DES AXIOMES

la fois; — on ne peut affirmer et nier la même chose d'un même objet sous le même rapport ; — deux idées qui conviennent avec une troisième conviennent entre elles ; — si, de deux idées, l'une s'accorde, et l'autre ne s'accorde pas avec une troisième, elles ne s'accordent pas entre elles.

On reconnaît également des axiomes moraux, par exemple : Il ne faut pas faire à un autre ce que nous trouverions injuste qu'on nous fit à nous-même ; — il faut faire le bien et fuir le mal ; — personne n'est responsable de ce qu'il lui a été impossible de prévenir ou d'empêcher.

Les sciences même d'observation, comme la physique, donnent lieu aussi à des jugements rationnels évidents par eux-mêmes, tels que celui-ci : Tout corps répond à un espace.

Les axiomes étant compris dans les premiers principes, on peut leur appliquer ce qui a été dit précédemment (p. 109) sur les caractères des notions et vérités premières.

On reconnaîtra facilement, d'après la règle suivante, les propositions qui manquent des conditions nécessaires pour être mises au rang des axiomes :

Quand la seule considération des idées du sujet et de l'attribut d'une proposition ne suffit pas pour qu'on puisse, avec un peu d'attention, s'apercevoir que l'attribut convient au sujet, aussi clairement qu'on voit, par exemple, qu'il convient au tout Wëtre plus grand que sa partie, alors la proposition ne doit pas être prise pour axiome, mais elle doit être démontrée au moyen de quelques idées qui fassent voir la liaison de l'attribut au sujet : c'est ainsi qu'on se sert de Vidée des lignes parallèles pour montrer que les trois angles d'un triangle sont égaux à deux droits '.

ï 111. De la démonstration et de la déduction.

Dans les sciences de raisonnement, et en particulier dans

1 Voy. Logique de Port -Royal, part. IV, ch. vi.

celles qui sont plus spécialement appelées sciences exactes, le procédé ordinaire consiste principalement en une série de propositions qui se déduisent les unes des autres, dans le but de produire une démonstration .

La démonstration rst une opération méthodique qui a pour but de montrer à l'aide d'une ou plusieurs propositions intermédiaires, qu'une proposition contestée ou incertaine est renfermée dans une autre qui est certaine et incontestable, et qu'elle peut par conséquent être considérée aussi comme telle.

Le principe de la démonstration est nécessairement, ou une vérité première qui ne se démontre pas, un axiome, ou une vérité déjà démontrée.

Il y a une grande analogie entre le procédé ordinaire de la démonstration et celui de la déduction considérée dans sa forme complète, c'est-à-dire avec une proposition intermédiaire entre le principe et la conclusion, comme dans le syllogisme ; mais il y a entre les deux procédés cette différence que la déduction est simplement le fait de tirer des conséquences de principes quelconques l, tandis que dans la démonstration, ainsi qu'on vient de le dire, les conséquences doivent être tirées de principes certains et évidents. La déduction n'équivaut à une démonstration que lorsque les principes d'où elle part sont de cette nature.

Voici un exemple de déduction démonstrative, emprunté aux mathématiques ; c'est un corollaire d'une proposition démontrée :

Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux angles droits; donc sur les trois angles d'un triangle, Une peut y en avoir qu'un seul qui soilun angle droit.

La proposition moyenne sous-entendue serait celle-ci ou une équivalente: Si deux des trois angles étaient supposés droits, ils donneraient, avec le troisième angle, une somme supérieure à celle de deux angles droits (contrairement à la proposition démontrée) ; donc, etc.

1 Voyez du Raisonnement par déduction, p. 64.