IF
C'est l'équivalence au point de vue delà charge dépensée; mais il est facile de voir que ces deux conduites ne coûteront pas le même prix, et que la conduite uniforme est la moins coûteuse à établir.
En effet la pratique montre, et on s'en rend bien compte, que le prix complet par mètre courant d'une conduite posée est à peu près proportionnel à son diamètre, ou le prix total à peu près pro-
portionnel au produit de la longueur par le diamètre. La dépense sera donc dans un cas LD el dans l'autre L'D' -+- L"D" -+- etc.
Supposons d*abord qu'il n'y ait que deux diamètres D' et D", et cherchons quel rapport doivent avoir ces diamètres pour réduire la dépense au minimum.
On aura d'une part
et de l'autre
Viy 4- L'iV = un minimum.
En différenciant il vient
L'(fly H- L"dD" = 0, d'où l'on tire
L"dD"" [ïï'J - ^''^-^'
S'il y a un nombre quelconque de tuyaux, on verra qu'il faut donner aux deux premiers le même diamètre, au troisième le même qu'aux deux premiers et ainsi de suite : la conclusion est donc générale.
( f OO ) On peut voir également qu'un seul gros tuyau coûte moins que plusieurs petits qui conduiraient le même volume total avec la même charge.
Pour le gros tuyau on aura
et pour chacun des n petits tuyaux l'équation analogue
L'égalité de charge nous donne et le rapport des dépenses
Htm + 1
Si par exemple on a n = 2, et si l'on prend m =2, on trouve le
Dn' -
rapport -jr- r= 2 • = 1.51, = soit au nombre roiïd 1.5; d'où
Ainsi l'emploi de deux petits tuyaux de 0'".75, substitués à un seul plus gros d*un mètre, accroît la dépense de 50 p. 100.
Cette considération a donc une grande importance pratique.
(101) Examinons actuellement le cas où la conduite est à débit variable et à diamètre constant. Le débit sera variable, parce qu'il existera le long de la conduite une série de prises d'eau.
Pour le calcul, nous supposerons le débit en route réparti uniformément et réglé de manière à débiter la totalité de l'eau reçue à l'entrée du tuyau.
On posera encore l'équation
d« = ?V"d».... rf«=:MO"
ds
et dans ce cas D est consiant et Q est fonction de la quantité s.
En désignant par Q le débit par mètre courant, et par L la longueur de la conduite, QL sera le débit à l'entrée, et Q [L— s] le débit à la distance s de l'entrée.
L'équation devient
Intégrant depuis 5=0, il vient
^--^mr=ri^[ ;;:+! )^
et faisant ensuite s=L
Sous cette dernière forme, on reconnaît qu'un tuyau qui reçoit à rune de ses extrémités certaine quaiitilé deau et qui la débite uniformément et en entier sur sa longueur^ n'a besoin que de la fraction
j de la charge qui serait nécessaire pour débiter cette même quantité d^ eau à son autre extrémité.
Cette fraction devient \ si Ton suppose m =2.
( tOZ ) Examinons encore le cas d'un embranchement distinct sur une conduite principale (^j. 37).
Désignant par Y^ la vitesse en amont et Y^ la vitesse en aval dans la conduite principale, par Y' la vitesse dans l'embranchement, par Pq P^ P' les pressions correspondantes ; on admet généralement que Pj==Po c'est-à-dire que la réduction de vitesse due, non à l'augmentation de section mais à la diminution du débit, ne donne pas lieu à une augmentation de pression conformément au théorème de Bernouilli.
Pour la pression P' on admet qu'elle est inférieure à la pression
P^, et que la quantité -2 = 2, ou l'abaissement piézométrique,
a pour expression
iïiL^H- 2^(1 -COS.).
5YX»
Ce qui donnera -^— si Y' est grand relativement à Y^, et si
a = 90^ (Yoy. la figure 37.)
Ce terme est analogue à ceux qui ont été précédemment indiqués pour mesurer l'influence des coudes ou des variations brusques de section.
Comme eux il est souvent négligeable devant Texpression de la hauteur perdue en frottements.
On en fait abstraction dans une première approximation, sauf à corriger les résultats du calcul lorsque les vitesses ont été une première fois déterminées. (Voy. n*97,)
(i03) Nous chercherons encore à déterminer la répartition des débits dans une conduite qui se bifurque en deux branches. On suppose les niveaux constants dans les trois réservoirs et à des hauteurs H, H\ H", au-dessus d'un môme plan horizontal. (Voy. figure 38).
Connaissant les diamètres D,D',D"et les longueurs L, L',L", on demande les dépenses 0,Q',Q", ou les vitesses V,V',V"qui s'établiront dans ces branchements.
On résoudra la question en introduisant une inconnue auxiliaire qui sera la pression P, existant aux environs du point A.
On en déduira dans chaque branche la perte de charge par mètre, et par suite les dépenses Q, Q', Q", et on éliminera cette inconnue au moyen de l'équation de condition Q = Q' -+- Q", si Von suppose que le réservoir supérieur alimente les deux autres^ au moyen de l'équation de condition Q-4-Q'zz=Q", si Ton suppose que les deux réservoirs supérieurs alimentent celui du bas.
On remarquera d'ailleurs que les deux circonstances ne sont pas représentées par les mômes équations.
Le système des forces change quand on suppose un changement dans le sens du mouvement. Il en est ainsi comme dans le cas du mouvement d'un corps pesant sur un plan incliné, en tenant compte du frottement.
La même équation ne peut représenter le mouvement ascendant et le mouvement descendant, parce que le frottement et la composante de la gravité suivant le plan sont deux forces de même sens dans le premier cas, et de sens contraire dans le second.
Un examen spécial sera donc nécessaire pour savoir laquelle des deux équalions de condition devra être posée, et de quelle manière devra être écrite l'équation du mouvement dans le branchement du réservoir intermédiaire. Il est clair a priori que selon que H' se rap-
08 COURS DE HAGKmSS.
prochera de H" ou de H, le réservoir intermédiaire recevra ou donnera de l'eau.
(f04) La question des branchements peut se poser en termes plus généraux de la manière suivante :
On donne un réseau de tuyaux dans lequel il existe un certain nombre m de points d'embranchement, et un certain nombre n d'orifices par lesquels ce réseau dépense ou reçoit de l'eau.
La conduite est définie par la longueur et le diamètre des divers branchements et par les charges hydrostatiques qui existent sur les divers points.
On propose de déterminer les circonstances de l'écoulement.
On a n inconnues qui sont les quantités d'eau que fournissent ou reçoivent les n orifices.
On introduira m inconnues auxiliaires qui seront les pressions piézométriques aux points d'embranchement.
Cela fait m + n inconnues.
On aura le même nombre d'équations, savoir n équations exprimant le mouvement dans le tuyau aboutissant à un orifice, et m équations exprimant qu'à chaque point d'embranchement le débit total est égal à la somme en débits partiels.
Le problème est donc parfaitement déterminé en théorie, comme il l'est en fait.
Le problème inverse consistant à déterminer les diamètres quand les dépenses sont données, est au contraire indéterminé.
Lesn premières équations subsistent; mais les m équations suivantes sont des équations de condition auxquelles doivent satisfaire les données et dans lesquelles les inconnues ne figurent pas
On devra donc se donner m conditions distinctes, par exemple la pression piézométrique aux points d'embranchements. Il est clair en effet qu'un débit donné peut se faire par un tuyau quekonqiLe^ mais que ce tuyau cesse d'être arbitraire et devient au contraire parfaitement déterminé, lorsqu'on se fixe sur la perte de charge que l'on veut faire entre ses deux extrémités.
L'indétermination du problème est donc dans la nature des choses.
(f05) Une remarque doit être faite sur la manière de résoudre numériquement les problèmes précédents.
On ne peut songer à appliquer des méthodes régulières d'élimination pour déterminer directement chacune des inconnues.
On se jetterait dans des calculs absolument inextricables, à cause du grand nombre et à cause de la complication des équations à considérer simultanément.
On doit procéder par une série de tâtonnements dans lesquels, pour abréger et simplifier, on néglige les causes accessoires de pertes de charge.
La solution cherchée une fois obtenue avec un premier degré d'approximation, on peut, connaissant les vitesses, revenir sur ces pertes d'abord négligées, et corriger les premières valeurs trouvées.
Cette marche n'est pas applicable seulement aux questions qui viennent d'être traitées ; elle l'est dans tous les cas où une question d'une nature quelconque soumise au calcul est complexe et comporte la recherche d'un certain nombre d'inconnues, dont l'élimiuaiion n'est pas de la plus grande simplicité. (Voy. n""' 69, 92 et 97.)
