CÊNÉKALITES SI » I.ES FORCES

direction, il était allé de A en G. au boni du temps t ; ce même mobile soumis à l’influence simultanée de la vitesse acquise et de la force, aura parcouru, parallèlement à Ail, un espace égal à AB, parallèlement à AC, un espace égal à AC; il sera donc, à l’époque (, à l’extrémité I) de la diagonale du parallélogramme construit sur les droites AB et AC, et nous affirmons qu’il doit occuper cette position sans rien préjuger sur la formelle la trajectoire qu’il a suivie pour aller de A en 1).

La vérité de ce principe peut s'établir par la vérification expérimentale de ses conséquences. L’une des plus importantes et qui sera démontrée par l'expérience dans le chapitre de la Pesanteur (01), c’est qu’une force cnns/ante engendre toujours un mouvement uniformément varié. La force constante agit, il est vrai, d’une manière continue; mais supposons, pour un instant, qu’elle n’agisse que par saccades et chaque fois pendant un temps fini, mais très-court; le mobile qui part du repos aura pris au bout du temps 1 une certaine vitesse a due à la première action de la force. S’il est vrai que l’effet de la force soit indépendant du mouvement antérieurement acquis par le point matériel ; au commencement du temps 2, la fort* agira de nouveau sur le mobile, comme lorsqu’il parlait du re|>os; et, comme elle est coustante, après le temps 2, le mobile aura acquis par la seconde action de la force une nouvelle vitesse a qui, s’ajoutant à la précédente. puisqu’elle est dirigée dans le même sens, donnera une vitesse totale 2a. Par conséquent, au bout du temps t. on aura la relation générale v~at. définition d’un mouvement uniformément varié (22). Ce résultat, étant indépendant de la grandeur de l’intervalle de temps qui sépare deux impulsions consécutives de la force, sera donc encore vrai, quand la force agira d’une manière continue.

2(i. IJ' Principe. — Lorsque plusieurs forces qui n’ont aucune dépendance mutuelle agissent simultanément sur un même point matériel , les effets de ces forces coexistent sons se modifier l’un l'autre. — L’énoncé qui précède a le sens suivant : un système de points matériels étant en repos, supposons que l’un d’eux m soit soumis, à un moment donné, à l’action de la force F ; m prendrti un certain mouvement par rapport au système immobile; eh bien 1 ce mouvement relatif demeurera exactement le même si le système de poiuts matériels jusque-là en re|x>s et le point matériel m toujours déplacé par F se trouvent à la fois sollicités par une nouvelle force F’. C’est là ce qui fait dire ([ue sur le point m les effets de deux forces F et F’ coexistent sans se modifier. Au reste, nous n’avons, en physique, à considérer ce principe que dans un cas particulier, à savoir ; lorsque plusieurs forces constantes en grandeur et en direction agissent simultanément sur nu mobile. Il nous fournit alors une conséquence vérifiable par l'expérience; c'est le théorème de la proportionnalité des forces aux accélérations qu’elles produisent.

12 CE.NER ALITES SI H LES CURl'S ET STR LES FORCES.

27. Proportionnalité de» forces anx accélérations. — Deux force» constantes , en agissant successivement sur un même point matériel, lui communiquent des accélérations qui sont entre elles comme ces forces.

Pour prouver que ce théorème est la conséquence du troisième principe, supposons que les intensités des deux forces considérées soient dans le rapport de 3 il 5 ; alors In première pourra être remplacée par 3 forces (•gales à la commune mesure, lesquelles agiront simultanément et dans la même direction sur («point matériel. Si le troisième principe est vrai, chaque force produisant son effet comme si elle était seule , l’accélération totale du point matériel ou l’accroissement de vitesse dans l’unité de temps (23) sera la somme des trois accélérations égales communiquées par chacune des trois forces, ou le triple de l’accélération que donne la force servant de commune mesure. Par la même raison, la seconde force pouvant être remplacée par 5 petites forces égales entre elles et aux précédentes, l’accélération totale du point matériel sera égale à 5 fois l’accélération que donne la force servant de commune mesure. Donc, les accélérations sont dans le même rapport J que les forces, et l’on a en général, F et F’ représentant les intensités des forces, a et a' les accé-

• Ko

lérations correspondantes. — = — (I).

Cette conséquence sera vérifiée par l'expérience dans le Livre suivant, h l’aide de la machine d’Atwood.

2R. Marne d’un corps. — Densité. — De (I) nous déduirons

- — — = — ... = constante s u a a"

c'est-à-dire que ce qui caractérise le point matériel considéré, au point de vue des mouvements que les forces peuvent lui communiquer , c’est la valeur constante du rapport de la force qui agit sur lui à l’accélération que cette force lui communique. C’est là uu coefficient numérique représentant l’un des caractères propres au corps et qu’on nomme sa masse.

Si la force considérée est la résultante des actions que la pesanteur exerce sur ses diverses molécules ou le poids p du corps et g l’accélération due à la pesanteur. la niasse m aura pour expression,

d’où cette définition souvent usitée de la masse d’un corps : c’est le rapport du nombre abstrait qui exprime le />oids de ce corps à celui qui repi'ésente l’accélération de la /lesanteur. Si on change de lieu à la surface de la terre.

«i ÉN Èlt AI.ITÉS SI’ H I.KS FOHCKS.

les deux tenues du i*ap|H»rt ont des valeurs différentes, mais leur quotient demeure constant.

On nomme densité d'un corps : la masse de ce corps sous l'unité de volume.

Si pour un premier point, on a V- = m ; pour un second, de masse m' et sur lequel agirait une autre force F' produisant l’accélération a', on aura

F' ^ , F uni

a' ’ F' ft' in'

Or. d’après la formule connue v — at, le rapport des accélérations égale le rapport des vitesses acquises au bout du même temps quand il n’y a pas de vitesse initiale, car on aura pour le second mobile v' = at ,

. a P n».*. i s n , t? •» . F tnv

d ou -, = -t . Substituant dans (3 a - sa valeur -» d vient — = .

On fient donc énoncer ce nouveau théorème : Les forces constantes sont entre elles comme les produits des masses des mobiles qu'elles sollicitent pur les vitesses qu’elles leur communiquent au bout du même temps. De là un nouveau moyen de mesurer une force par l’évaluation numérique de ma ou de mv ; v sera exprimé en mètres, et m sera le quotient du poids du mobile par l’accélération de la pesanteur ; le produit exprimera l’intensité de la force en kilogrammes.

Si l’on fait dans (3) a = a' on a — = ” ; donc, deux forces constantes

sont entre elles comme les masses des mobiles auxquels elles communiquent la même accélération ; d’où cette conséquence : dans le même lieu, les poids des corps sont proportionnels « leurs- masses.

Si on fait dans (3) F — F’ on a am — am’ ; donc, lorsqu'une même force agit successivement sur des mobiles de masses différentes, les accélérations communiquées sont en raison inverse des masses. C’est là (nous le verrons bientôt) le point de départ de la maehine d’Atwood.

29. 4* Principe. — La réaction est toujours égale et de sens contraire à l’action. — C’est-à-dire que. dès lors qu’une force émanant d’un système de points matériels agit sur un corps, elle fait apparaître immédiatement une force égale et de sens contraire réagissant snr le système en question et qu’on nomme la réaction. Ainsi je presse avec la main sur une table ; les molécules superficielles se rapprochent des molécules sous-jacentes, et la diminution de leur distance détermine un accroissement des forces répulsives égal et de sens contraire a la pression exercée, si bien que ma main se trouve comprimée avec la môme force que la table, l ue conséquence de ce principe, que vérifie l’observation des faits les plus vulgaires, c’est que lorsque plusieurs corps forment un système capable de

H (i K.N KH AI.IT ÉS SI H I.KS COURS K T SI K I.KS FORCES.

ne dtfformer. fat fictions mutuelles des corps de ce système sont shiis influence sni' le mouvement de son centre de gravit»*, lin waggon de chemin de 1er est immobile sur les rails: «pie des hommes placés dans son intérieur pressent fortement de dedans en dehors les parois du waggon ; ils ne le déplaceront pas d'un millimètre, malgré sa grande mobilité. De même ils ne changeront en rien la direction qu'il suit lorsque ce waggon sera déjà en mouvement ; an contraire, un seul homme placé sur la voie peut, en poussant, faire marcher ce waggon. parce que le |siint d’appui que ses pieds trouvent sur le sol fait apparaitre une force nouvelle étrangère au système mobile, le frottement. (In comprend en effet que lorsque les actions mutuelles interviennent seules, la réaction de la paroi étant égale et de sens cou train* à l'effort exercé, celui-ci ne puisse avoir aucune in* fluence sur le mouvement commun du système, car il est à chaque instant équilibré Au reste, nous pourrons, dans le chapitre de l'Hydrostatique, en nous fondant sur le principe d'Archimède, rendre manifeste par une expérience celte égalité de l'action 'et de la réaction.

30. ReprêsenUtton *<*oraf trique de» force». — On est convenu de représenter géométriquement une force par une ligne droite dont la direction est celle de la force et dont la longueur est pro|K>rlionnolle à son intensité. On arrive alors, par des constructions graphiques, à résoudre aisément le problème de la composition et de la décomposition des forces. Nous donnerons ici seulement les énoncés des théorèmes principaux dont nous avons besoin |K>ur l’étude de la physique. Leur démonstration se trouve dans les traités de mécanique.

3t. Composition de» force» concourante». — Lorsque deux forces F et F' (fig. 6). faisant un angle entre elles, agis-

* ► sent sur un même point m. on comprend

^ qu’une force unique, qu’on nomme leur résul-

' tante, puisse communiquer au |>oint matériel

'R le même mouvement dans la même di réel ion , que les deux forces réunies. Or, on démontre

que : cette résultante mit est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme, construit sur les droites m A, mB, gui représentent en grandeur et en direction les forces F et F' dites les composantes.

Si. par exemple, les forces F et F' {fig. 7) ont pour intensités respectives 3 kilogrammes et 4 kilogrammes et qu elles fassent entre elles un angle droit; le parallélogramme mAKB devient un rectangle, et la diagonale qui donne l’intensité de la résultante devient l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont |>our longueur 3 et 4: cette résultante aura donc pour expression V' 3*4-4* — 3: et tout se

llfiNKHAI.ITÊS SI K I.KS FORCES.

\fi

Fig. 7.

passera comme si le |n>iut mêlait soumis à une foree unique île 5 kilo— grammes, agissant dans la direction mil.

Dans le triaugle mltll | fig. 0). on a mH < mil -J- HH: « — — î *»

niais si les forces, conservant la même grandeur, l'angle Ai/dt quelles font entre elles va eu décroissant jusqu’à zéro, mil augmente jusqu’à ee qu’il devienne égal à mB HH ou mH -j- mA ; ear. à ce moment, le triangle mBR se réduit à une ligue droite: doue, deux forces agissant dons le même sens, sur un même point matériel, ont une résultante égale à leur somme.

Si les deux forces restant constantes (fi g. H), leur angle va croissant jusqu’à 180° ; on voit que le trian- f

gle mlllî se déforme en conservant • -Î . : ® - *

les deux côtés mB, HR de même longueur ; seulement mil déc roi t à mesure que l’angle mRB va croissant. A la limite, quand cet angle égale 180", mil devient égal à ml = mB — BR = mil — mA. Donc, la résultante de deux forces appliquées en un même point et agissant en sens contraire est égale à leur différence. Si les deux forces sont égales entre elles, leur résultante est nulle, et le point m doit demeurer en équilibre; ce dernier résultafpeut être considéré comme évident à priori.

Fig. 8.

3i. Décomposition d’une force en deux autres, suivant de» directions données. — Réciproquement, étant donnée une foree unique représentée par mR tfig. 9); on pourra toujours la remplacer par deux composantes produisant le même effet, suivant deux directions données mX, mY. Il suffira de mener par le point R des parallèles aux deux directions choisies; les points de rencontre A et 11 de ces parallèles avec m.X et mY fixeront les intensités m A et mB des deux composantes.

33. Compoxttton de* force» parallèle». — Lorsque deux forces parallèles F, F’ dirigées dans le même sens sont appliquées à deux points différents m. m' d’un nflême corps solide, la résultante de ces deux forces est : 1" parallèle à leur direction ; 2° égale à leur somme ; 3° son point d'application partage la droite mm' gui joint les jwints d’application des forces en deux parties inversement proportionnelles aux foires , de façon qu’on a

■ Si, par exemple, les forces F et F’ (fig. 10) ont pour intensités respectives 3 kilogrammes et 3 kilogrammes, si la distance mm' de leur poinf d’application est de 16 centimètres, l’intensité de la résultante

GÉNÉRALITÉS SI H LES COUPS ET SE h LES FORCES.

Fis 10.

«■Ht égale à 8 kilogrammes : elle agit dans le sens des deux forces et parallèlement à leur direction, et son point d’application A se trouve à 6 centimètres du |s»int «T et par suite à 10 centimètres du point m. Tout se passe donc comme si les forces F et F' étant supprimées, une force unique de direction AR. ayant pour intensité 8 Kilogrammes, agissait au point A du corps considéré. On comprend alors que, si en A est placé d’avance un support fixe, un point d’appui, la résultante R se trouvera détruite par la résistance du support et le corps demeurera en équilibre sous l’action des forces F et F' qui U* sollicitent.

34. Si les forces parallèles sont de sens contraire, la résultante R (/ig. 11). t° est dans le sens de lu /dus grande; 2“ est égale à leur différence ; 3* son

/joint d’application A est sur le prolongement de la droite mm', et tel que ses distances aux /joints d’application des deux composantes sont en raison inverse des intensités respectives de ces forces.

On a, par suite. — : •=*— rr • Si les

1 mtr mQ

deux forces F’ et F sont ('-gales eu intensité, leur résultante F’ — F est nulle; par suite, il n’y a pas de force unique capable de faire équilibre à un pareil système. Ou le nomme couple ; et son effet est de communiquer un mouvement de rotation autour d’un point fixe, au corps auquel il est appliqué.

35. Lorsqu’on aura un nombre quelconque de forces parallèles appliquées aux différents points d’un même corps, la résultante générale sera égale à leur somme algébrique, et sou point d application s obtiendra en composant les deux premières F. F' If g. 12), puis leur résultante r avecla troisième F’’, et ainsi de suite. On aura donc successivement :

Fig. il.

m— — pour fixer le point d'application a de r; ma m'Q

mP + m'Q

pour llxer le point «l’a ppliration b de tJ;

pour tixer celui cie H

mwÀ wP -h m'Q -H m" S

3»1. Crntrr dr« fore** parallèle». — Un voit (le suite que si, en conser-

G itNÉ HAI.ITKS SliH I.E8 FOHCES.

vaut à toutes les forces leur parallélisme et leur» intensités propres ou pins généralement les mêmes rapports d'intensité, on change leur direction absolue, les quotients que nous venons d’écrire conservent la même valeur! et la résultante générale passe invariablement par le même- point. Ce point jouit donc d’une propriété remarquable, que nous utiliserons plus tard dans l’étude du centre de gravité. On le nomme le centre des forces parallèles.

.37. Travail de» forera. Unité de tra vail. — L u homme qui, par sa force musculaire, élève l’eau du fond d’nn puits à r> . / sa surface, un cheval qui gravit une côte en traînant une voiture et, en général, tout moteur qui, par uu certain effort, dé- ** place son point d’application, effectue du giS. iî.

travail mécanique. Comment se fait, dans

la pratique, l'évaluation numérique de ce travail? Lieux manoeuvres sont chargés de porter des pierres d'un rez-de-chaussée à un premier étage ; le chemin qu’ils parcourent étant le même, le travail de chacun d’eux doit être évidemment dans le même rapport que le poids de pierre qui a été transporté. Donc, quand le point d'application d’une forcé est déplacé de la même quantité, le travail est proportionnel à l'effort exercé.

. Supposons, en second lieu, que l’un îles ouvriers |iortant toujours les pierres au premier étage, l'autre soit obligé de les mo.iter au second, de manière que ce dernier parcoure un espace double dans le sens vertical. Si la quantité de pierres transportées est la même, ne dira-t-on pas que le second ouvrier a fait un travail double de celui du premier? Donc, quand l’effort exercé a la même yrawleur, le travail de la force est proportionnel an chemin parcouru par son /toint d'application.

Partant de ces notions empruntées à la pratique la plus vulgaire, et supposant toujours que la force agisse' dans la direction du chemin parcouru, appelons t le travail d’une force d’intensité Fkü, dont le point d’application s’est déplacé de e mètres. Soient t' et e’ les quantités correspondantes pourune autre force d’intensité F’; enfin, supposons que la force F, en déplaçant son point d’application d’une quantité e’,. fasse un travail T.

Les travaux t et T correspondant à un même effort F, nous aurons, d'après le second énoncé: ^=7 • k» travaux T et /’ correspondant à un même chemin parcouru, on aura, d’après le premier énoncé :

vp ♦ P % f fl'p

= — ■ Multipliant ces deux égalités membre à membre, on a - — •