M I HOIRS SPHÉRIQUES CONCAVES
dans (I ) PO, PO. PI. PI par leurs valeurs : .j— — — , — -, . <*l>nssf*ns les déJ . . , *f- P P
nominatenrs, il vient pp — ‘ tfp' = 2 fp — pp, ou bien 2 fp 2 fp' — 2 pp.
Enfin, si l’on divise chacun des termes par le produit 2 fpp', on a :
formule aisée à retenir. Elle unit entre elles les trois quantités f p et // :
Fig. S50.
ainsi elle détermine p la distance du point où l’axe principal est rencontré par le rayon réfléchi quand f et p sont données.
1178. Remarque* »ur le calcul. — Cette formule est indépendante de l’inclinaison du rayon PI, elle se rapporte donc à tout rayon lumineux partant du même point P, et au rayon réfléchi correspondant qui coupera l’axe à une distance déterminée p . Mais si ce résultat est contenu dans la formule, il importe de voir comment il s’y est introduit et de bien constater que si l’angle qui mesure l’inclinaison des rayons n’entre pas dans la valeur de p, cela tient à ce que nous l’avons supprimé nous-mêmes. Celte suppression nous l’avons faite, quand nous avons écrit que PI et IVI pouvaient être considérés comme égaux à PC et à PC. Dans la formule finale se retrouvent, en définitive, les hypothèses introduites dans le courant du calcul ; et à regarder de près ce qui a été mis en équation, la valeur de p' ne peut norm donner que la distance focale des rayons qui rasent l’axe. Un calcul complet prouverait d’ailleurs qu’un même point V n’est pas le foyer de tous les rayons partis de P, que tous les rayons réfléchis ne convergent pas rigoureusement en un même point : il y a une aberration longitudinale ; mais olle est très-petite, si l’ouvel'tuée du miroir est elle-même d’un petit nombre de degrés.
H 79. DUrmsion de la formule.
être mise sous la forme
La formule - 4- -V = -, qui peut P P f ’
Pt
donne très-simplement les résultats que nous avons déduits (1174) de considérations géométriques. En la discutant on aura le tableau suivant :
p diminue
p' grandit
p =,ir
p < 2fel>f.
P' > if
p’ = OD
Tons ces résultats s'obtiennent sans difficulté, le seul cas, qui pourrait offrir quelque embarras, est Celui où l’on ferait p = » , toute difficulté disparait si l’on divise par p les deux termes de l’expression fractionnaire :
la formule devient alors - — . et si l’on fait p = oo , devient nul et // est égal à f.
Les considérations purement géométriques avaient conduit aux mêmes conséquences ; mais la formule a cet avantage, qu'elle donnera, au besoin, la valeur de //. Ainsi, soit un miroir dont le rayon est égal à 2 mètres ; soit un point lumineux situé à la distance de 9 mètres : on trouvera la distance du foyer conjugué nu miroir en substituant 9 à la place de p , et la moitié du rayon, c’est-à-dire 1 , à la place de f. On aura : .
Im,lî5.
La formule (b) donne une valeur négative de p' lorsque p est plus petit que f, valeur qui indique que la longueur p doit être alors comptée non de C vers X, mais en sens contraire : ce qui donne le foyer virtuel. Si l’on voulait la valeur absolue de p ' dans ce cas particulier, il faudrait dans la formide changer le signe de celte quantité ; on aurait ainsi :
pr
1180. tir# secondaires. — Toute ligne droite telle que C'X’ [fig. 551), qui passe par le centre de courbure O du miroir MN, possède les mêmes, propriétés que l’axe principal; on l’appelle, â cause de cela, axe secondaire.
Pour comprendre que l’axe secondaire est identique, par ses propriétés, avec l’axe principal, il suffit de remarquer que si on augmentait la surface du miroir MN de N en N' jusqu’à ce què C' filt à égale distance de tous les points du bord du miroir ainsi augmenté, C'X' se trouverait être l’axe principal de ce nouveau miroir MN', et nous pourrions dire : Tous les rayons parallèles à l’axe C'X' viennent converger après réflexion au point P, situé au milieu du rayon C'ü. Que l’on retranche la partie NN'
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<|ui a été ajoutée, Ica rayons parallèles qui tombaient sur elle Bedon* neront plus de rayons réfléchis; mai» cette circonstance n’empêchera pas
Ktg. 641.
évidemment les autres rayons de se réfléchir comme ils le faisaient auparavant, et de converger encore au point F'. Ainsi, tous les rayons parallèles à un axe secondaire ont un foyer F que nous appellerons le foyer principal- de l’axe secondaire.
1 1 80 bit. De même, si l’on prend un point lumineux L sur l’axe secondaire C'X', à ce point lumineux correspondra un foyer conjugué, situé sur cet axe
secondaire et la relation - 4- -r — '.sera aussi la relation qui unit la dis- P ' P f .
tance focale/’, et les distances p et p au miroir de L et de son foyer conjugué. Le raisonnement, qui vient d’être fait pour les rayons parallèles, est en effet applicable, sans modification, au cas actuel.
Il ne faut pas croire toutefois qu’il est indifférent [tour la netteté des images de prendre un point lumineux sur l’axe principal ou en dehors de cet axe. A mesure que l’angle fait par C'X' avec l’axe principal va en grandissant, cette ligne devient l’axe d'un miroir d’un nombre de degrés plus considérable, et alors, comme nous l’avons déjà dit (f 170), les aberrations de sphéricité s’accroissent. L’image du point lumineux devient un cercle d'un plus grand rayon et toute netteté finit par disparaître. •
1181. image dpi objets. — Maintenant nous sommes en mesure de tracer l’image d'un objet AB ( fig . 552) placé devant un miroir sphérique concave.
Commençons par chercher celle de l’un des points A de l’objet. Tous les rayons qui émanent de A doivent, après leur réflexion, rencontrer l’axe secondaire AC' (1180 bis) en un même point. Or, le rayon AI parallèle à l’axe principal CX donne un rayon réfléchi qui passe par le point F milieu de la ligue CO, et qui continuant sa marche coupc l’axe AC' en un point A' ; donc tous les autres rayons émanés de A viendront en ce jioint A', qui est
OWlUtîB.
le foyer cherché. L’œil placé en avant do A', sur le trajet des faisceaux qui se sont en iistls eu oe point, éprouve la même sensation que si A' était un
point lumineux; un écran placé en A' sera éclairé en ce point et l’image de A qui y sera produite pourra être cette fois aperçue par un observa-
Kig. aôU.
leur placé dans une position quelconque par rapport à l’écran : A' est bien l’image du point A. On aura de même le foyer B* du point II et celui des
Fig. ôit.
points intermédiaires : l’image A'B\ ainsi obtenue, est, sans déformation considérable, l’exacte représentation de AB, mais elle est renversée.
Les ligures 552, 553, 55 A et 555 représentent la construction faite pour
MIHOIHS SPHEHIQUES CONCAVES.
diverses positions de l’objet, et elles correspondent à plusieurs eus particuliers : 1° l’image est plu» petite que l’objet (fig. 532 et 533), toutes le»
Fig. 555. ' . >
fois tpie ce dernier est au delà du centre et d’autant plus petite qu’il est plus éloigné. 2° L’image est plus grande que l’objet (fig. 534) quand celui-ci est entré te centre et le foyer principal. 3° Elle est égale en grandeur à l’objet et toujours renversée quand l’objet est au centre de courbure du miroir. Enfin 4° l image virtuelle que l’on obtient I fig. 555) quand l’objet est placé entre le miroir et le foyer principal est droite ; elle est toujours plus grande que l’objet, mais elle va en diminuant à mesure que l’objet ' s’approche du miroir. ■. ■
1482. Expérience*. — Tous ces résultats sont confirmés, dans laehambre noire, par une expérience qui consiste à placer une bougie AH (fig. 556)
Fig. 6 Mi.
au-devant d’un miroir sphérique concave MN et à recevoir l’image sur un écran. Quand la bougie est très-loin, on voit sa petite image renversée se peindre sur l’écran. A mesure que la bougie n’approche, l’image grandit,
cl l’on est obligé, pour la recevoir, dee-arter l’écran du miroir. Le rapprochement continuant toujours, on voit, quand la bougie est au centre, que son image toujours renversée est aussi au centre et de même grandeur que l’objet, quand la bougie dépasse le centre; et c’est le cas de notre figure, l’image renversée est au delà du centre et agrandie. Eu un mot, tous les résultats que l’on observe sont ceux qui viennent d'être indiqués dans le paragraphe précédent.'
Cette expérience sert à vérifier la formule - i7 = ^ . Pour cela la
bougie étant à une position fixe, on mesure la distance à laquelle elle se trouve du miroir : ce qui donne p; on mesure la distance à laquèlle l’écran
doit être placé pour recevoir l’image : ce qui donne p' et par suite + p , on
trouve ainsi que pour toute position de la bougie, celte somme est constante. Si une expérience préalable a donné le-rayon duvmiroir, on vérifie
que cette somme est égale à -, /"étant la moitié du. rayon. Les mesures se
prennent aisément avec l’appareil qui est sous les yeux du lecteur : le pied des instruments se meut dans une rainure dont les bords sont divisés en millimètres.
1183. Calcul île la grandeur relative de l'Image et de l’ohjet. —
Considérons la figure qui a servi à obtenir l’image d'un objet, dans le cas oü cette image est réelle (fig. 552). Les deux triangles AOB, AT)!? sont Semblables comme avant leurs angles égaux ; donc
mais Donc :
