LOI DK M A RI OTT E. — LOI DU MÉLANGE DES GAZ ET APPLICATIONS

C'est toujours la mémb marche qui est suivie pour résoudre les problèmes qui se- rapportent à la loi de Mariotte. On représente les inconnues de la question par des lettres et on écrit, en se servant de ces lettres comme des nombres fournis par l'énoncé, que le produit du volume de la masse gazeuse par la pression qu'elle supporte est constant.

V0H0 = V,Hl.

Cette égalité, nous l'avons vu (§ 173), est la traduction, en langage algébrique, de la loi de Mariotte.

Quand il s'agit d'un mélange de plusieurs gaz, c'est la formule VH’ = VH + VH' + VH" (§ 177) qui doit être employée.

Problème 3!). — Un” vase A parois élastiques contient 6m,334 d’air sous la pression de 0",76. Déterminer le volume de cet air à la pression de 0m,G4, la température pestant constante. (Nanry, (837.)

Solution. — Cette question se résout en appliquant de suite la loi de Mariotte. Si l'on appelle t le volume cherché on a :

On peut aussi raisonner de la manière suivante : Si la pression devenait 1 centimètre, c'est-à-dire 70 fois plus petite que la pression primitive, le volume deviendrait 70 fois plus grand ou 6,334 X 76*' Celte pression réduite à t centimètre devient-elle égale à la pression finale, qui est 04 fois plus grande, le volume cherché sera 04 fois plus petit ou

Problème 00. — Un tube barométrique, plongé verticalement dans une cuvette profonde, •renferme de l’air sec dans sa partie supérieure. Le volume de cet air est de 3 centimètres cubes et la hauteur du mercure dans le tube au-dessus du niveau dans la cuvette est de 588 millimètres. On soulève le tube jusqu’à ce que l’air de la chambre barométrique occupe 4 centimètres cubes. La hauteur

du mercure dans le tube est alors de 030 millimètres. On demande quelle est la pression extérieure. (Poitiers, 1859.)

Le volume de l'air devient dans la seconde expérience les * du premier vo-

lume, donc sa force élastique est devenue les 4 de la force élastique primitive.

Elle a donc diminué du quart de ce qu'elle était précédemment. Mais alors le mercure s'est élevé de 630"" — 5*8“"” = 42"'“ qui ont remplacé cette force élastique supprimée. Ainsi le quart de la pression exercée primitivement par l'air est égal à 43"" ; la force élastique totale était donc 42"" x 4 = 108“* et la pression atmosphérique était de 588"" |)I8""= 75G”".

Autre solution. — Soit x la pression atmosphérique : dans le premier cas on peut écrire

x == 588 4 -y ou y = x — 5X8

en appelant y la force élastique de l’air contenu dans la chambre barométrique. Hans le second on a

Problème CL — Un récipient plein d’air à la pression de 77e" est ajusté, (\ l’aide d'une monture à robinet, à lu partie supérieure d’un baromètre à cuvette ; tout le tube a une section de 20 centimètres carrés, et une longueur de 90 centimètres. La pression extérieure est de 75e". On ouvre le robinet, et le mercure tombe dans le baromètre à 40 centimètres du niveau dans la cuvette. On demande quelle est la capacité du récipient. La longueur du tube barométrique se compte à partir du niveau de la cuvette, lequel est supposé invariable. La température est aussi invariable pendant l'expérience. (Paris, 1858.) Solution. — Appelons x la capacité du récipient évaluée en centimètres cubes. A l'origine, l’air du récipient occupe un \olumc x sous la pression 77e. Lorsque le robinet est ouvert; cet air occupe un volume x -f- (90 — 40) X 2" sous la pression 75 — 40 *=> 35e.

On a donc:

42x = 35000 et, x = ^ = 833 cent, cubes.

Problème 02. — On a un ballon plein d’air sous la pression indiquée par le baromètre ; on y fait le vide ou plutôt on réduit l'élasticité & être seulement x, et l'on y fait entrer de l'hydrogène pour établir la pression Imrométrique. Ou réduit de- nouveau l’élasticité du mélange au même point x, et on fait de nouveau rentrer de l'hydrogène pour établir la même pression initiale. 11 arrive après celte dernière opération que le ballon contient un mélange dans lequel

le poids de l'air est 1 millième du poids de l'hydrogène. On demande quelle est la valeur de x à de millimètre près.

Latenipéralureest conslanteet le baromètre se maintient à 7ac“ de hauteur. La densité de l'hydrogène par rapport à l’air est 0,0691.

(CONCOURS r.ÉNKtUt., 1850.)

Solution. — Après la première opération, l’air contenu dans le ballon .conserve une force élastique z. Par la seconde opération, cette force élastique se

X ji

Irouve réduite : elle n’est plus que Par conséquent, la force élas-

liquc de l'hydrogène est 75 — ^ = — .j—, et le rapport des forces élastiques

des deux gaz est devenu • *' . Ce rapport, serait celui de leurs poids, si les

deux gaz avaient même densité ; mais comme la densité de l’hydrogène est les 0,0691 de celle de l’air, il faut, pour avoir le rapport des poids, multiplier l’expression précédente par 0,0601. -

Problème 63. — Trouver la loi suivant laquelle décroît la force élastique de l'air dans le récipient d’une machine pneumatique en teuant compte de l’espace nuisible (g 199). On donne, le volume Y du récipient, v celui du corps do pompe, u celui de l’espace nuisible, la pression initiale H.

Solution. — Appelons H,, ll„... H„ la pression de l'air, après le premier, le second, le »t* coup de piston.

Pour déterminer l'effet produit par le premier coup de piston, écrivons les conditions de la question :

Volume initial de l'air (V u) Pression initiale

Volume de la même masse gazeuse quand le piston est au haut de

sa course (V -|- u) Pression correspondante

On a donc :

lV + «)H = (V + »)HI d'où H, = ^ H + H.

La pression totale après le second coup de piston déterminée, comme nous venons de le faire déjà, sera :

de même après le troisième H,

v+» H‘ +v+UHi

P HO BLÊMES

après le u*

»'.. = v+-7,h»-+vTT"

De ces égalités l'on tire en éliminant H„ il,, etc. :

H» = (vT?)" " + ÿ£ï h | (vTT')" ’+ (vb) '' + + '

I.a quantité entre parenthèses est la somme des ternies d’une progression léométrique dont la raison est 7-^. 5 en substituant et en réduisant il vient

Telle est la loi véritable de la raréfaction de l'air dans le récipient de la machine pneumatique. On peut voir comme vérification que si l’on ne tient pas compte de l’espace nuisible, c'est-à-dire que si l’on fait h — 0, on retombe sur la loi ordinaire que nous avons donnée au § 197.

De même on en déduit la valeur [imite de H» qui exprime le pouvoir raréfiant de la machine; il suffit de faire « =* » , on a :

c’est la valeur donnée au § 198.

Problème 04. — L'n tube barométrique, purgé d’humidité mais non privé d'air, est dressé sur une cuve à mercure. I.a hauteur de la colonne de ce liquide dans le tube au-dessus du niveau dans la cuve est à— =0m,;i.72. On introduit dans le tube barométrique autant d'air qu'il y en a déjà ; la chambre barométrique augmente de moitié et la hauteur de la colonne mercurielle diminue de-/i' = 0m,072. On demande quelle est la pression atmosphérique x sous laquelle on opère. (Concours générai., (8.72.)

Problème 0.7. — La petite branche d’un tube de Mariette a un volume de 20 centimètres cubes quand le mercure est au même niveau dans les deux branches. On verse, dans la grande branche, du mercure, jusqu'à ce que l’air de la petite branche occupe un volume de 3 centimètres cubes.

On demande la différence des niveaux du mercure dans les deux branches; ta pression extérieure est 0“,7GÜ.

Problème 66. — On verse du mercure dans un tube barométrique, en laissant ta centimètres cubes d’air sec sous la pression extérieure. Le tube est renversé dans uue cuvette pleine de mercure; quand il est vertical, l’air y occupe

un volume de 25 centimètres cubes. La colonne mercurielle, qui reste en suspension dans le tube, a alors 302 millimètres.

tjuelle est la pression extérieure actuelle? ( Poitiers , 1860.)

Problème 67. — l'n tube reposant sur une cuve à mercure contient une colonne d’air de lm,85, à la pression de 0m,7o ;on demande la pression qu’il faudra exercer sur le mercure pour que la colonne se réduise à 0",35.

(Paris, 1854.)

Problème 08. — Dans un tube barométrique qui plonge dans une cuvette profonde, le mercure s’élève à 743 millimètres au-dessus du niveau de la cuvette. On enfonce le tube jusqu’à ce que la chambre barométrique, qui contient de l'air, soit réduite au tiers de son volume primitif. La bailleur du mercure est alors de 701 millimètres. Ouelle est, d'après ces deux observations, la pression extérieure actuelle ? ( Poitiers , 1858.)-

Problème 0!t. — Une éprouvette cylindrique à fond plat, ayant à l'intérieur une longueur I, est originairement pleine d’oir sous la pression atmosphérique />. On l’enfonce verticalement dans le mercure en ayant soin de tenir l’ouverture tournée vers le bas. On demande à quelle pression le gaz intérieur sera soumis lorsque le plan de l’ouverture se trouvera à une distance h du niveau du mercure dans le réservoir quf sert à l’expérience. On néglige les clfets de la capillarité.

Ou examinera en particulier les cas où /=Qra,2;/i=î0“,76, et I, = 1 mètre.

Problème 70. — Le volume d’air de l’éprouvette d’une machine de compression est de 137 parties: par le jeu de la machine, ce volume s’est réduit à 25 parties, et le mercure s’est élevé dans l’éprouvette à 0m,45. On demande le rapport entre la quantité primitive d’air du récipient et la quantité qui s’y tiouve après l’expérience. (Paris, 1854.)

Problème 71. — Un manomètre est divisé en 110 parties d’égale capacité: quand la pression extérieure est O”, 76, le mercure dans l’intérieur de l’éprouvette et dans le bain se tient au zéro de l’échelle. Ou porte le manomètre dans une machine où l’on comprime l’air; el l’on voit le mercure s’élever jusqu’à la 80* division, puis on mesure la hauteur du mercure dans le tube, et on la trouve de 0“,43. Un demande la pression daus lu machine.

(Paris, 18341)

Problème 72. — L’n flacon entièrement clos, d’une capacité de 3 litres, est rempli aux deux tiers d’une solution, saturée sous la pression uormnJe d’acide carbonique dans l'eau. Au-dessus du liquide est de l’air atmosphérique à la pression de 0", 760. On agite plusieurs fois le flacon, on le laisse reposer pendant plusieurs heures, et on demande dp déduire la composition de l’atmosphère du flacon de la connaissance des coefficients de solubilité : de l’acide carbonique, 1,797; de l’azote, 0,020 ; de l’oxygène, 0,041..

On suppose que la température est invariablement 0°.

Problème 73. — Un Ballon en verre, muni d'un robinet, contient de l'airsec A la pression de 0m,20, on y laisse rentrer de l’hydrogène sec de manière que la pression du mélange devienne Ô”,76, on fait ensuite le vide dans le ballon dans le but de ramener de nouveau le mélange à la pression initiale de 0“,20. On laisse encore cette fois rentrer de l'hydrogène ; la pression redevient 0”,70. On demande quelle est la composition centésimale en volume du dernier mélange ainsi constitué.

Problème 71. — On donne un récipient de 3 litres de capacité, on y introduit 2 litres d'hydrogène à la pression de 1”,30, I litre d'acide carbonique à la pression de 0“,25, 3 litres d'azote à la pression de O”, 23. On demande quelle sera la pression finale du mélange. {Paris, 1833.)

Problème 73. — La cloche d’une machine pneumatique renferme 3"l,17 d'air; un tube barométrique recourbé communiquant d'une part avec la partie supérieure de cette cloche et plongeant d'autre part dans un bain de mercure marque 0 quand la cloche est en communication avec l’air; on ferme 1a cloche et on Tait jouer la machine : le mercure s'élève dans le tube à 0“,G3. Un baromètre placé dans la chambre où se fait l’expérience est resté à 0“,76 pendant toute sa durée. On demande combien on a retiré d'air de la cloche et combien il en reste sous la cloche. On suppose que la température qui était 0" n'a pas varié. {Paris, 1833.)

Problème 76. — On fait jouer le piston d'une .machine pneumatique; la cloche est d’une capacité de 7I,.1,S3, elle est remplie d’air à la pression de 0,76. On demande le poids de l’air lorsque la pression est réduite à 0,21, le poids de l’air enlevé, et le poids du volume d’air qui reste dans la cloche si on élève la température de O^àta0. On' sait qu’un litre d’air pèse l*r,3el que le coefficient de dilatation de l’air est 0,00366. {Paris, 1834.)

Problème 77. — Deux tubes cylindriques verticaux de même section peuvent être mis en communication par un conduit A robinet qui débouche à la partie inférieure- de l'un cl de l'uutrc.

L'un de ces tubes est fermé A Sa partie supérieure; il a 1 mètre de long et renferme une couche d’air de 23 centimètres d’épaisseur soumise à la pression atmosphérique cl une conche de mercure ayant 73 centimètres d’épaisseur; le robinet de communication est d’abord fermé et le conduit plein de mercure. On ouvre le robinet : une partie du mercure passe datas le deuxième tnbe, lequel est ouvert dans l'air à 1a partie supérieure ; bientôt l'équilibre s’établit. On demande alors quelle est la différence des niveaux du mercure dans les deux tubes ; les fonds de ces tubes sont dans un même plan horizontal. La pression extérieure est 0,73. (Co.ncol-rs général, 18ul .)

Problème 78.— Un cylindre vertical de I décimètre de diamètre et de 3 décimètres de hauteur communique par sa partie inférieure avec un tube de t centimètre de diamètre qui se recourbe et s'élève verticalement à une hau-

PHOBLÈMKS.

leur suffisante. Ce (uhc est ouvert à sa partie supérieure, le cylindre est fermé et il contient un volume égal d'air et de mercure, l’air s’y trouve sous la pression atmosphérique de telle. sorte que le mercure est au même niveau dans- le cylindre et dans le tube ; alors, avec nne pompe de compression, l’on introduit de l'air dans le cylindre, le niveau du mercure S’y abaisse tandis qu'il s’élève dans le tube ouvert, on continue cette opération jusqu’à ce que le niveau du mercure soit abaissé de 10 centimètres dans le cylindre, et l’on demande : 1° quel est le poids de l’air qui a été introduit ; 2° quelle est en kilogrammes la pression qui s'est ajoutée à celle que supportait primitivement la surface du mercure dans le cylindre. On suppose que le thermomètre s’est maintenu à zéro et le baromètre à 0“,76. (Concours général, 1847.)

Problème 79. -7- l u manomètre es) composé de deux branches verticales cylindriques de mémo hauteur et de même diamètre : l’une est fermée, l'autre est munie d'un robinet pour être mise en communication, soit avec une machine pneumatique, soit avec une machine de compression. L'appareil est disposé, do telle sorte que le mercure qui en remplit la partie, inférieure soit au même niveau dans les deux branches quand la pression est d'une atmospivère et quand en même temps l’air occupe dans la branche fermée une longueur de iiO centimètres. La température étant constante, on demande;

i° Quelle doit être la hauteur de l'appareil pour que l’air de la branche fermée ne puisse pas passer dans la branche A robinet même quand on y fait le vide au-dessus du mercure;

2°' Quelles sont les pressions de l’air daiis la branche à robinet lorsque l’air de la franche fermée occupe les longueurs de 10, 30, 60 et 70 centimètres 7

(Concoubs général, 1846.)

Problème 8o, — l u manomètre à air comprimé, destiné à mosurer la pression d'un gaz, se compose d’un tube vertical cylindrique cl d’une cuvette pareillement cylindrique, la cuvette a un diamètre intérieur de 5 centimètres; le tube, coupé horizontalement à son extrémité inférieure, a 3 centimètres de diamètre extérieur et 1 centimètre de diamètre intérieur, et 40 centimètres de hauteur verticale intérieure. Il est fixé dans la cuvette, de telle sorte que l'air du tube et le gaz de la cuvette étant l’un et l’autre sous la pression d’une atmosphère, l’extrémité inférieure du tube plonge de 2 centimètres au-dessous dp niveau du mercure dans la cuvette.

On demande : 1“ quelle sera la pression de l'air du manomètre ; 2° quelle sera la pression du gaz de la cuvette lorsque le niveau du mercure dans celle-ci, refoulé par la pression, sera descendu au point d'affleurer l’extrémité inférieure du tube.

On suppose que l'air et le gaz ne changent pas de température et que dans leur compression ils suivent la loi de Mariotle.- (Concours générai., 1849.)

Problème 81. — Un siphon destiné à transvaser de l’eau est formé par un tube cylindrique en vprre deux fois recourbé à angle droit. La petite branche verticale plonge dans l'eau et est remplie d'air sous la pression extérieure 0m,76;

si