OF C08 M

d’où ;

Oh' =

2 cos 6i'

Fig. UOI.

l*our les rayons qui frappent le miroir trés-prés du centre, cos <u est sensiblement égal à I ; pour ceux-là, 0F= dans ce cas, les rayons rencontrent donc l’axe à une distance du miroir CF = g- Pour un arc IC de on trouve que cos u est égal à 0,996. Dans ce cas, OF devient :

quantité dont ne diffère que d’une quantité assez petite pour que, dans

certaines applications des miroirs, on puisse souvent admettre que le eoinl F, est aussi au milieu du rayon CO. Toutefois, dans la réalité, les ravnns parallèles à l’axe, qui tombent sur le miroir, forment un faisceau de ravoiis réfléchis qui rencontrent cet axe, non en un point unique, mais bien en une série de points formant une longueur qu’on appelle aberration /onjj'tudtna/c de sphéricité. On voit sur la figure 601 la marche

51 C OPITQUF..

dos rayons réfléchis. La dislanre FF, est l'aberration du miroir, aberralion que nous avons exagérée pour la roiidro sensible.

Si l’on place un écran en F, où les rayons centraux viennent rencontrer l’axe, l’écran, au lieu d’être éclairé en un point seulemeni, se trouvera illuniiné sur une siirfare dont le rayon détermine ce que l’on appelle VabemitioH latérale de spbéririlé. Il esl possible de l’évaluer; mais nous ne nous y arrêterons pas.

12,^9. Expérleneeit. — Mronre do la longuear focale priaelpale d'on miroir ■pheriqnc concave. — Voici des expériences qui conlirment les résultats de la théorie. Sur un miroir sphérique concave {fig. 602) placé devant le volet d'une chambre noire, un fait tomber les rayons solaires au moyen d’un portc-luiniére; le volet, percé de petits

soi.

trous, queM’on peut déboucher à volonté, laisse passer de milices laisceaux que, dans l’obscurité, on voit apparaître à cause des poussières en suspension dans l’air qu’ils éclairent sur leur passage ; ce sont des rayons incidents parallèles. L’un des rayons reçu au centre de llgureC du miroir donne un rayon réfléchi qui suit exactement la direction du rayon incident. La ligne lumineuse qui marque la route commune de ces deux rayons est normale au miroir en C; c’est donc l’axe principal. Tous les rayons réfléchis coupent cet axe en un même point, cette intersection commune est manifeste dans l'obscurité de la chambre noire, ainsi que le montre la figure tracée ici. Si l’on mesure la distance du point de r.oncours des rayons au miroir, on trouve qu’elle esl égale é la moitié du rayon de courbure île la surface sphérique.

Au lieu de faire tomber les rayons un à un, ainsi que nous l'avons

MlltOlKS SI'lltHHjLtS CÜ.^(;AV^Ji. 517

lail; qui' l'uii ouvre une large ouverture, un niiiiceau entre, couvre le miroir entier, et les rayons rélléclns l'orinent un cône de rayons qui convergent en t'et divergent ensuite à partir de ce point.

tüette expérience donne la distance focale principale Cf' d’un miroir, distance qu’il est très-important de connaître. It'liabitude, pour la déleriiiiner, 011 opère pins simplement; une c.liamlire noire n’est pas néces saire. On expose le miroir à la lumière solaire directe, et l’on cherche, par tâtonnement, quel est le point où un écran doit être placé pour que la lumière réllèchie s’y concentre dans le pins petit espace possible : on a ainsi le foyer principal, dont on mesure alors direc.tenient la distance au miroir pour avoir la longueur focale cherchée.

I ;I6Ü. Fojmh eonJugoéM. — Exp^lenrpvi. — Itaus la chainhi e noire et sur l’axe d'un miroir, on place un point lumineux P ti'ès-hrillant, donné soit par nue lampe électrique, soit parla Inmière solaire concentrée à l’aided'un appareil optique. Ce point envoie des rayons lumineux

dans toutes les directions et en particuliei sur la surface de l'écran tt percé de trous. Un de ces rayons qui tombe sur la face réHéchissante et qui revientsur lui-inéme après larénexion, sert à marquer l’axe principal du miroir M.\, comme nous l’avons déjà indiqué dans l’expérience précédente. Un reconnaît comme précédemment ipie tous les autres rayons incidents qui frappent le miroir se rencontrent, à très-peu prés, à la suite de leur réllexion, en un même point P' situé sur l'axe Ce point P' est appelé [c foyer conjugué du point P.

Ititil. Relnlion de pooltlon entre le point Inmlnenx et le foj-er eonjogu^ qni lui eorreaponil. — La position du foyer conjugué d'un peint lumineux est importante à coimaitre dans une loule de cas. Nous allons, parim calcul fort simple, établir lu relation générale qui lie les distances du point lumineux P et de son foyer conjugué P' au miroir

OITK.ll K.

MX. Soit \C l'axe piincipal du iiiiroir. La ligne Ul, (jui représente le rayon du miroir sphérique (fig. 60i) partage en deux parties égales l'angle I du triangle PIH', par conséquent elle divise la base PI*' en deux

Si l'on pose 00 = R = 2/',CP = p, CP' = p', et si l’on admet, à cause de lu petitesse de l'angle lOC que l’on ail très-approxiniativeineiit PI - PC, P'I = P'C,on pourra écrire en l'eiuplavantdans (I) PO, P'O, PI, PI

par leurs valeurs : = Chassons les dénominateurs, il vient

Pïf — 'ifp' — ifp — pp',ouhititi2fp-{-‘ifp' = '2pp'. Enfin, si l’on divise cliacun dos termes par le produit '2fpp', on a :

lormule aisée à retenir. Elle unit entre elles les trois quantités /, p etp', et détermine par suite la distance p' nu miroir, du point où l’axe principal est rencontré par le rayon réfléchi, quand f et p sont donnés.

1262. lten>ar<|aeK itar le «Ucnl précédent. — Cette formule est indépendante de l’inclinaison du rayon PI, elle se rapporte donc à tout rayon lumineux partant du même point P, et au rayon réfléchi correspondant qui coupera l'axe à une distance détei minée p’. Mais si ce résultat se déduit de la formule, il importe de savoir, au juste, quelle en est la raison ; el de bien constater que si l’angle qui mesure l’inclinaison des rayons n’entre pas dans la valeur de //, déduite de l'égalité (a), cela lieni à ce que nous l’avons supprimé nous-mêmes. Cette suppression, nous l'avons faite, quand nous avons écrit (pie PI et P'I pouvaient être considérés comme égaux à PC et à P'C. Dans la formule finale se retrouvent, eii' définitive, les hypothèses introduites dans le courant du calcul ; et à regarder de près ce qui a été mis eu équation, la valeur de p' ne p«t nous donner que la distance focale des rayons qui rasent l’axe. En calcul complet prouveiait d'ailleurs qu’un même point P n’est pas le foyer de

Digilized by Gooj^k

MinolIlS SWIÉRMJIKS CONCAVES.

tous les rayons partis de P; que tous les rayons rédéeliis ne convergent pas rigoureusement en un même point : il y a une nderratioii longitudinale, comme nous l'avons dit plus haut (g 1*258) ; mais elle est très-petite, si l'ouverture du miroir est elle-même d'un petit nombre de degrés. 1205. iMiHWNMion de la formale. — La discussion de la rormule I 1 '

qui peut être mise sous la rorme

iluime très-simplement les n!“siiltats que l’on |K)urrail d'ailleurs déduire de simples considérations géométriques. Klle nous l'uurnit les positions relatives du point lumineu.\ et de son foyer conjugué, quand on suppose que le premier se déplace, depuis l’inlini jusqu'à la surface du miroir. Eu la discutant, un aura le tableau suivant ;

P = ac P (Jimitme

P < Vet > f.

P' augineiile

y > if

P' = ai

Tous ces résultats s'obtiennent sans difficulté; ils montrent bien que les deux l'oyerscoujugiiésmarclient toujours en sens contraire l'un de l'autre; le .seul cas qui pourrait offrir ipielque embarras, est celui où l’on fait ; toute difficulté disparait, si l'on divise par p les deux termes de

l'expression fractionnaire : la formule devient alors p' =

fait P = at , ^devient nul ctp' est égal à [.

Les considérations purement géométriques conduiraient aux mêmes conséquences; mais la formule a cet avantage quelle donnera, au besoin, la valeur de p'. Ainsi, soit un miroir dont le rayon de courbure est égal à *i métrés; soit un point lumineux situé à la distance de 9 mètres : ou trouvera la distance du foyer conjugué au miroir, en substituant 9 à lu place de p, et lu moitié du rayon, c’est-à-dire I à la place de f. Un aura :

Il y a encore à interpréter ce résultat donné par la formule (b) : p' <C.o ou p' négatif, correspondant à p<if; il signifie que les valeurs de p' doivent cette fois être comptées, à partir de la surface de miroir en sens

(ll’TIQlt.

iiivui»- (linsiüisaduplù ju!9<|ui'-ià. (l*e8l-à-(Jiro(|uudun!> eu ca!< pari icii lier, pour /*<;/■ les rayons réllédiib ne se reiicüiitrent plus efTectivemenl; leurs prolongements seuls, si 'on les effeetiiail, iraient se eoii|)ersui l'axe derrière le miroir. Kn d'autres termes, quand le point lumineux est situé eytre le loyer principal et le miroir, il n’y a plus de foyer réel; les rayons rélléclns divergent, et Tœil qui les reçoit en éprouve la ineme sensation que s’ils partaient d’un point situé sur l’axe, derrière le miroir; point (pi’on a nommé foyer virtuel. Si l'on voulait la valeur absolue de dans ce cas |iurticulier, il faudrait dans 1a l’onnule changer le signe de cette quantité; un aurait ainsi ;

l'ilii. Axe» aeeondalreN. — Toute ligne droite telle que C'.V (/ijf. 605), ipii passe par le centre de courbure O du miroir MiN, i)ossùde les mêmes pruprièlés que l’axe principal; on l’appelle, à cause de cela, axe secondaire.

Kir- litti.

l’our comprendre ((ue l’axe secondaire est identi(|iie, )iai' ses propriétés, avec l’axe principal, il suffit de remarquer que si un augmentait la surface du miroir Mi\ de N en N' jusqti’à ce que ti' fût à égale distance de tous les points du bord du miroir ainsi augmenté, C'X' se trouverait être l’axe principal de ce nouveau miroir MN', et nous pourrions diix; : Tous les rayons parallèles à l’axe C'X' viennent converger après réflexion au point P, situé au milieu du rayon C'O. Que l’on retranche la partie ajoutée NN', les rayons parallèles qui tombaient sur elle ne donneront plus de rayons rélléchis; mais cette circonstance n’enipéchcra |>as évidemment les autres rayons de se réfléchir comme ils le faisaient aii-

MIIUMKS M-llÉHlyltS CO.NCAVES. :i‘\

jiarrivaiil, tl di' Cdiiverger encor»* au poinl F*. Ainsi, tous les rayons palallèles à un axe secondaire oui un loyer F' que nous appellerons le rayer principal de l'axe secondaire.

[le même, si l'on prend un poinl lumineux L sur l'axe secondaire l!'\'; à ce point lumineux correspondra un foyer conjugué, situé sur cet axe

MTOiulaire et la relation serii aussi la relation qui unit la

(lislance focale f, et les distances ji et p' an miroir, du point lumineux L Pi de son foyer conjugué. Le l'aisonneinent qui vient d’étrc fait pour les rayons parallèles est en effet a|i|dical)le, sans modification, au cas actuel.

Il ne faut pas cixiire, toutefois, ipi'il soit indilTérent, pour la nellelé des images, de prendre un point lumineux sur l'axe principal on en delioi's de cet axe. A mesure ipie l’angle deL'X'avec l'axe va en grandissanf. le miroir comprend un arc d'un nomlire de degirs plus considérable, cl alors, comme nous l’avons déjà dil, les aberrations de sphéricité s'aciToissenl. L’image du point lumineux devieni un cercle d’un plus grând rayon et tonte nelleté Unit par dis|iaraitre.

I‘26ô. imagF dea — .Maintenant nous .sonnnes eu mesure de

tracer l'image d’un objet AB j/i;/. OOfl) iilacé devant nu miroir spbériqne concave.

Ki,;. laai.

Lommençoiis |iar chercher celle de l'un des points A de l'ubjel. fous les rayons qui émanent de A tloiveul, après leur réllexion, ri‘iiconti'er Taxe .secondaire AC' en un même point. Dr, le rayon Al parallèle à l'axe principal C.\ donne nn rayon rétlècln (|ui pas.se par le point F milieu de la ligne CO, et (|ui, continuant sa marche, coupe l'axe AC' eu an poinl A' ; donc tous les antres rayons émanés de A viendront se cr<nser en ce ]»oinl A', (|ui est le foyer cherché. L’ieil placé en avant de A', sur le ti'ajet des faisceaux ipii se sont rencontrés en ce point, éprouve la même sensation que si A' était nn poinl hnnineux. l'n écran placé en II. 21

K' sera éclairé dans tonie la portion correspomlanle an croisement dr rayons et l'iinaj^e do ,\ tpii y sera produite pourra être celte fois apetyiK'

rif. iiU7.

par un observateur placé dans nue position quelconque, à cause do b diffusion de la lumière par récran ; A' est bien l'image réelle du point On aura de même le foyer B' du point I! et celui des points inlermé-

Fiï.iaiK.

diaires ; l'image A'Il', ainsi obtenue, est, sans déformation considérable, l’exacte représentation de AH, mais elle est renversée.

hü. lae.'.

Les ligures 1106, 6U7, lîÜS et 600 représentent la c.onstrnctimi qni doit être faite pour diverses positions de l’objet ; I" l'image est plie

MlRÜiKS SWIKRIUUKS (UNCAVFJS. .i-iS

qui' l'objet {fiij. 60ti et (507), toutes les fois que ce dernier est au delà du centre, et d’autant |»lus petite qu'il est plus éloigné. L’image est plus grande que l’objet {fig. 608) quand celui-ci est entre le centre et le foyer principal, ô" Elle est égale en grandeur à l’objet et toujours renversée quand l’objet est au centre de courbure du miroir. Enliii 1“ l'image virtuelle que l’on obtient |/îÿ. 609) quand l'objet e.st placé entre le miroir et le foyer principal est droite; elle est toujours plus grande que l’objet, mais elle va en diminuant à mesure que l’objet est plus voisin du miroir.

1266. Expérleneea. — Tous ces résultats sont vériliès, dans la chambre noire, par une expérience qui consiste à placer une bougie AH l/ifl. 610) au-devant d’un miroir sphérique concave MN et à recevoii' l’image de la llamnie sur un écran. Quand la bougie est très-éloignée lia miroir, on voit la petite image de la llannne se peindre renversée

Kik. tilO.

sur l’écran. A mesure que la bougie s’approche du miroir, l'image grandit, et l’on est obligé, pour, qu'elle soit nette et bien délimitée sur ses contours, d'écarter de plus en plus l’ccran du miroir. Le rapprochement continuant toujours, on voit, (piand la bougie est au centre, que l'image de la llaiume toujours renversée est aussi au centre et de même grandeur que l’objet; quand la bougie dépasse le centre, et c’est le cas de notre ligure, l’image renversée est au delà du centre et agrandie. Eu un mot, tous les résultats que l’on obsei ve seul ceux qui viennent d’étre indiqués dans le paragraphe précédent.

Cette expérience peut servir à vérilier la lormule y Hourcela la

Iimigiv éUiit diiiH une |)(isilioii fixe, on nieüiire lu dislunce û liKfnelli' •'Ile !SC trouve du iiiiroir ; ce qui donne p; on mesure la distance û laquelle rêi'.ran doit être placé pour que l'image se dessine nettement à sa surface :

tx qui donne p', et ]>ar suite p -+"^> > o» trouve ainsi que, pour toute position de la liougie, cette somme est constante. Si une expérience préalable a donné le rayon dn miroir, on vérifie que cette somme est égale

à |.i /'étant la moitié du rayon. Les mesures se prennent aisément avec

l'appareil tpii est sous les yeux du lecteur : les supports de la bougie et de l’écran se nieiiveiit dans une rainure dont les bords sont divisés ou milliméjres.

I2ü7. t'alcul de la Krandenr relative de l'Iinaite et de l'objet. —

('.uiisidérons la figure <pii a servi à obtenir l'image d'un idijet, dans le cas où cette image est réelle {fig. t»06). Les deux triangles AUH, sont semblables comme ayant leurs angles égaux ; donc

1 .V-ir o.V O “ .\li “ in ’

•'U appelant I la grandeur de l'image et U celle de l'objet. .Mais ( ),t' = ap— P' . O.V = P — 2/.

Doue ;

et si l'on remplace p" par sa valeur donnée par la roriuule(6) (l'itiô), ou a enfin ;

La discussion de cette rurinule nous donne les rap|iorts de grandeur de l'image et de l'objet pour les diverses valeurs de p, rapports que les constructions géométriques ne sauraient nous fournir. Ou eu déduit iuunédiatemeni les conséquences suivantes qui ont une grande importance pratique et que rcxpéricnce vérifie, à savoir : .

p > 2/ A'B’ < AU KO

p = 2p A'U' = AB t = O

p<2p A'B' > AU t>0

Dans le cas où l'image est virtuelle, ou a send)lableuienl (fig. 0119) :

I .A'B' OA' 2/> p'

o~ ’ab ~ ov V—p'

reiuplaçaut p' par sa valeur donnée par l'écpiatioii (c), ou a

On voit de suite que l'image est toujours plus grande ipic l'objet, et d'autant plus gi'ande que p s'approche davantage d'etre égal

Digilized by Coogl

MIHOIBS SPHÉKIOUES C(t\VE\ES. r.if.

à f; f’i‘sl-à-(lirp qii’fllo aiijrmfiilo à niesiiri' qui* roii plan* roliji*! plus près du foyer priiteipal.