V« — V'« + (V— V)* = V«— V* -H V» + V« — 2VV' = 2V (V — V

étant essentiellement négative si l'on a V > V, ou w > w'.

Mais l'augmentation finale ne compense pas la diminution initiale et le résultat, en passant de ia section AB à la section CD, est toujours une perte de charge, la quantité

i +-îî! 2-.

étant essentiellement positive, puisqu'elle est plus grande que

(87) Si Ion supposait que le (uyau intermédiaire fût, non pas un étranglement, mais un renflement (fig, 34), on aurait, en conservant les mêmes notations,

'7=^;;,(;-;-"-"'')=-:-i(jy-'-fe-)i

d'où l'on conclut une augmentation de charge, puisque l'on a

et d'autre part on aurait avec la relation

û)V = iii'V'=:m«Y'';

d'où

quantité indiquant une perte de charge, puisque l'on a à la fois

-^ > 1 et ^ < i-

Ajoutant les deux équations ci-dessus pour éliminer la pression intermédiaire P", il vient

C'est donc encore une perte de charge comme avec un étranglement.

(88) Les exemples qui précèdent montrent comment on devra procéder, lorsqu'on rencontrera dans le mouvement de Teau une variation brusque susceptible d'être exactement définie. Cette définition n'est pas toujours possible. Si elle est due, par exemple, non pas à un changement de section, mais à un changement de direction, on comprend qu'il se produise des phénomènes de perturbation plus ou moins analogues à ceux qu'amène un étranglement (fig, 35). La masse des filets fluides tend en vertu de son inertie à se porter sur la paroi concave, et il se forme en A, du côté convexe, une sorte de remous analogue à celui qui entoure la section contractée dans un ajutage cylindrique.

Ce phénomène ne peut être exactement analysé, et ce n'est que par une formule essentiellement empirique que l'on peut essayer de tenir compte de la hauteur perdue par un coude. On pose pour l'eau :

1 = ^ (o.0039 + 0.0186rH = ^ /"o . 0039 î 4- 0. 0186 a\

76 COURS DE MACHUSES.

formule dans laquelle les lettres ont les significations suivantes : z charge perdue, exprimée en mètres, V vitesse dans la partie rectiligne de la conduite, / longueur de Taxe de la conduite dans la partie coudée, r rayon de courbure de cet axe,

- = a , angle au centre du coude.

Celte formule empirique n*est pas à Tabri de toute critique. Il n'est pas démontré que la perte de charge soit indépendante du diamètre de la conduite.

(89) Au moyen des résultats des n*** 77 à 88 ci-dessus, on pourra généralement tenir compte des pertes de charge qui se produiront dans le mouvement d'une veine fluide quelconque, par suite des changements brusques de section ou de direction que cette veine subira dans son trajet.

Ces variations de charge serviraient à corriger les niveaux piézométriques que l'on trouverait par l'application du théorème deBernouilli. On remarquera que leur expression contient toujours en

facteur un terme de la forme ^ , Vêtant la vitesse qui a lieu dans

la section normale de la conduite. En pratique, cette vitesse est son-

vent inférieure à 1"*; pour ¥ = !•" on a ^=0,051; pourV=5",

on n'a encore pour ^ que 0'",46. Ainsi très-souvent ces pertes de

charges seront faibles devant la charge totale sous laquelle l'écoulement se produit.

Si la conduite est longue, et si ces pertes de charge ne se présentent que sur un petit nombre de points et en quelque sorte accidentellement, elles seront faibles, parfois même tout à fait négligeables, devant une autre cause de perte qui se fait sentir sur toute la longueur de la conduite, et dont il y a lieu maintenant de parler. Cette cause est le frottement de l'eau sur les parois de la conduite.

(90) Nous supposerons d'abord qu'il s'agisse d'une conduite

forcée, c'est-à-dire d'un tuyau qui est partout rempli d'eau en pression. Ce tuyau met en relation deux réservoirs placés à des niveaux différents. On le suppose d'abord, pour simplifier, à section constante et à axe sensiblement rectiligne, ou du moins sans coudes brusques, de manière qu'il n'y ait point d'autre perle de charge, sur la longueur de la conduite, que celle due aux frottements.

J'appelle H la différence de niveau entre les deux réservoirs, ou la charge effective qui produit 1 écoulement, L la longueur totale de l'axe de la conduite de A en B (fig. 36), x le périmètre, et o> l'aire de la section droite du tuyau, P^^ la pression commune (la pression atmosphérique, par exemple) qui agit à la surface libre des deux réservoirs.

On a d'abord, depuis le réservoir jusqu'en A", où le parallélisme du mouvement des filets est rétabli à la suite de la contraction qui a eu lieu à l'entrée du tuyau,

de A' en un point G quelconque de la conduite, on aurait à l'état hydrostatique

P -p (Voy.la figure. 36.)

En réalité — est moindre, et la différence est précisément la hauteur perdue en frottements sur la longueur L^ de la conduite de A' enC.

La désignant par h, on posera

Ajoutant (1) et (2), il viendra en simplifiant:

- = ^-l-Hi-s^^ h. (3)

P P ÔK-^Sf

Si au lieu de prendre le point C arbitrairement, on se transporte à l'extrémité de la conduite en B; désignant par /i^ la valeur particu-

78 COURS I)£ MACHTNFS.

lière de h, qui correspond à ce point B, et remarquant que pour ce

point la quantité — est égale à ~ -f- :î', et que la quantité H^ de-

vient H 4- «'. On aura

L'équation 3 montre qu'en un point quelconque, la hauteur piézométrique est inférieure à la hauteur hydrostatique de toute la hauteur perdue :

1** Pour donner à Teau la vitesse avec laquelle elle circule dans la conduite ;

S*" Pour compenser la hauteur perdue par l'effet de la contraction à l'entrée du tuyau ;

3^ Enfin pour surmonter les frottements depuis l'entrée de la conduite jusqu'au point que l'on considère. f ,^^ , . . ,

Les deux premiers effets sont compris dans le -préoii^ terme du

second membre ô-i3(voir n° 77), et le troisième effet est représenté par le terme h^.

Cet énoncé remplace celui du théorème de Bernouilli, avec lequel il devient identique, si l'on néglige les deux dernières pertes de charge ci-dessus énumérées.

Quant à l'équation 4 , elle montre que la charge motrice effective H, différence de niveau entre les deux réservoirs, est employée comme on vient de le dire, c'est-à-dire qu'il s'établit dans le tuyau un débit tel, que la hauteur employée en force vive conservée, en force vive perdue, et en frottements, sur toute la longueur L de la conduite, soit précisément égale à H. C'est cette condition même qui nous servira à trouver le débit d'une conduite donnée.

(91) Mais auparavant il faut examiner sous quelle forme analy* tique se présente la quantité h ou /i^ des équations précédentes.

Quand il s'agit du frottement des corps solides, l'expérience indique qu'il est proportionnel à la pression, dépendant de la nature

et de l'état actuel des surfaces, indépendant de leur étendue, indépendant aussi de la vitesse du glissement.

Pour les liquides, au contraire, on est conduit à dire :

l"" Que le frottement est indépendant de la pression ;

2"^ Qu'il est à peu prés indépendant delà nature des surfaces, du moins tant que le liquide les mouille et qu'elles ne présentent pas de rugosités notables ;

S"" Qu'il est proportionnel à l'étendue des surfaces en contact ;

4* Enfin qu'il est fonction de la vitesse moyenne qui a lieu dans la conduite.

La première loi est une conséquence de l'incompressibilité à peu près absolue des liquides. Elle est démontrée expérimentalement par ce fait que la dépense par un tuyau ne dépend que de la différence de niveau entre les deux réservoirs qu'il met en relation, et nullement de la charge dans chacun d'eux sur l'extrémité correspondante du tuyau.

La seconde loi tient à ce que la surface étant susceptible d'être mouillée, il y adhère une couche liquide qui participe peu au mouvement, de sorte que les filets fluides frottent plutôt sur cette couche que sur les parois solides. Toutefois l'indépendance est loin d'être complète, et pour une matière donnée, le frottement diffère beaucoup, selon que la surface est tout à fait décapée^ ou qu'il y a un dépôt même très-faible. C'est dans ce dernier état qu'il faut en pratique la considérer.

La troisième loi est une conséquence naturelle de l'indépendance des molécules liquides. Le frottement se répète en chaque point de la paroi mouillée. Il est donc proportionnel au produit ^L, % étant le périmètre de la section du tuyau, et L la longueur de la conduite. Cette proportionnalité explique l'influence dun dépôt même très-mince sur les parois d'un tuyau. Un tel dépôt en effet ne change pas la section o) d'une manière appréciable, mais s'il est discontinu ou inégal, il peut changer très-notablement le périmètre x*

La quatrième loi s'explique et se justifie par cette remarque que le travail du frottement résulte de la différence des vitesses des différentes couches concentriques, en lesquelles on peut décomposer le fluide, la vitesse étant nulle ou presque nulle à la paroi, et celle

du filet central étant la plus grande. Les écarts entre ces diverses vitesses sont d'autant plus grandes que la vitesse moyenne est ellemême plus considérable. La fonction de la vitesse, qui représente le frottement, doit d^ailleurs satisfaire à la condition d'être nulle quand la vitesse est nulle; car l'expérience montre que deux réservoirs communiquant librement par un tuyau, finissent toujours par se mettre exactement de niveau ; ce qui exige que la résistance décroisse indéfiniment, en même temps que la vitesse. On peut poser généralement cette fonction

F(V) = AV-f BV* + CV»-|- ...

qui donne F(V)=0 pour V=:0.

On a d'abord cherché à représenter les résultats des expériences, en s'arrêtant aux deux premiers termes de ce développement, et posant simplement

F (V) = AV + BV«,

Le frottement est alore représenté par le terme

xLF(V)=xL(AV-|-BV*);

son travail élémentaire xLF (V) x Vdf s'ajoutera au travail résistant V^tù^dt de la pression d'aval. Il correspond à une hauteur perdue

^ — i— ', et l'on pourra poser définitivement po)

eu

A B en écrivant A et B simplement, au lieu de - et -.

9 P L'équation (4) du numéro précédent devient alors

(') L'équation 5, qui tient compte de la force vive de Teau et de la perte de force TÎve à l'entrée du tuyau, est exacte. Daubuisson pose simplement

et de Prony

H = ^ L (AV + RV«)

La première équation est théoriquement inexacte, la seconde néglige les deux circoostances indiquées plus haut; mais les formules deviennent plus simples.

En joignant à cette équation la relation Q= (oY, on a ce qu'il faut pour résoudre les trois questions suivantes qui intéressent directement la pratique.

Dans des conditions déterminées de charge et de longueur^ trouver la dépense d'un tuyau donnée ou déterminer le tuyau qui fera une dépense donnée, ou enfin le tuyau et la dépense étant donnée^ trouver la charge nécessaire.

(92) Si Ton suppose, ce qui est le cas habituel, que la tuyau soit à section circulaire, on aura, en désignant son diamètre par D, les quatre équations :

Q = «V itD«

X = irD.

D'où l'on déduit

et par suite

H- ^ , 4 /4AQ i6BQ«\ H X piV'D» = 8D0* H- 16ALfi.«sFirD«Q H- 64BLQVg.

Cette équation peut être ordonnée soit par rapport à Q, soit par rapport à D, et devient

[i) Q« (64BLt*V 4- 8D) -f Q (i6iLp.»flficD«) — i^gn^Vm = 0,

ou bien

(2) f* V*H X D» — D* X 4«ALp.«jMl — WD — 64B(iuVW = 0,

OU en nombres,

(1) (P [415,89BL 4- 8D] + Q [526,62ALD»J — 64,20D»H — 0, 7f

(î) D» [64,2q(f — D« [326,62ALQ1 — D (8Q«) — 4i5,89BL(? = 0. ^

La première équation donne Q» si on connaît le diamètre. Cette 1 6-

88 COURS DE MAGHINBS.

équation a ses deux racines réelles et de signes contraires ; la racine positive est la solution unique de la question.

La deuxième donne D, si l'on s'est donné la dépense. C'est une équation de degré supérieur; mais on reconnaît qu'étant de degré impair, elle a toujours au moins une racine réelle de signe contraire au signe de son dernier terme, c'est-à-dire positive; de plus, elle n'a qu'une seule variation, et par conséquent ne peut avoir qu'une seule racine positive. On a donc encore une solution unique.

On l'obtiendra par une série d'approximations successives, en négligeant d'abord le terme en D* et le terme en D, ce qui donnera une valeur de D trop petite. Cette première valeur obtenue, on aura une deuxième valeur plus approchée en la substituant dans les deux termes négligés d'abord ; puis une troisième au moyen de la seconde, et ainsi de suite. C'est une application de la remarque générale faite au n"" 69.

(93) A la place de la fonction AV -f- BV*, on met quelquefois le monôme BV*. Cette forme, ainsi que Texpérience le montre, convient assez bien pour les grandes vitesses, à la condition d'augmenter le coelficient B pour compenser l'annuUation du coefficient A.

On aura les équations en Q et en D correspondantes, en faisant A = 0, dans les équations du numéro précédent. Cela donne

"^ 64BLH.«a-|-8D"""'

64BLh.«^ OU

w« HD8 /:;;r / — j

OU en nombres

8Ba«g pt^'f'HD» — 8Q«D — 64Bfi«9H!« = /, ^

0^3924 I HDï

^ "^51,9853B 64,20 HD» — 8Q«D — 4i5.89BLQ*= 0.

(941) M. de Saint- Venant a remplacé le monôme BY* par le monôme BV", qui lui a paru représenter plus exactement l'ensemble des expériences connues, en modifiant la valeur de B, et donnant à

l'exposant m une valeur comprise entre 1 et 2, ( m = -y J.

Si Poa veut appliquer la formule de M. de Saint-Venant, on devra employer l'arlifice suivant :

L'équation (5) du iv 91 devient

H = 5Î^-h?^LBV«

qui peut s'écrire

2 est le rayon moyen de la conduite; négligeant d'abord le terme

cT-r-y et remarquant que f =1 est la charge disponible par mètre

courant de la conduite, on aura RI = BV"*.

La prenoière valeur de la vitesse V, calculée par logarithmes, est

un peu tré)p grande^ puisque le terme I est trop grand.

Y* Prenant cette valeur et la substituant dans le terme négatif r-^

et désignant par F la valeur

on calculera une seconde valeur V un peu trop petite.

Celle-ci servira à calculer une seconde valeur 1", un peu trop faible, d'où l'on déduira une valeur V" un peu trop grande, mais plus petite que la première valeur V, et ainsi de suite.

On obtiendra ainsi une série de valeurs alternativement trop grandes et trop petites, qui se rapprocheront de plus en plus.

84 COURS DE HACHINES.

(95) Enfin dans ces dernières années, cette question de l'écoulement par des tuyaux de conduite, qui avait depuis le commencement de ce siècle occupé beaucoup d'ingénieurs et de savants, particulièrement MM. de Prony, d'Aubuisson, Eytelwein, Dupuit et de Saint-Venant, a été de nouveau traitée par M. Darcy, à qui les travaux de distribution d'eau de la ville de Dijon, dont il a été chargé, ont donné l'occasion de faire de nombreuses expériences.

M. Darcy prend le monôme BV*, pour représenter l'influence de la vitesse sur une conduite donnée; mais au lieu de regarder le

coefficient B comme une constante, il le pose égal à an- ^,R étant

le rayon de la conduite, et a et p deux nombres qui seraient d'ailleurs variables eux-mêmes dans une certaine mesure, avec la matière composant le tuyau.

Ces formules semblent plus rationnelles que les précédentes.

Les équations auxquelles elles conduisent pourront se déduire de celles du numéro précédent, en faisant A =0, et remplaçant B par la valeur

L'équation en Q ne change pas de forme ; mais l'équation en D devient du sixième degré.

(96) On indiquera plus loin les valeurs numériques des divers coefficients à employer pour appliquer les formules des n" 92 à 95, ^ci-dessus, et résoudre les équations qui donnent, soit la vitesse et le débit, si le tuyau est donné, soit le diamètre du tuyau et la vitesse, si le débit est donné, soit enfin la charge qui doit se produire si le tuyau et le débit sont donnés. Ces divers problèmes doivent être considérés comme résolus par ce qui précède, puisqu'ils sont ramenés à une simple application numérique.

On reconnaîtrait, dans l'application, que ces diverses formules sont assez loin de donner des résultats bien concordants, pour peu qu'on fasse varier les données entre des limites un peu grandes. C'est qu'en réalité les unes et les autres sont purement empiriques,

et probablement trop simples pour représenter un phénomène qui est au fond assez complexe.

(•7) On doit ajouter ici que dans la pratique, la résolution des équations indiquées est habituellement remplacée par l'usage de tables qui donnent, moins laborieusement et avec une approximation suffisante, la solution de la question. Ces tables ont reçu diverses dispositions, dont il est facile, à l'examen, de saisir la clef, et qui ont d'ailleurs toujours le même point de départ.

Prenant la formule

on pose et l'on écrit

^x? = RI = F(V).

Pour établir ces tables, on se donne I, et on a une relation entre R et V. On dresse ainsi une table des valeurs correspondantes de R et de V, et on en déduit les valeurs de Q, quantité égale à 4zR'V.

Ces tables ainsi dressées servent à résoudre les problèmes dont il a été question ci dessus. Si par exemple on a un tuyau dont la charge est H, et la longueur L, la charge par mètre est théorique-

ment t =1) les tables donnent, pour cette valeur de I, le diamètre

si l'on s'est donné la dépense, la dépense, si Ton s'est donné le

diamètre, et ces deux éléments connus, on en déduit la vitesse V.

Celte première valeur, un peu trop grande, s'emploie à obtenir une

valeur corrigée T, en retranchant de H, non-seulement le terme

V* JTT 9"^ ^^^* ^^^^^ compte de la force vive que possède l'eau,

et de la force vive qu'elle a perdue à l'entrée dans le tuyau, mais

encore tous les autres termes en x- qui seraient dus à des coudes

ou à des variations brusques de section. Cette valeur F est

un peu trop faible, elle donnera une valeur V trop faible, qui servira à son tour à calculer une valeur 1" plus petite que I, mais trop forte, et ainsi de suite. On obtiendrait ainsi une série de valeurs décroissantes I, I", F, etc., et de valeurs croissantes T, P, etc., qui convergeraient vers une limite commune, en même temps que les vitesses correspondantes. On s'arrêterait quand deux résultats consécutifs, l'un en plus, l'autre moins, différeraient l'un de l'autre d'une quantité assez petite pour ne plus comprendre entre eux qu'une des valeurs données par la table. Cette valeur corrigée, si on le juge à propos, par l'emploi des différences proportionnelles, donnerait la quantité cherchée. On n'aura pas besoin habituellement de faire plus de deux ou trois substitutions.

(98 ) Le problème général relatif à une conduite simple, de diamètre uniforme et à débit constant sur toute sa longueur, est entièrement résolu par ce qui précède.

Examinons quelques cas moins simples, et d'abord le cas où la conduite serait à rayon variable, avec la condition que ces variations soient très-graduelles, de manière que le parallélisme des filets ne soit pas altéré, qu'il n'y ait pas de mouvements de remous et qu'en un mot les variations de force vive se fassent sans perte.

On écrira que l'abaissement de hauteur piézométrique dz entre deux sections très-voisines est la mesure de la variation survenue dans la demi-force vive et du travail du frottement sur la longueur ds distance des deux sections.

On aura aussi l'équation

dz = rfX: + ï BV«d« = — -i-^BV«d« 2gf © g vi

Si l'on suppose que les variations de vitesse soient très-graduelles ; de telle sorte que sur une longueur finie le travail absorbé par les frottements l'emporte de beaucoup sur le travail correspondant à la demi-variation de force vive, il en sera de même sur une longueur infiniment petite^ elle terme — pourra être négligé devant l* suivant.

On écrira donc simplement

et comme

et

on aura

dz='^ BV"d«

;=^B r^V-dâH-C

X 4 rD»

quantité qui s'intégrera lorsque D sera donne en fonction de s (•») Les conduites pour lesquelles Thritégrale

a la môme valeur, donnent lieu à la même perle de charge et sont dites des conduites équivalentes.

Si Ton compare deux conduites, l'une d'un diamètre D uniforme et de longueurL, l'autre formée de plusieurs diamètres D',D"... etc., et de longueurs U V... dont le total est égal à L, la condition d'équivalence de ces deux systèmes donne lieu à l'égalité