PENDULE

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les mêmes conditions qu’en m ; il reviendra donc de »»' en m\ sa vitesse repassant exactement par les mêmes valeurs, aux différents points de la trajectoire. Nous avons là un mouvement varié dans lequel l'accélération n’e$t f>as constante; on le nomme mouvement périodique ou mouvement oscillatoire. Après des intervalles de temps •'•gaux, la vitesse repasse par les mêmes valeurs. — L’angle a est l’amplitude de l'oscillation.

G8. Lois des oscillation» pendulaire». — Le calcul s’applique trèsbien au cas simple que nous venons d’examiner, et la relation entre la durée de l'oscillation /, la longueur du pendule simple /, et l'accélération de la pesanteur g est donnée jmr la formule

■a représente, comme à l’ordinaire, le rapport de la circonférence au diamètre. , •

Cette formule nous conduit aux lois suivantes : puisque 1a valeur de t est indépendante de a et que le calcul de la formule suppose a très-petit :

1" Lot. — Pour de petites amplitudes, et duns'le même lieu,' la durée des oscillations d’un pendule est constante malgré les variations de l’amplitude. C’est la loi de \’ isochronisme des petites oscillations pendulaires.

2* Loi. - — Dms le même lieu, et pour des pendules de longueurs différentes, les durées d'une oscillation varient proportionnellement aux racines carrées

des longueurs de ces pendules, car g étant constant, on a : L~ .

3* Lot. — Dans des lieux differents, les durées des oscillations des /modules de même longueur sont en raison inverse des racines entrées des accélérations de la pesanteur , c’esl-Adire : 7 = .

03. Enfin, le pendule nous conduit à la vérification de eetle loi déjà établie par l'expérience (50), à savoir : que la pesanteur agit avec la même intensité Sur tous les corps. Car, la formule (I) qui s'applique, lions lèverions dans un instant, an pendule composé, exprime entre g, I et t. une relation (pii est tout à fait indépendante de la nature de la substance qui forme le pendule.

70. Pendale composé. — Centre iTourllIa tlnn 1.0$ trots lois. Conte-

nues dans In formnlo(l), et concernant le pendule simple, s'appliquent lotit aussi bien n un pendille ordinaire ou pendule composé , à la condition qu’on introduira pour valeur de/, dans la formule, la longueur du pendule simple qui exécuterait son oscillation dans le même temps que le pendule composé qu’on emploie. [In pendule composé peut avoir une forme quelconque: et souvent on adopte la disposition représentée dans la ligure v27

l'KSANTKlH.

Mais le calcul montre <|ue le pendule est formé d’une sphère d’une

grande niasse et d'itn-p'lil rayon, une sphère en platine, par exemple-, suspendue à l'extrémité d’un long iil d'iuie niasse négligeable , eu présenee de .celle de la sphère,, le point matériel placé au centre de la sphère n’est sensiblement ni accéléré, ni retardé, dans son mouvement, par sa liaison avec les points voisins: il oscille comme s’il était seul. On le nomme centre d'oscillation , et c’est la distance, facilement mesurable, de ce point à l'axe de suspension du pendule qu’on nomme longueur du pendille composé. ,

71 . Vfriflratlon expérimentale des lois. — Dès lors, les deux premières lois énoncées plus liant, pour le pendule simple, sont facilement vérifiables par l’expérience, sur un pendule composé constitué comme il vient d’être dit. On constate 1° que. même dans l’air, les petites oscillations d'un pendule composé sont isochrones, c’est-àdirc qu’il met, à différentes époques de son mouvement,’ le même temps pour exécuter le même nombre d'oscillations. Il suflit, pour effectuer cette expérience, d’évaluer, ft l’aide d’un chronomètre, la durée de 50, de KM), de 150 oscillations; on trouve que ees durées varient comme les nombres 1,2. 3 ; 2* en prenant des | (ondules de longueurs Variant comme les nombres 1 , 9, 16, on trouve

que les durées des oscillations varient comme les nombres 1,2, 3, \ , c’est-à-dire comme les racines carrées des longueurs de ees pendules.

72. Mesure de l’uccflératlon de la pesanteur. — La formule (I) lions |K*rniPt de déterminer la valeur de g en un lieu donné, car on en déduit :

Il suflira donc de mesurer exactement, dans le lieu choisi, la durée de l'oscillation d’un pendule dont la longueur aura été déterminée avec soin ; les valeurs de l et de l substituées dans la formule donneront la valeur de g. I doit être exprimée en mètres et t en secondes. On a trouvé ainsi, pour Paris, ÿ — 9", 8088. „• .

73. Valeur de tj aux diverses latitudes. — Eu opérant de la même façon à diverses latitudes, on trouve que l'accélération de la pesanteur qui peut servir de mesure à son intensité, va en croissant de l'équateur au pile. Cet accroissement a pour cause principale l'aplatissement de la terre vers les piles, qui a été constaté et évalué numériquement, au commencement de ce siècle, par la mesure, en divers points du globe de l'arc du méridien

pen.mjlk:

correspondant ù un degré. Lu pendule se trouvant plus près du centre île la terre, aux latitudes voisines des | s'il es. doit accuser un accroissement dans l’intensité de In pesanteur.

”•4. Variation iTInlpimlté de la peaiinteur quimdon pénètre dans l’intérieur de la terre. — La pesanteur n’est qu’un cas particulier de la gravitation universelle.—1 Toutes les ubsen'ationsâstronrftTiii|iies s’ accordeni pour le démontrer. -Son intensité varie donc en raison inverse du carré de la distant e au centre du globe, quand on s’élève à de grandes hauteurs atrdessus de la surfae'è terrestre. Mais lorsqu’on pchiétïera dans Tùitétictir de laterre, g augmentera-t-il ou diminuera-t-il? D’un côté, le calcul nous indique que, dans une sphère homogène, la pesanteur doit diminuer avec la profondeur, et varier proportionnellement à la distance au centre. D’ait- ,tre part, une expérience faite par M: Atry, avec le" pendule, au fond delà mine de Harton, à 385 mètres de profondeur, a montré que la pesanteur augmente d’abord quand on s’enfonce dans la terre, et à 385 mètres, l’ae-

froissement est de — — de la pesanteur à la surface. Celte contradiction

entre l’expérience et le calcul n’est qu’apparente: les expériences de Lavcndish et de Daily nous ont appris que la densité moyenne du globe est de 5,5 environ, tandis que celle des couches superficielles n’est que de 2,5. H faut nécessairement en conclure que la densité des couches profondes l’emporte du beaucoup sur celle des cor|»s voisins de la surface. Ou comprend alors, qu’eu descendant dans l’intérieur du globe, la diminution de la pesanteur tenant à l’abandon des couches enveloppantes superficielles puisse être plus que compensée par l’accroissement d’attraction dû au rapprocliement des couches beaucoup plus denses voisines du centre : si le dernier effet l’emporte sur le premier, g aura augmenté. M. Hoche, en admettant que la diminution de densité des couches, quand on se rapproclie de la surface, est proportionnelle au carré du la distance au centre, a trouvé un accord remarquable, qui peut u’être que fortuit, entre Je calcul

et l'observation. Sa formule donne, à 385 mètres de profondeur,

[leur valeur de l'accroissement de g. nombre peu différent, on le voit, de celui qu’avait obtenu M. Airy. Il arrive, en outre, à cette conséquence curieuse, que la pesanteur croit jusqu’à une profondeur égale au sixième

du rayon terrestre, où elle surpasse de plus de ^ . la pesanteur à la surface. A partir de là, elle diminue; an tiers du rayon elle possède la même valeur qu'à la surface, puis elle continue à décroître rapidement jusqu’au centre, où elle est nulle.

75. liOnmieBr du pendule qui bal la aeronile. — * La formule (1) lions I M'rnte t encore d'estimer la longueur que doit avoir on pendule pour battre la seconde, en un point donné de la surface de la terre. Eu faisant / I et

PKSANTKI H.

stiltstfluaril l:i valeur «I»* </ qui convient nn lion choisi, ou <l<;<l«iit / = ~ Pour Paris/ = 0",9!H.

70. Application du pendule pour la mesure du tentpa. — L’i» h IiI’ouisine des petites oscillations pendulaires a été utilise par lluy ghens pour la mesure du temps. C’est le pendule, nomme dans ee cas balancier, qui est le régulateur Ordinaire dans les horloges et dans les pendules de cheminée.

77. B*pcrlcncc de M. Foucault. — L'invariabilité du plan d oscillation du pendule, qui n'est assujetti qu’à celle unique condition de passer constamment par le centre de la terre, a été mise à prolit par M . Foucault pour démontrer la rotation du globe autour de son axe. Supposons un pendule |dacé au pôle; son Ul de suspension sera dirigé suivant l’axe du inonde, cl par suite son plan d'oscillation ne sera nullement influencé pur la rotation de la terre. Au contraire, un observateur placé dans le voisinage du |>eudule tourne, sans s’en douter, de l’ouest à l’est, pomme la terre dont il fait partie. Le plan d’oscillation du pendule paraîtra donc se mouvoir par rapport à lui, il se déplacera en apparence vers la gauche de l'observateur et fera nn tour complet en vingt-quatre heures. Transportons le jieudulc à l'équateur et faisons- le osciller dans un plan méridien, de manière que la trace de son plan d’oscillation sur l'horizon soit la tangente même au méridien -du lieu. Pendant la rotation de la terre, cette tangente demeure parallèle h elle-même et décrit, par suite, un cylindre dont les arêtes sont parallèles A l’axe terrestre. D’autre part, le plan d’oscillation du pendule, tendant à demeurer invariablement parallèle à lui-même, tout en restant vertical, se maintiendra dans le même plan méridien; sa trace décrira, elle aussi, un cylindre et continuera à se confondre avec la tangente. Donc, il n’y au rit [tas de déplacement apparent du pendule par rapport à l’observateur. A une latitude intermédiaire, l’expérience montre clairement qu’H y a mouvement apparent de rotation du. plan pendulaire autour de la-verticale, seulement, ce mouvement est d’autant moins rapide qu'on s’établit plus près de l’équateur. Avec le pendule de 50 mètres de longueur environ que M. Foucault avait installé au Panthéon, le déplacement estimé sur un cercle horizontal tracé aux limites de l’excursion pendulaire, était de plus de 2 millimètres, après une oscillation qui durait 8 secondes.

iv. — roms mes cours. — balance.

78. Nous avons déKni (45) le |»oids d’un corps. U nous reste à donner le moyen d’en obtenir nue évaluation numérique : mais, avant tout, l’unité doit être fixée. Ou a .adopté, comme ternie de comparaison, le. |a>ids du centimètre cube d’eau distillée prise à la température de son maximum

:ih

«le densité. t" : <>n l'a uontnté le gramme. I tu fabrique, en fer, en enivrerai en platine, de petites niasses de formes diverses, représentant par leur poids le gramme, les multiples et les sous-multiples du gramme. Ces poids gratinés, lorsqu’ils sont destinés à effectuer des pesées précises, sont en général échantillonnés pour le vide, c’est-à-dire que le numéro qui y est inscrit indique le poids qu’aurait la petite niasse, si elle était placée dans le vide absolu.

79. Balance. — La balance est un instrument destiné à comparer le poids d un corps quelconque à celui des poids gradués. Sa construction repose sur un principe théorique qui a été donné g 33 ; .nous avons vu que si aux deux extrémités d'une barre inflexible mm' (fig. 28), nommée fléau, •pie nous supposons réduite à une ligne droite, sont appliqués deux (aiids t;gaux et que le milieu de la barre s’appuie sur un support fixe A, ce fléau sera en équilibre. En effet, la résultante des deux forces est a|ipliquée au point A, le poids du fléau agit au meme point : donc eus deux forces sonfdétruites par la résistance du support et n'ont d’autre effet que d’exercer sur lui une pression égale à leur somme. — Cel équilibre a lieu, que le fléau soit horizontal ou incliné. — l)’ailleurs. pour la moindre différence dans la grandeur des deux poids, mm' s’incline du côté où l’excès île charge est placé, jusqu’à ce qu’il rencontre un obstacle fixe.

Avec un pareil système, il serait bien difficile d’arriver à établir l'égalité des tractions s’exerçant eu m et m\ en un mot de faire une pesée. Bien ■l'indiquerait que l'équilibre est près d’être atteint. Dans la balance, ah contraire, l’égalité des poids est accusée par l’horizontalité du fléau, et, s'il y a une petite différence, celui-ci s’incline du côté du poids le plus lourd! mais sans chavirer pour cela. Il prend pour de petites différences de charge une inclinaison fixe d'autant plus grande que cette différence est plus considérable.

80. Théorie d>- la iininnre — Pour réaliser cette condition nouvelle. il suffit de remplacer la droite idéale mm par un fléau pesant dont le centre de gravité ne coïncide pas avec l’axe de suspension, mais se trouve en fi. au-dessous du point d’appui; nous avons vu (;>2) que celle dernière position convient seule à l’équilibre stable du système (fi g. 29) Supposons, en effet, que les points d'application' w? et iri des deiix forces «mi les points d’attache des bassins de la balance soient sur un<“ ligne , dOute qui contienne le point d’iqqmi À (fig\ 30), de manière que. dails l« Mîtes les positions du fl«'*au, la résultante 2P des poids égaux soit constamment détruite. Désignons parti le centre de gravité du fléau. Si l’on

Fia. Î8.