MOUVEMENT DE L*ESCARPOLETTE

aura achevé sa demi-oscillation descendante; la même raison fera que l'amplitude de la demi-oscillation ascendante sera plus grande que l'angle CBH.

Et si le pendule continuée se mouvoir ainsi, en s'allongeant lorsqu'il se rapproche de la verticale, et se raccourcissant lorsqu'il s'en éloigne, l'amplitude des oscillations ira toujours en augmentant.

Les circonstances dans lesquelles nous venons de foire mouvoir un pendule se réalisent à peu près dans le mouvement particulier de l'escarpolette dont nous voulons nous rendre compte. LTiorame qui se tient debout pour se balancer, et qui cherche à augmenter l'amplitude des oscillations par les mouvements de son corps, se baisse et se relève alternativement. Il se baisse et prend la position indiquée Parla/îg. 433, au ïnomeht de chaïjue demi^osclUation descendante; il se relève, au contraire, à chaque demi-oscillation ascendante, et pr^d la po-

122 PRODUCTION DU MOtVJiMEXT PAR LES l'X>R(JES.

sition représentée par iaLfig. 434. Dans le premier cas, une portion de son corps s'éloigne des points d'attache de Tescarpoletto ; dans le second cas, elle s en rapproche. 11 existe évidemment une grande analogie avec ce que nous avions supposé dans notre pendule, et le résultat doit être le même, c'est-à-dire que Tamplitude des oscillations doit aller constamment en augmentant.

§ 402. HoaveoMnt carrlIlipBc d'ui eowpm ema^veamàtsm^ libre. — Lorsqu'un corps a été lancé dans l'espace avec une certaine vitesse, si aucune force ne venait agir sur lui pour modifier son mouvement, il se mouvrait uniformément et en ligne droite. Mais, dès le moment que ce corps sera soumis à l'action continue d'une force, son mouvement ne restera pas à la fois rectiligne et uniforme.

Si la force agit constamment suivant la direction du mouvement primitif du corps, elle ne changera pas la direction du mouvement, et ne fera que modifier la vitesse, en l'augmentant ou la diminuant, suivant qu elle agira dans le sens du mouvement ou en sens contraire : le mouvement restera rectilighe, mais il ne sera plus uniforme. Ce cas se présente, par exemple, lorsqu'un corps pesant se meut suivant une ligne verticale, soit qu'on l'ait laissé tomber sans lui imprimer de vitesse, soit qu'on Tait lancé de bas en haut.

Mais lorsque la force appliquée au corps n'agira pas suivant la direction de son mouvement, elle tendra à le détourner de sa route : elle l'en déviera en effet, à chaque instant, de plus en plus, et lui fera décrire une ligne courbe : le mouvement deviendra curviligne. On en a un exemple dans le mouvement d'un corps pesant lancé suivant une direction oblique : on voit ce corps monter, puis descendre, en décrivant une ligne courbe, parce que Taction de la pesanteur change à chaque instant la direction du mouvement que possède le corps Nous reviendrons dans un instant sur cet exemple du mouvement curviligne.

Nous ne pourrons nous rendre complètement compte de la manière dont le mouvement d'un corps est rendu curviligne, par l'action incessante d'une force non dirigée suivant le mouvement, que lorsque nous saurons composer entre elles deux vitesses dont un corps se trouve animé simultanément. C'est ce dont nous allons nous occuper d'abord.

§403. €oiiip«iici«B «es irUeamem. — Il peut paraître difQcilo, au premier abord, de concevoir qu'un corps soit animé, à la fois, de deux vitesses : l'exemple suivant lèvera toute incertitude à cet égard. Imaginons qu'un bateau se meuve uniformément, et en ligne droite, le long d'une rivière; une bille posée sur le pont, en un point A, fig, 435, participe au mouvement du bateau, et sans se déplacer

COMPOSITION DBS VITESSES. i2S

surleponl, elle se meut uniformément suivant la ligne droite A B. Si l'on vient à lancer cette bille de manière à la faire rouler unifor-

Fig. le 5.

mément sur le pont, suivant la ligne AC , elle se trouvera animée de deux mouvements à la fois : 1° du mouvement du bateau ; S*" de son mouvement par rapport au bateau.

Soit AD le chemin que la bille parcourrait en une seconde, en vertu du premier mouvement seul, c'est-à-dire la vitesse de ce premier mouvement, vitesse qui est la même que celle du bateau ; soit de plus AE la vitesse de la bille, dans son mouvement de roulement sur le pont. Au bout d'une seconde, le bateau se sera avancé d'une quantité égale à AD ; la ligne AC, sur laquelle la bille roule, et qu on peut supposer tracée sur le pont, se sera transportée parallèlement à elle-même dans la position DF. Mais, en même temps, la bille aura marché sur cette ligne d'une quantité égale à AE, et, comme le point E se sera transporté en G, en décrivant EG parallèle à AD, la bille se trouvera en G, à la fîn de la seconde que nous considérons.

La bille était au point A au commencement de cette seconde, et elle est au point G à la fin : or, il est aisé de voir que, pendant loule la durée de cette seconde, elle n a pas cessé de se trouver sur la ligne AG, et qu'elle l'a parcourue d'un mouvement uniforme Si 1 on cherchait, en effet, par le raisonnement qu'on vient de faire, où tétait la bille après une demi-seconde, un quart de seconde, on trouverait qu'elle était située sur la ligne AG, à la moitié, au quart de cette ligne, à partir du point A. Donc, en définitive, la bille, animée simultanément d'une vitesse AD, et d'une autre vitesse AE, dont les directions sont différentes, se trouve avoir une vitesse unique, représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les vitesses AD et AE.

On remarquera Tanalogie qui existe entre la composition des viteeses dont un môme corps est animé, et la composition des forces appliquées à un même point suivant des directions différentes. En raison de cette analogie, on emploie les expressions de composantes et de résultante pour les vitesses, aussi bien que pour les forces : AD et ÀE sont les vitesses composantes ; AG est la vitesse résultante.

§404. MomweaMtemt parabollqiie d'an corps pcMuit. — Lorsqu'un corps pesant est lancé horizontalement, quelque grande que soit sa vitesse, il ne continue pas à se mouvoir suivant une ligne horizontale : la pesanteur l'abaisse déplus en plus au-dessous de cette , ligne, et lui donne ainsi un mouvement curviligne. Pour étudier plus i facilement la manière dont se produit le changement continuel de I direction du mouvement, nous imaginerons que la pesanteur, au lieu 1 d'agir sans interruption, n'exerce son action sur le corps que d'une manière intermittente : nous Supposerons, par exemple, que la durée j totale du mouvement étant divisée en quarts de seconde, la pesan- i teur agisse brusquement au commencement de chacun de ces petits intervalles de temps, puis qu elle cesse d'agir, pour recommencer au commencement deTintervalle de temps suivant.

Dans cette hypothèse, le corps lancé horizontalement suivant la ligne AM, fig. 136, ne reste sur cette ligne que pendant un quart

Fig. 130.

de seconde. Au bout de ce temps, arrivé en B, il reçoit une impulsion de la pesanteur, qui lui imprime une vitesse verticale BB'; cette vitesse se compose avec la vitesse BB" qu'il possédait, et il en résulte une vitesse BB'". Le corps se meut pendant un quart de seconde suivant la ligne BB'", et arrivé en C, au quart de celte ligne, il reçoit une nouvelle impulsion de la pesanteur. Si l'on imagine que la vitesse qu'il possédait, en arrivant en ce point, soit décomposée en deux composantes C c et CC", égales et parallèles aux composantes BB', BB", la vitesse que lui communiquera la pesanteur, par son action instantanée au point C, s'ajoutera à la composante Ce, pour former une vitesse verticale double CC ; et, après cette seconde action de la pesanteur^ le corps sera animé

MOOVBfllENT PARABOLIQUE d'UN CORPS PESANT. 125

de la vitesse CC", résultante des vitesses CC et CC". De môme, après un nouveau quart de seconde , le corps ayant parcouru le qnart de CC", et étant arrivé en D , pourra être regardé comme animé de deux vitesses Dd, DD", égales et parallèles aux composantes ce , ce . la pesanteur agissant de nouveau, lui donnera encore , dans le sens vertical « le même accroissement de vitesse; en sorte que la composante Dd, double de BB', sera remplacée par la vitesse DD', triple de BB', et le corps se trouvera aoimé de la vitesse DD'^^ résultante des composantes DD', DD''. Il se mouvra pendant un quart de seconde suivant cette ligne, de D en £, puis la pesanteur changera encore la grandeur et la direction de sa vitesse, et ainsi de suite indéfiniment. On voit donc que, dans l'hypothèse où nous nous sommes placés, le corps décrira le polygone ABCDE.

Au lieu de supposer que la pesanteur agit à des intervalles d un quart de seconde , on pourrait admettre que c'est après chaque dixième de seconde qu'elle donne une nouvelle impulsion au corps, et on arriverait à un résultat analogue, si ce n'est que les côtés du polygone décrit par le corps.seraient plus petits et plus nombreux, pour une même durée totale de mouvement. Enfin, si Ton revient à la réalité, on verra que la pesanteur, agissant sans cesse, fera décrire au corps, non plus un polygone, mais une ligne courbe. De plus, si Ton décompose à chaque instant la vitesse du corps en une composMitehorizontaie et une composante verticale, on trouvera que la comM^te horizontale est toujours égale à la vitesse qu on avait imprimlna corps en le lançant; tandis que la composante verticale n'Ml autre chose que la vitesse qui lui aurait été communiquée par la pesanteur, s'il était tombé depuis le commencement du mouvement sous la seule action de cette force, et sans qu'on Tait lancé.

11 résulte de là que, pour se représenter le mouvement d'un corps qui a été | lancé horizontalement à partir du point A, fig, 4 37, 1 avec une certaine vitesse, dirigée suivant AM , on pourra concevoir que ce I corps tombe verticalement!

te long de la ligne AN, sans vitesse initiale, et que ^'^S* ^37.

cette ligne soit transportée parallèlement à elle-même, ainsi que le corps qu' la décrit^ avec une vitosse horizontale dirigée sui*

i26 PRODUCTION DU MOUVEMENT PAR LES FORCES.

vant AM, et égale à la vitesse de projection dont on vient de parler. Au bout d'une seconde, la ligne AN vient prendre la position BP; mais en même temps le corps est tombé sur cette ligne d'une quantité BG : il se trouve donc alors au point G. Au boul de deux secondes, la ligne A N se place en CQ ; mais le corps s parcouru sur cette ligne une distance CH, quatre fois plus grande que BG : il est donc en H, à la fin de la deuxième seconde. On verra de môme que si, sur la position DR, que prend la ligne AN après trois secondes, on porte une longueur DI égale à neuf fois BG, on aura en I la position qu'occupera le corps à cet instant; et en continuant ainsi on trouvera les positions du corps après 4, 5, G..., secondes. On pourra d'ailleurs trouver, tout aussi facilement, des positions intermédiaires de ce corps, telles que celles qu il prendra, par exemple, après \ seconde, 4 seconde et demie, 2 secondes et demie..., de mouvement; en sorte qu'on sera en mesure de tracer la ligne courbe qu'il décrit. Cette ligne courbe se nomme, en géométrie, une parabole : sa forme dépendra de la grandeur de la vitesse avec laquel- J le le corps aura été lancé horizontalement. Les j /!g. 438, 439,440 I représentent les paraboles décrites par des coq^s lancés avec des vitesses horizon- Fig. les. Fig. 130. Fis- 140. taieg^ qui sont

entre elles comme les nombres 4 , 2 et 3.

On peut vérifier par l'expérience qu'un corps, lancé horizontalement, et soumis ensuite à la seule action de la pesanteur, décrit bien une parabole, conformément à ce que nous venons de voir. A cet effet, on se sert de l'appareil représenté par la fig. 4 44 . Cet appareil consiste en un tableau de bois, sur lequel on a tracé plusieurs paraboles, partant d'un même point A, et représentant les chemins que doit parcourir un corps lancé horizontalement de ce point, avec des vitesses différentes ; à côté du point A se trouve un morceau de bois B, qui fait saillie sur le tableau, et dont la face courbe présente une rainure longitudinale : cette rainure est disposée de telle manière qu'une bille qui la suit, en roulant sous l'action de la pesanteur, arrive au bas avec une vitesse horizontale, et que le centre de cette bille est au niveau du point A, au moment où elle

HOUVE^IENT PARABOLIQUE p'UN CORPS PESANT. 127

quitte la rainure En laissant rouler la bille successivemenl à partir de divers points de cotte rainure, elle acquerra, en arrivant au point A , des vitesses horizontales différentes; et, après plusieurs tâtonnements, on parviendra à lui donner une vitesse Iclie qu'elle parcoure une des paraboles tracées sur le tableau. Pour s'assurer dune manière plus complète que la bille suit bien exactement cette parabole, on fixe, en plusieurs points de la courbe, des anneaux à vis dans lesquels la bille peut passer facilement; puis, en la laissant rouler d'une ^'^' **^'

bauteur convenable sur la rainure, on la verra traverser tous ces anneaux. La fig. M\ montre les anneaux disposés le long d'une des trois paraboles qui y sont tracées ; on aperçoit le long des deux autres les trous dans lesquels on les fixera, pour faire l'expérience en donnant à la bille des vitesses initiales différentes.

§ 403. Soit AB, fig. .\ 42, la parabole que décrit un corps pesant, lancé horizontalement au point A, dans le sens de la flèche /". Si , à chaque instant de 1 son mouvement, on décompose sa vitesse en deux composantes, l'une horizontale et l'autre verticale, on trouvera, ainsi que nous l'avons [ vu, que la composante horizontale reste toujours la même, et que la composante verti- | cale augmente proportionnellement au temps ; en sorte que, lorsqu'il sera arrivé en B, il sera animé d'une vitesse résultant de la com- ^'S- 1*2. positioQ de la vitesse horizontale qui lui a été imprimée au point A, et de la vitesse verticale que la pesanteur lui a donnée pendant toute la durée de son mouvement.

Imaginons qu'ensuite le corps soit lancé, à partir du point B, avec la vitesse qu'il avait acquise en arrivant à ce point, mais en sens contraire, comme l'indique la flèche f. La pesanteur diminuera progressivement la composante verticale de cette vitesse d'impul-

sion, de la même manière qu'elle avait augmenté la vitesse verticale du corps, lorsqu'il avait été lancé dans le sens de la flèche f; d'ailleurs la composante horizontale ne sera pas modifiée : en sorte que le corps reprendra successivement, mais dans un ordre inverse, des vitesses égales et contraires à celles qu'il avait eues précédemment. Il en résulte nécessairement que le corps repassera, en montant, par le chemin qu'il avait parcouru en descendant, c'est-àdire qu'il décrira la même parabole AB, en allant de 6 vers A ; et, arrivé au point A, il sera animé précisément de la vitesse horizontale, avec laquelle on l'avait d'abord lancé de ce point.

Nous sommes maintenant en mesure de voir quel mouvement pjrendra un corps pesant, lancé obliquement suivant une direction telle que AB, /îg. 4 43. Ce corps décrira d'abord, en montant, uu arc

AC de parabole; puis, arrivé au point C, où son mouvement sera dirigé horizontalement, il se trouvera dans les mêmes conditions que s'il était lancé de ce point, dans la direction CD, c'est-à-dire qu'il parcourra un nouvel arc CF de parabole. Les deux arcs AC et CF présentent une symétrie complète par rapport à la ver- I ticale qui passe par le point le plus haut C; le chemin ACF parcouru par le corps n*est qu'une portion de la parabole complète et indéfinie MCN.

§ 4 06. La figure de la parabole, que décrit un corps pesant lancé obliquement, dépend à la fois de la grandeur et de la direction de la vitesse qui lui a été imprimée. Si l'on fait varier seulement la direction de cette vitesse, sans changer sa grandeur, qu'on suppose par exemple que le corps soit lancé toujours de la même manière, et successivement, suivant les directions AB, AC, AD, Ali:,/îgf. \ 44, on luiverra décrire les différentes paraboles AB', AC, AD', AE'. La première de ces paraboles s'abaisse immédiatement au-dessous de la ligne horizontale AB; tandis que les autres, après s'être élevées au-dessus de cette ligne, viennent la rencontrer en des points G, H, K, inégalement éloignés du point A.

Chacune des distances AG, AH, AK se nomme l'amp/tïude du jet correspondant. L'amplitude du jet varie donc avec la direction de la vitesse initiale qui a été imprimée au mobile. L*étude complète