PENDULE

nlesse acquise, il remontera vers le point C; mais, la pesanteur lendaot coostammenl à ralentir son mouvement, sa vitesse diminuera, de telle sorte que, quand il arrivera en un point E, il n'aura plus que la vitesse qu'il avait précédemment en passant au point D, sitaéao roéme'iiiveau. Tant qu'il ne sera pas arrivé en C, au niveau du point A, il conservera encore une vitesse ascendante; mais, dès qu'il aura atteint ce point G, sa vitesse sera nulle, la pesanteur le fera redescendre jusqu'au point B, qu'il dépassera en vertu de sa 'itesse acquise ; il remontera vers le point A, puis redescendra de louveaa en sens contraire, et ainsi de suite indéfiniment. Si le corps ^vait se mouvoir sur la ligne A BC D E, flg. 4 35, et qu'il partit du

oint A, il descendrait jusqu'en B, remonterait en C, dépasserait ce oint pour redescendre en D, puis remonterait jusqu'au point E,si- ^é au niveau du point A. Sa vitesse étant devenue nulle en ce point '^ l'action incessante de la pesanteur le ferait descendre en sens Dnlraire, et il parcourrait ainsi le chemin E D CB A, pour s'arrêter D instant en A, d'où il repartirait pour revenir en E , et ainsi do Jile. Dans un pareil mouvement, la vitesse du corps ^deviendra la môme, chaque fois qu'il se retrouvera ar un môme plan horizontal : ainsi les vitesses qu'il c«>édera aux quatre points MNPQ seront égales lire elles.

!5 97. Peadole. — Un corps pesant, de petites dimenons, A,/îg. 4 26, telle qu'une balle de plomb, suspendu lextrémité inférieure d'un fil très-délié, dont l'exfeiité supérieure B est fixe, constitue un pendule, B corps A sera en équilibre lorsque le fil sera verti- ^ parce qu'alors son poids sera contrebalancé par j,. tension du fil; dans ce cas, ce ne sera autre chose i« le /îi à plomb, dont on se sert pour reconnaître la verticalité W ligne pu d'une surface plane. Mais, si l'on dérange ce corps

Fig. 127.

A, et qu'on le place dans la position indiquée par la fig. 4 27, Téqui libre sera rompu ; le poids du corps se décomposera en deux forces,

I dont l'une, dirigée suivant le prolongement du fil, sera détruite, I tandis que l'autre, dirigée perpendiculairement au fil, tendra à ramener le corps vers la positioE où il était en équilibre. Le corpt A, ainsi mis en mouvement, restera nécessairement sur k cercle dont le centre est en B, et dont le rayon est BA : il se mouvra donc conformément à c( que nous avons trouvé dans k ' § 96. Ce corps descendra verj le point B, avec une vitesse d( plus en plus grande; arrivé er ce point, il sera animé de la vitesse due à la hauteur verticale DC; i remontera, en vertu de sa vitesse acquise, jusqu'au point A', sitiu au niveau du point A ; puis il redescendra pour revenir au point .4. et ainsi de suite. Le pendule fera ainsi une série d'oscillations entn les positions extrêmes BA et BA', et si aucune cause extérieur ne venait altérer ce mouvement, il s'entretiendrait indéfiniment. Quand on fait l'expérience, ces oscillations successives se produisent bien : mais on remarque bientôt que l'angle ABA', fornw par les positions extrêmes du pendule, angle qu'on nomme YampHtude des oscillations , va en diminuant progressivement, et qu ai bout d'un certain temps cet angle devient nul ; en sorte que le pendule revient à l'état d'équilibre. Cette diminution progressive df l'amplitude des oscillations tient à la résistance que l'air oppose ai mouvement du pendule, et aussi aux résistances qui se produise^ toujours àsonpointde suspension, de quelque manière qu'on effectif cette suspension.

§ 98. Le temps que le pendule emploie à aller de la position B4 à la position opposée BA', est ce que l'on nomme la durée d'i oscillation. Ce temps varie, lorsque l'amplitude change; maisj l'amplitude est petite , les changements qu'elle éprouve n'i pas d'une manière sensible sur la durée des oscillations. Désigna par l la longueur du pendule exprimée en mètres : par n le rapj de la circonférence d'un cercle à son diamètre, rapport qui est à près égal à 3 |, ou plus exactement fff ; par g le nombi^ 9,~' comme précédemment , et par t la durée d'un» petite oscillatio*

PKNDULE, 117

exprimée en secondes. La mécanique rationnelle apprend que cette durée d'une petite oscillation est donnée par la formule

= irv/î.

Celle formule montre que, si la longueur du pendule varie, la durée des oscillations varie comme la racine carrée de cette longueur; en sorte que, pour avoir des pendules dont les durées d'oscillations soient entre elles comme les nombres 4 , 2, 3, il faut leur donner des longueurs proportionnelles aux nombres 4, 4, 9. On peut vérifier celte loi expérimentalement de la manière suivante. On prend deux pendules, dont l'un est quatre fois plus long que l'autre, et on les sospend l'un devant l'autre , en deux points situéà sur une même ligne horizontale. Si Ton écarte ces deux pendules de leur position d'équilibre, d'un môme côté, et d'une même quantité , comme le HKHitrela fig, 4 28, puis qu'on les abandonne eninéme temps à euxmêmes, ils prendront successivement les positions relatives représentées par les fig. 4 29, 4 30, 4 34 . Après une oscillation entière du

Fig. 128. Fig. 129. Fig. 130. Fig. 131.

petit pendule, le grand n'aura fait qu'une demi-oscillation, fig. \ 29; pendant que celui-ci achèvera son oscillation, l'autre reviendra au point de départ, fig. 430. Lorsque le plus grand des deux aura fait ensuite une demi-oscillation en sens contraire, le petit achèvera une troisième oscillation, /Sg. 434 ; et enfin lorsque le grand pendule sera revenu à sa première position, le petit y sera également revenu, ensortequ*ils se retrouveront comme au commencement du mouve- ^^^i ft/. 428. On voit par là que, pendant que le grand pendule wit une oscillation, le petit en fait deux.

§ 99. La formule qui donne la durée des petites oscillations d'un pendule s'établit, en mécanique rationnelle, en supposant que le fil ^^^ pas pesant , et que le corps suspendu à son extrémité se ré-

118 PRODUCTION DU MOUVEMENT P.iB LES FORCES.

duit à nn point matériel : ce pendule idéal esl ce que Ton nomm un pendule simple. La lettre /, employée dans la formule, désigne \\ longueur du fil, comptée depuis son point d'attache jusqu'au poin matériel qui le termine.

Lorsqu'un pendule est formé d'un fil matériel à l'extrémilé du quel est attaché un corps pesant, quelque délié que soit le fil, quel que petit que soit le corps, ce n est plus un pendule simple. Le pendules qui servent à régulariser le mouvement des horloges, e qui se composent d'une tige métallique terminée par un corps len ticulaire, sont encore plus loin du pendule idéal dont nous venoni de parler. De pareils pendules sont désignés, par opposition, sou: lo nom de pendules composés.

Dans les oscillations d'un pendule composé, toutes les molécules dont il est formé oscillent de la même manière; la durée de l'oscillation de chacune d'elles est la même que celle dô toutes les autres. Cependant, si ces molécules étaient liées isolément au point de suspension par des fils flexibles non pesants, ett[ue chacune pût osciller indépendamment des autres, elles formeraient autant de pendules simples de diverses longueurs , et leurs oscillations n'auraient pas la même durée : celles qui seraient plus rapprochées du point de suspension iraient plus vite, les autres iraient plus lentement. On Voit donc que, lorsque toutes les molécules sont liées entre elles, et constituent ainsi le pendule composé, pour qu elles oscillent toutes de même, il faut que le mouvement des unes soit ralenti, et celui des autres accéléré par leur dépendance mutuelle. Entre les premières et les dernières, il doit y avoir certaines molécules dont le mouvement n'est ni ralenti, ni accéléré, et qui oscillent de la même ma nière que si elles étaient seules. La distance d une quelconque de ce.^ molécules au point de suspension est ce que l'on nomme la longueur du pendule; c'est la longueur du pendule simple équivalant au pendule composé, relativement à la durée des oscillations.

La mécanique rationnelle enseigne à trouver celte longueur, quelle que soit la figure du pendule composé, et de quelque matière que ses diverses parties soient formées. Dans le cas où le pendule est formé dune balle de plomb suspendue à l'extrémité d'un fil délié, la longueur du pendule simple qui lui est équivalent ne diffère que dune quantité insignifiante de la distance du point de suspension au centre de la balle ; c'est donc cette distance qu'on devra prendre pour la longueur du pendule, lorsqu'on voudra se servir de la formule qui donne la durée d'une petite oscillation.

§ 4 00. Si l'on cherche, par l'expérience, la durée d'une oscillation ^'un pendule, en comptant, par 'exemple, le nombre d'oscillations

MOCVfiMENT DS L'BSCAUPOLBTTE . 119

quil effectue en ane minute ou 60 secondes, et divisant 60 par ce nombre d'oscillations; et si, en outre, on détermine la longueur du pendule simple équivalent, on pourra, à l'aide de ces données, trouver 1res exactement la valeur du nombre que nous avons désigné par g. En effet, si Ton prend la formule écrite précédemment au ^98, qu'on élève au carré les deux membres de l'égalité, et qu'on résolve ensuite par rapport à gf, on trouvera

tt'/

fe qui permettra" de calculer la valeur de g y puisqu'on connaît les [aleurs de ir, de l et de t. C'est ainsi qu'on a trouvé que g est égal 1 9",8088, comme nous l'avons annoncé au § 88. La même formule peut encore se mettre sous celle autre forme :

)npourras'en servir pour trouver la longueur d'un penduledontlesosiUaiions aient uneduréeconnue. Si l'on veut connaître, par exemple, a longueur du pendule à secondes, c'est-à-dire du pendule dont chaîne oscillation a une durée d'une seconde, on remplacera ( par 4 , $r Mr9,8088, ir par -Jfl, et on trouvera 0™, 99 4 pour cette longueur.

Cette longueur du pendule à secondes doit rester gravée dans la mémoire, afin qu'on puisse s'en servir au besoin. 11 est, en effet, très acile de construire un pareil pendule, partout où l'on se trouve, en ittachant une balle de plomb ou une bille à l'extrémité d'un fil délié, !t suspendant ce fil de manière que la distance du point de suspendu au centre de la balle ou de la bille soit de 0'°,994. A l'aide de * pendule, qu'on fera osciller, on pourra mesurer très exactement a durée d'un phénomène, lorsque cette durée ne sera pas très ^gne. On pourra s'en servir, par exemple, pour compter le nombre de secondes qu'une pierre emploie à tomber de Torifice d'un «ïilsjusqu a son fond, afin d'en déduire la profondeur du puits. Si on voulait un pendule qui fit chaque oscillation en une demi-seonde, il faudrait lui donner une longueur quatre fois plus petite, esl-à-dffede0",248,

§ 1 04 . HiNiTeniciit die l'escarpolcCie. — L'escarpolette conisleenun siège suspendu à des cordes, sur lequel on se place pour se ttlancer dans l'air. Les cordes, au nombre de deux ou de quatre, sont 'Hachées en deux points fixes, situés sur une même ligne horizonale. Quand l'escarpolette est mise en mouvement, elle tourne au- ^rde cette ligne horizontale, comme autour d'un axe, et constitue ûn»i un véritable pendule. Si l'on n'entretient pas le mouve-

120 PRODUaiÛN DU MÛDVSMSNT PAR LSS FORCES, ment, les oscillations successives ont des amplitudes de plus eii plus petites, et elles finissent, au bout de quelque temps, par disparaître tout à fait, ainsi que nous l'avons dit dans le § 97.

Il arrive cependant que, lorsqu'une personne, placée debout sor l'escarpolette , imprime certains mouvement» à son corps, Tamplitude des oscillations va en augmentant, et que, tout en ayant été très faible d'abord, cette amplitude peut devenir très grande : c'art l'explication de ce fait que nous allons donner.

Imaginons qu'un pendule AB,/«flf. 4 32, formé d'un petit corps, A, et d'un fil très-délié, puisse étn disposé de telle manière, que, lorsqu'il descend vers la verticil| BC, il conserve toujours la mêmi Inogueur AB ; tandis que, dès qu'i l'aura dépassée, et qu'il remontera de 1 autre côté, sa longueur devienne brusquement plus petite, et se réduise à BD. Pendant une oscillation entière, le corps A ^^^^^^^^__ décrira d'abord l'arc de cercle AC, Fig. 132, en descendant; arrivé en C, il

remontera brusquement au point D; «nfin il achèvera l'oscillation en se mouvant sur l'arc de cercle DN. Il est facile de reconnaître que, dans ce cas, la demi-oscillation ascendante devra avoir une amplitude plus grande que la demi^ oscillation descendante qui la précède. Le corps A, au moment où il arrive en C, est animé de la vitesse due à la hauteur CF, vitesse qoi est dirigée horizontalement; en se transportant brusquement deC en D, il conserve la même vitesse horizontale, et c'est en vertu dfl cette vitesse qu'il monte le long du cercle DN ; il devra donc s'éle^ ^er sur ce cercle jusqu'en un point H, dont la hauteur DK, au-dessos du point D, soit égale à GF ; en sorte que, à la fin de la demi-oscillation ascendante, le pendule prendra la direction BH. Or, il est aisé de voir que l'angle CBH est plus grand que l'angle ABC. Si, par exemple, BD était la moitié de BC, il faudrait prendre DG égala la moitié de CF, pour que le point E, situé au niveau du point G, déterminât un angle CBE, égal à ABC ; et puisque DK est égal à CF, il s'ensuit que le point H est plus haut que le point E, et, en conséquence, que l'angle CBH est plus grand que l'angle ABC. Admettons encore que le pendule, en partant de la direction BH, pour recommencer'une autre oscillation, reprenne sa longueur primitive AB; puis, qu'il se raccourcisse de nouveau, aussitôt qui'