit implanté en tel point ou en tel autre point de la surface du tour ; pourvu que ce levier conserve la même longueur, et que la force lui soit appliquée au même point, et perpendiculairement à sa longueur, cette force devra toujours avoir la même intensité pour soulever le poids. Nous pourrons donc admettre, pour simplifier, que la corde qui supporte le poids, et le levier sur lequel agit la force, soient situés dans un même plan perpendiculaire à l'axe du tour. Dès lors les deux forces P et F, fig, 65, se trouvent évidemment dans les mêmes conditions que si elles étaient appliquées aux deux extrémités du levier coudé MON; c'est-à-dire que, pour qu'il y ait équilibre, elles doivent être dans le rapport inverse du rayon OM du tour, et de la longueur Fi" C5 ON du levier. Si, par exemple, ON est égal à

"* * cinq fois OM, la force F devra être la cin-

quième partie du poids P.

§ 56. Cabestan. — Le cabestan est un tour, dont l'axe est place verticalement, /îgf. 66, et qui est employé, surtout dans les ports de mer, pour exercer de très grands efforts dans une direction horizontale ou presque horizontale. Le tourillon supérieur se prolonge audessus du coussinet dans lequel il tourne, et c'est à ce prolongenjent que sont adaptés quatre, six, ou même huit leviers, disi^osés réguJiè-