III. — viBKATioss iiEs vrmiin.xrs Éi.ASTioirs

M99. maiorl^iie de la aiurNtion. — Le mouvement vibratoire des membranes minces et élastiques que l'on fixe sur un cadre par tous les points de leur pourtour, et auxquelles on communique une certaine tension, a été étudié à l'aide du calcul et de l’expérience. Poisson et M. Lamé ont examiné la question à un point de vue éxclusivement théorique. Ce dernier a fait connaitre la succession des sons que peut rendre une membrane carrée, ainsi que les ligures nodales correspondantes. Il a aussi traité le cas des membranes triangulaires. Poisson s’était occupé des membranes circulaires; mais dans le cas seulenieiil où elles se partagent en œrcles nodaux concentriques.

Les recherches expérimentales relatives aux vibrations des membranes sont dues à Savart d’abord, puis à MM. Bourget et F. Bernaid, qui, dans le cas des membranes carrées, ont soumis les résultats de l’analyse au contrôle de l’expérience. Knlin M. Bourget, dans un travail tout récent, a découvert les lois mathématiques du mouvenuMil vibratoire des membranes circulaires, en se plaçant à un point de vue tout à fait général. Puis il a vérifié, par des expériences directes, les lois déduites du calcul.

l'iOO. Mode d’expërlenee. — Les membranes ipie l’on emploie sont habituellement en baudruche, en papier végétal on en papier ordinaire. La baudruche est rarement homogène, le papier végétal est trop hygrométrique, le papier ordinaire est celui ipii a donné les meilleurs résultats. Quelle que soit la substance choisie, la membrane est collêv par ses bords sur un cadri" de bois* ou de carton, et la précaution primùpale à prendre est de lui faire acquérir, dans tous ses points, nue tension égale. Quand elle est sèche et prête à fonctionner, on la saupoudre de sable, afin de se renseigner sur la position qu’occuperont les lignes nodales, et l’on produit dans son voisinage un son intense, soit

VIHHMIONS Uhïi MKMIIlUNKS KIASTK.IUKS. .ii;7

;i l’aidi' iruia' corde viliiimli*, soil avec un tuyau sonore. t’,e ileriiiei mode est préférable.

I‘J0I. liOiii de<i vihriiilaiM dr«> mrmbranna. — \oici les principaux résultats obtenus.

I. Membranes carrées. — I" Il n’est pas vrai, coniine Savait croyait l’avoir démontré, et comme ou l’a supposé d’abord, quand on a voulu appliquer le phonographe de Scott ù l’analyse de tous les sons, que les membranes carrées /missent exécuter un nombre quelconque de vibrations, et ipie l’on puisse passer d’un mode de division de ces membranes il au autre, quel qu’il soit, d’une manière continue, en faisant varier le Miii par degrés insensibles.

i" Une membrane carrée peut vibrer à l'unisson d'une infinité de sous de pliis eu plus aigus à partir d’un son dit fondamental et qui est le plus grave de la série.

Kii appelant 1 le nombre de vibrations du son fondamental ; ceux (pie la membrane peut rendre, correspondent aux nombres l,.^8l — 2, - 2,2r.fi--2,5‘>0 — 2,915 — 0, etc.

Uetle série des sons possibles montre bien que la membrane ne peut pas vibrer à riinisson d’un son quelconque, qu’elle a son système d’harmoniques comme une corde a le sien.

4" l'Iusieurs de ces sons peuvent être rendus à la foison l’être sépaivineut, suivant le mode indirect d’ébranlement que l’on a adopté.

5" Les systèmes nodaiix di’s membranes carrées doivent être groupés par types formés de lignes piaralléles aux côtés. chacun des sons pos- 'iblcs, correspond un groupe spécial de ces lignes nodales souvent d’un uiéiiie type. Dans chacun de ces groupes et suivant le mode d’ébran- Iciiiciit adopté, la figure iiodale pourra (‘tre plus ou moins compliquée. Mais, dans aucun cas, on ne peut faire dériver, par déformations continues, des lignes qui corres|iondeul à un son, les lignes qui appartien- U(‘ul à une note musicale différente; les seules qui puissent se transformer les unes dans les autres sont celles (pii font |iai1ie d’un groupe ■ orrespondani à un même son.

II. Membranes circulaires. — .M. llourget, à la suite de recherches lli(’'(iriques et expérimentales hahilement dirigées, est arrivé aux coiiclusinus suivantes :

l" I>>s figures nodales d’une membrane circulaire uniformément tendue lie peuvent être que des cercles concentriques, des diamètres équidistants ou des combina isous de cercles cl de diamélri's.

3fi8 ArniSTIOUK.

2‘’ Charnu dr rrs modrs dr division correspond à un son ilêtmniiii' diffémil.

3 " Les divers sons possil)lcs d'nne membrane eirrnlinre l'ormeiit mir série lrés-complii|née à partir dn son le plus bas, (pu e.orrespond aii.ra> où la incinhrane vilire en lolalilé. Les nombivs de vibrations de (•(•smuis sont Ions inrommensnraldes.

r.llAPIIKK VII

DK OPTIQKK DKM MOI VKMBVrN VIBRA lOlDKN.

l'jU^. Preml^rr» expérirncrM dp n. I.Imh^oum. — Il est |>0ssililc H'tilndier, à l'imiu dtr r«ril, les iiimiveiiieiils vibratoires qui iléterinineiit la prorhiclioii des sons. M. Lissajous a résolu le premier ce problème, de la manière la pins ingénieuse, en utilisant loul à la lois les propi iétès

Kia. à'i.

géumèlriques que possèdent ces mouvements et la persistance des inqiressions visuelles. Les expériences propres à metlre en évidence les principes de celle méthode ont été exécutées, en premier lieu, avec dc“s dia- |'a.s(ins présentant nue disposition spéciale, l'.iiacun de ces diapasons esl armé d'un inii-oir mélalli(|ue M lixé sur la surface convexe de Tune de ses brandies et dans le voisinagi* de rexlrémilé (fig. tü'i) ; l'antre brandie porte un contre-poids. Celle condition esl indis|i(-nsable pour que le

AaHSilOlK.

(Iia|msiin vibre avec l'acilitc el pendant un temps assez lon^'. — On peut aisément, à l’aide de cet appareil, déinnntrer que le son est dû à un inuuvement vibratoire, coinine on l'a déjà fait par le tracé ^n'apbiqiie.

Kii effet, par une ouverture trés-étroite O, faisons passer nn faisceau borizontal de lumière venant du soleil ou d'une lampe électrique. Kecevons ce faisceau sur une lentille L, et de là, sur le miroir .M fixé à un diapason vertical 11. Le faisceau sera réllécbi; on ponrra le renvoyer sur un miroir !'■ el de là sur un écran II. Le faisceau qui pai‘1 du point O est divergent. Mais après avoir traversé la lentille, les l ayoïis qui le composent sonlrendus convergents ; et si la lentille est convenablement choisie et convenablement placée, on peut amener le point de croisement des rayons sur l’écran en O'. Si les rayons partaient tous d'un seul point, ils convergeraient en un point unique; partant d’une petite ouverture, ils vont se concentrer, dans nn espace resserré, de même forme que l'ouverture O, à contours nettement détinis el formant ce qu'on appelle l'image du point 0.

I2UÔ. Faisons maintenant vibrer le diapason, le miroir M va oscillci sensiblement, comme s'il pivotait autour d'uii axe horizontal passant par un certain point de la branche à laquelle il est fixé; du miroir, ce mouvement d’oscillation se communiquera au faisceau réfléchi Mil et par suite au faisceau GO' dont la direction varie avec celle du faisceau MG. L’image 0' oscillera donc rapidement entre deux limites extrêmes \ et K déterminées par l’amplitude du mouvement vibratoire (jue pos.sède le diapason. Si les vibrations étaient Irés-lentes, on pourrait suivre l’image dans son mouvement oscillatoire de A en II el de B en A, mais |iar suite de la rapidité même du mouvement, l’impression lumineuse persiste dans l’œil, pendant la durée de plusieurs oscillations consécutives. La ligne AB parait donc illuminée dans tonte son étendue. Pour bien établir que celle illumination est duc à un mouvement oscillatoire de l’image, il suffit de faire tourner le miroir G autour de son support comme autour d’un axe veilical. L’image est alors projetée sur des régions diflérentes de l’écran et, tandis qu’elle oscille de bas en liant, elle SC déplace dans le sens horizontal ; elle décrit donc une ligne sinueuse AS. Gette ligne, par suite de 1a persistance des impressions visuelles, est, à chaque instant, éclairée dans une partie de sa longueur, et apparait sons forme d'un inban de feu semblable aux lignes sinueuses domiées par le tracé des vibrations.

Gette expérience constitue donc la manifestation optique du iiiouvi ment vibratoire.

KTLllK 01-TIOLK DtS MUIVKMK.MS Vlllll\il•IK^>, '271

l'jlli. t'ompoHltlon optique don ■nottvciuenla *lbruloir«i. — L'CX-

in'rifMce pri'citleiile montre qu’il est possible de donner à une iimige, im mou\enient vibratoire semblable à relui dont un corps sonore est iininiê. On peut de même rominuniqiier, à une même image, deux ou|dusieiirs mouvements vibratoires simultanés de même direction ou de dirertions différentes. tk!s mouvements siî composeront en un mouvement résultant dont la trajectoire peut être, dans chaque cas, calculée et au liesoin tracée par l’emploi des mélliodes géométriques, (!elle trajectoire s'illumine dans une étendue pinson moins grande, suivant les (a)nditions (le l’expérience : de là r(■■sultent des apparences que nous allons examiner, et dont on peut tirer parti pour l’étude des mouvements auxquels ces apparences sont dues.

lâOà. CompoNlIioa opliqne fie deux mouvement» de meme dlreelion. — Pour réaliser ce genre de phénomène, il suffit, dans l’expc?rience pré(;édente, de substituer, au miroir G, le miroir d’un deuxième diapason parallèle au premier. L’image 0' se déplacera alors sous l’iii- (liicnce du mouvement qu’elle reçoit à la fois de chacun des miroirs oscillants, et son déplacement sera la somme algébriipie des déplacements qu’elle éprouverait si on faisait vibrer isolément l’un ou l’autre diapason.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, les diapasons à l’unisson, ijnaiid ces diapasons vibrent en même temps, il arrive presque toujours (|ue le commencement de chaque vibration du premier ne coïncide pas exactement avec le commencement de la vibration correspondante du second. Il en est séparé par un certain intervalle de temps (pie l’on aje (telle la (/i/férence de phase. Cet intervalle se mesure, en prenant pour unité la durée commune de la vibi-ation totale. Soit 9 cette durée commune, si le retard entre l’origine de deux vibrations (-orrespondantes des deux diapasons est 2> on dit que la différence de pha.se est * j--.

liOti. Ceci posé, lorsque la différence de phase est o, les deux mouvements communiqués à l’image sont de même direction à tous les instants; ils s’ajoutent donc purement et simplement, et l’amplitude du iiiuuvemeut résultant est la .somme des amplitudes des mouvements coiu|Nisants. La ligne lumineuse .M! obtenue en faisant vibrer à la fois les deux diapasons, aura donc une longueur égale à la somme des longueurs qu’elle prendrait, si chaque diapason vibrait seul. — Si, au (mnlraire, la (lifTéience de phase est les deux mouvements sont cunstamment de sens contraire, puisque la période ascendante de la vibration comnmni-

VCOISTIIJUK.

r|tiët' il riiiiii^c pur li> pi'umicr diapuüüii roiiiciilo uver lu pùi'iudo deMi’iiduiitu <lf lu vihrutimi dur ù rniitrr diupnüuii. Huns cr ra^i, ruiiipliluili' du iiKiiivriiient dr i'iiiiagr est la différence des ainpiiludes dues à clianin des iiiouvemeiils viliratoires. Si ces inouveiiieiils sont ê^aux, l'iiua^e II’ reste iiiiiiiubilc; s'ils sont iiié;;au\, l’ampliliide a sa xaleur iiiiiiiniuiii.

Pour les dilTri'onces de phase iiilermédiaires, on a une aiuplitudc iiileniiédiaire. Ainsi, suit a l’aiuplitude du inuiivcmenl de l'image dur à la vibration du premier diapason, a' l'amplitude due à la vibration du deuxième diapason. I>a hauteur de l'image peut, suivant la dilTérence dr phase, varier de « ■+■ a' à a — a'.

I‘J07. Étude optique du hallenteiil. — ljuaiid les deux diapasons sont presque d’accord, la différence de phase des deux mouviunents vibratoires n'est plus constante, elle varie lentement avec le temps. Il en résulte que l'amplitude du mouvement résultant, et par suite la iiaii- Icnr de l'image, varie et passe par des maxinia et des minimu alternatifs. L'intervalle entre deux maxima ou deux inininia est égal au temps |iendant lequel la différence de phase a augmenté d'une unité, c.'esfà-dire au temps pendant lequel un des deux diapasons a fait une vibrnlion double de plus i|ue l'autre.

La composition des ondes sonores produites en même temps par les deux diapasons, détennine, dans l'intensité du sou, des variations périodiques connues sous le nom de battemenls. Les hattements affectent l'oreille, en même temps que l'œil perçoit les pulsations de l'image, (hi réalise donc ainsi la représentation optiipie du hallemeiit.

1^08, l'omposlUoii optique de deux manvementM vlhratoireit ree-

lanculnlreo. — l’our ccttc expérience, les diapasons sont disposés de l,i manière suivante fiq. Ô7.v) ; l’un des deux A est placé de façon que le plan des hranches soit horizontal ;Slans l'autre II, le plan des branches est vertical. Lu faisceau de lumière partant de la lampe électrique, ou d’une lampe ordinaire L, comme cela est indi(|iié dans la ligure ‘i71, traverse une lentille (nous n’avons pas jugé nécessaire de l’indiquer sur la ligure), se léfléchit sur le miroir .M du diapason 1), puis sni- celui du diapason II' et vient se concentrer, finalement, suit sur un écran comme en V {fig. .‘)7ô), soit dans une lunette S {f'uj. 571), à l’aide de laquelle les observations peuvent être faites d’une manière I rés-précise.

L>uand on atbupie avec l'an bel le diapason horizontal II', on obtient une ligne lumineuse horizontale; (pianil on attaque le diapason vertical II, la ligne lumineuse est verticale; si on met les deux iliapasons à la fois

ÉTUDE 01‘TKJIE DES MÜIVESIE.STS MUIlATülKES. -J?.'

CH iiiouveiiienl, en les attaquant suecessivenient à cuurt iiilei-valle avec, r^iri'het, le point lumineux se meut avec rapidité sur lecraii et produit

Ktg. l>75,

Hiie trace lumineuse dont la lorine dépend du rapport qui existe entre, les uombres de vibrations des deux sons, ainsi (pie de la dirKreuee de phase des deux mouvements vibratoires.

lüü'J. l'at UlKh LAK. — DlnpnMonM A l*anlM«oii. — C'mm oA Ifw ditipii-

■oaa «ont parfalinncnt d'acvord. — Dès qu’oii a mis les deux diapasons II. 18

•JU ACülSTIOlK.

iMi vibration, un aperçoit dans le champ de la lunette une lij^iie druik. une ellipse ou un cercle. Ces formes diverses correspondent aux divei>e.' différences de ])liase.

l’our la différence de phase 0, on a une ligne droite (Jig. 575, l^sérit'i. ‘i l

l’our la différence de phase j, ou j. ou a un cercle si les deux nioiivi'ments ont la même amplitude ; une ellipse dont les axes sont dirigés suivant la verticale et l'horizonlale, si les deux mouvements ont des amplitudes inégales.

Pour la différence de phase ^uu *,> on a une ligne droiie inclinée en sens inverse de la direclion pi'imilive.

l’our la dilTérence de phase ou'^, les apparences seraient les même'

ipie pour la différence jj-

tjnant aux différences de phases intermédiaires ; elles i:orre>pondent à des ligures elliptiques dimt les axes ont des directions intermédiaires entre la verticale et l'horizontale.

1*2 10. Toutes ces ligures sont inscrites dans un rectangle dont les iliinensions sont précisément les amplitudes du monvemeiit honzoïilal cl du mouvement vertical.

Par conséquent, si l’un dos mouvements s’éleiul plus rapidement que l'autre, l’ellipse s’écrase, en quelque sorte, sur elle-inéme dans le sens où l'nm))litude du mouvement vihrnloire se raccourcit. Si, au conliaire. raniplilnde des deux mouvements s’affaiblit dans une égale priquirtioii. la courbe reste semblable à elle-même jusqu’au moment où, par la dimiimlion d’amplitude, elle se réduit à un point immohile.

fm tout cas, la figure ]>roduite conserve une immobilité parfaite cl une constance de forme absolue, alors même que sesdimeusiojis varienl lant que les diapasons restent rigonrensement d'accord.

I 2 1 I . Ca» oii Ira «liapaMona ne NOnt pna rl|(onreuiirnienl d'aieror<l — Ouaiid l’accord n’est pas complet, la différence initiale déphasé ne se maintient |ias,et la courbe prend à chaque iuslanl, la foinie particulière qui correspond à la différence de phase acliielle. Elle se transfornu'donc progressivement, eu acquérant successivement tontes les forme' iudiipiees dans la première ligne dn tahlean; et lorsque la courbe, par suite de ces transformations successives, a repris sa forme initiale, on est sur ipie l’im des deux diapasons a exécuté, durant ce temps, nue vibi ation double de plus que l'autre.

ÈTlIiK UI-TKJIK UES MUliVENEMS VlbRATOlHES. 275

telle transformation de la figure obtenue sur lecran est trés-reinarquible; elle s accomplit avec l’apparence d'un balancement périodique ou d’une rotation que la figure semble éprouver, et dont la rapidité ilécroitâ mesure que l’on se rapproche davantage de l’accord tout à fait rigoureux.