ÉQUILIBRE DES CORDES QUI SUPPORTENT DES CORPS
tèteAB, pour faire simplement équilibre aux pressions qu'il éprouve en D et en £, de la part des deux bords de la fente. Ces pressions sont perpendiculaires aux faces AC, BC, et nous pouvons les représenior par les lignes om, on ; en construisant le parallélogramme monp, nous trouvons op pour la ligne qui représente la résultante de ces deux pressions. Pour que la force appliquée sur la face AB fasse équilibre aux deux pressions om^ on^ et par conséquent à leur résultante op, il faudra qu'elle soit égale et directement opposée à cette résultante. Ainsi op doit être perpendiculaire à AB. Mais om et pm sont respectivement perpendiculaires à Atl et BG : donc Ifô deux triangles omp, ABC, sont semblables, comme ayant leurs œlés perpendiculaires. Il en résulte d'abord que om est égal à fww, ou à on^ puisque AC est égal à BC ; c'est-à-dire que les deux faces latérales du coin supportent des pressions égales en D et en E. On en déduit en outre que le rapport de la force qui doit être appliquée sur la tète AB, à l'une de ces deux pressions latérales, est le même que celui de la ligne AB à l'une des lignes AC, BC. On voit donc que, plus l'angle ACB sera aigu, plus la force nécessaire pour produire récartement des deux points D, Ë, sera faible.
§ 67. ^^ullibre des cordes on chaînes ^wA sapportcnt des corps pesants. — Lorsqu'une corde ou une chaîne est attachée, par une de ses extrémités, en un point fixe, et qu elle supporte un corps pesant suspendu à son autre extrémité, elle se dispose verticalement, et sa tension est égale au poids du corps. Mais il arrive souvent que des corps pesants sont suspendus d'une manière beaucoup moins simple : nous allons nous servir d'un exemple bien connu, pour montrer comment on peut, dans tous les cas, déterminer les tensions qui se développent dans les diverses parties de l'appareil de suspension. Nous prendrons pour cela le mode de suspension des lanternes à huile, qui servent à éclairer les rues, et qui ont disparu en grande partie depuis qu'on emploie l'éclairage au gaz. Une chaîne ABCD, /Sgr- 88, est attachée à ses deux extrémités A et D à deux poteaux. Au point C de cette chaîne, est accrochée une poulie F Une corde, attachée en B, passe sous la gorge de la poulie mobile E, qui supporte la lanterne , puis sur les deux poulies F et G, et vient enfin se fixer à un clou placé dans une boîte H , dans laquelle on peut serrer Texcédant de la corde.
La tension de la corde BËFGH doit être la même dans toute son étendue, d'après ce que nous avons vu à l'occasion de la poulie (§ 53). Cette tension s'obtiendra en observant que les tensions des deux cordons £B, £F, doivent avoir une résultante égale au poids de la lanterne : en sorte que, si l'on porte sur la verticale qui passe
74 MÀCHiNBs A l'État d'équilibre.
par le point £ une longueur Ee qui représente ce poids, et que, par
le point e, on mène des parallèles aux cordons EB, EF, on formera
un parallélogramme dont les côtés représenteront les tensions de ces deux cordons. Ainsi que nous lavons déjà vu, ces tensions devant être égales, il est nécessaire que les cordons EB, EF soient également, inclinés sur la verticale.
Pour déterminer les tensions des trois parties AB, BC et CD de la chaîne, nous remarquerons que cette chaîne est soumise : 1 • en
B, à une force dirigée suivant BE, et égale à la tension delà corde, tension dont nous venons de trouver la giandeur : 2" au point
C, à une force qui est la résultante Ffdes tensions des cordons FE, FGr. Les tensions des deux parties BA, BG, faisant équilibre à la force qui agit suivant BE, doivent avoir une résultante égale et contraire à cette force . Si donc nous portons, à partir du point B, sur le prolongement de BE, une longueur Bb égale à la tension de la corde, et que par le point b nous menions des parallèles aux parties BA et BG de la chaîne, nous trouverons les lignes Bw, Bm, qui représenteront leurs tensions. De même, si nous portons à partir du point C, sur le prolongement de CF/*, une longueur Ce égale à ¥f, et que nous formions le parallélogramme Gpcg*, les lignes Cp, Cq représenteront les tensions des parties BC, CD.
CHAiMB DES PONTS SUSPENDUS. 75
La configuration de la cbatne ABCD devra être telle que les lignes B/», Cp, déterminées comme on vient de le dire, soient égales entre elles, puisqu'elles représentent toutes deux la tension de BG. Pour évaluer en kilogrammes les tensions ainsi déterminées, il suffira de chercher combien de fois les lignes qui les représentent contiennent la ligne qui a été choisie pour représenter un kilogramme.
§ 68. C%alii« des ponte ■nspendos. — Nous pouvons en> core, à Taide des principes exposés précédemment, faire voir comment on détermine la figure qu'on doit donner aux chaînes qui supportent un pont suspendu.
Nous supposerons, pour simplifier, que le pont est suspendu à une seule chaîne. Il est clair que, lorsqu'il y en aura deux, la figure de chacune d'elles sera la môme que si elle était seule pour supporter le pont : il n'y aura de différence que dans la charge totale, et par suite dans les tensions des diverses parties de la chaîne ; ces tensions seront moitié moindres , dans le cas où le pont sera supporté par deux chaînes.
Soit abcdefgh^ fig, 89, la chaîne dont on veut déterminer la
Fig. 89.
figure; et soient M, N, P, Q, R, S, les barres de fer qui servent à suspendre le tablier du pont. Voyons d'abord à quelle condition la chaîne et les barres de suspension doivent satisfaire, pour que le pont soit convenablement suspendu. Si le tablier était coupé transversalement aux points A, B, C, D, E, F, G, chacune des barres aurait à supporter la portion de ce tablier au milieu de laquelle elle est (i%ée. Pour que le pont soit bien construit, il faut que les diverses portions du tablier , ainsi détachées les unes des autres , nen restent pas moins sur un même plan horizontal Car s'il en était autrement, si quelques unes s'abaissaient, d'fiutres s'éiève-
7tî MACHINES A L'ÉTAT D' ÉQUILIBRE.
raient, et le tablier présenterait dans son ensemble une figure sinueuse. Avant d'être coupé en diverses portions, il aurait donc tendu également à prendre cette figure sinueuse; sa flexibilité lui aurait permis de se déformer un peu ; mais comme il n'aurait pas pu subir toute la déformation qui se produirait dans le cas où les
parties AB, BC, CD, seraient complètement détachées les
unes des autres , il en serait résulté des tensions très inégales des
barres M, N, P Ainsi la condition énoncée précédemment doit
être remplie, pour que le tablier du pont reste horizontal dans toute son étendue, et que les barres de suspension soient également chargées. C'est cette condition qui va nous permettre de trouver la figure de la chaîne, et les longueurs des diverses barres qui la réunissent au tablier.
Après avoir divisé le tablier en parties égales, par les points
A, B, C, D, on tracera des lignes verticales par les milieux de
ces divisions, pour indiquer les directions des barres de suspension. On placera ensuite, entre les deux barres du milieu, le côté de de la chaîne , côté qui doit être horizontal , mais dont la hauteur audessus du tablier sera prise à volonté.
Pour trouver la direction du côté ab , on observera que les trois portions AB, BG, CD du tablier, qu'on peut supposer attachées ensemble, sont en définitive supportées par les deux chaînons ah et de : si l'on venait à couper ces chaînons, la portion ABCD du pont tomberait, puisqu'on admet qu'elle est détachée du reste du pont en  et en D. Les tensions des chaînons ab et de font donc équilibre au poids de cette portion du pont, c'est-à-dire qu^elles doivent avoir une résultante égale à son poids, et dirigée suivant la verticale N, qui passe par son centre de gravité. Il résulte de là que les deux chaînons ab et de prolongés doivent se rencontrer sur cette verticale. On prolongera donc la ligne de jusqu'à la rencontre de la verticale N en r; puis, en joignant ce point r au point a, on aura la direction du chaînon ab, et par suite l'extrémité supérieure b de la barre M.
Pour déterminer la direction du chaînon bc , on observera de même que la tension de ce chaînon, et celle de d^, font équilibre au poids de la portion BCD.du pont; ces deux chaînons prolongés doivent donc se rencontrer en un point situé sur la verticale passant par le milieu C de cette portion BCD. Ainsi on prendra le point de rencontre s de cette verticale avec le prolongement de la ligne de; on joindra ce point s au point &, déterminé précédemment > et l'on aura la direction du chaînon bc, et l'extrémité c de la barre N.
Enfin on joindra le pomt c au point d, et l'on aura ainsi la forme
MACHINES A l'ÉTAT DE MOUVEMENT UNIFORME. 77
d'une moitié de la chaîne. L'autre moitié sera toute pareille, et ses diverses parties se détermineront de la même manière.
Quant aux parties extérieures ap, hq, on leur donnera la même inclinaison qu'aux chaînons ab, gh. La chaîne étant simplement posée sur la partie supérieure a du massif de maçonnerie, et pouvant glisser sur ce massif d'un côté ou d'un autre, on doit regarder les tensions des chaînons aby ap, comme étant égales; la résultante de ces deux tensions sera donc dirigée verticalement, si ab et ap sont également inclinés; et cette résultante, qui n'est aulre chose que la pression exercée par la chaîne sur le massif, ne tendra pas à le renverser, ni à droite ni à gauche. '
Les tensions des diverses parties de la chaîne se détermineront très facilement. Si nous considérons, par exemple, les deux chaînons 06, 6c, nous voyons que leurs tensions doivent avoir une résultante égale au poids de la portion AB du pont, et dirigée verticalement, de bas en haut : on n'aura donc qu'à décomposer cette résultante, 66', qui est connue, en deux composan^ds dirigées suivant 6a et 6c. et Ton aura les tensions de ces deux chaînons.
MACHINES A l'ÉTAT DE MOUVEMENT UNIFORME.
§ 69. Les diverses machines dont nous nous sommes occupés jusqu'ici ont été considérées uniquement sous le point de vue de l'équilibre des forces qui leur étaient appliquées. Nous avons vu ainsi comment les efforts se transmettent à l'aide des machines, en se modiûant souvent d'une manière très considérable ; en sorte que l'emploi d'un levier, d'un tour, d'un cric, etc., permet de faire équilibre à une résistance très grande , avec une force beaucoup plus petite. Sous ce point de vue, on peut dire que les machines multi* plient les forces.
Mais on n'aurait qu'une idée très imparfaite des machines, si l'on se contentait de les considérer ainsi à l'état d'équilibre : cela pourrait même avoir de graves inconvénients, en ce qu'on serait porté à leur attribuer une puissance tout autre que celle qu'elles ont réellement. Si Ton voit encore maintenant beaucoup de personnes qui cherchent le mouvement perpétuel (nous entrerons plus loin dans quelques détails sur cette question), cela tient uniquement à ce qu'elles ont quelques notions sur l'équilibre des forces qui srgissent sur les machines, et que ces notions n'ont pas été complétées, comme elles devraient toujours l'être, par la considération des mou-^ vements des diverses pièces sur lesquelles ces forces agissent.
Nous allons nous occuper de ce complément indispensable, c'est-
