SUITE DE L'HYDRAULIQUE- MOUVEMENT DE L*EAU DANS LES CANAUX
(f 06) Les lois du frottement des liquides, telles qu'elles ont été exposées dans le chapitre précédent (n*** 90 et suivants), s'appliquent au mouvement de l'eau dans les canaux découverts, c'est-àdire qu'on le suppose ordinairement indépendant de la pression, indépendant de la nature de la surface, proportionnel à retendue des surfaces en contact et dépendant de la vilesse, avec la condition de s'annuler en même temps que cette vitesse.
La première et les deux dernières des lois ci-dessus sont sensiblement exactes; la seconde ne Test pas, et les variations observées sont très-sensibles, selon que la paroi est en bois ou en maçonnerie bien lisse, ou bien enterre ou en maçonnerie de moellons; ce qui tient sans doute à ce que l'étendue des surfaces en contact, bien que déterminée en apparence pour un lit d'une dimension donnée» est en réalité très-différente, selon que la surface est lisse ou rugueuse.
Nous considérons successivement les canaux dits à régime cmétant et les canaux dits à régime pe^^manent.
Dans les premiers, on suppose une section et une pente de fond uniformes et une pente de surface parallèle à celle du fond.
Dans les seconds, tous les éléments peuvent varier d'une section à l'autre, sauf le débit qui est supposé constant.
BYDKAUUQUB. 95
§ 1. — Des canaux à régime constant.
(f 0*7) Considérons une longueur quelconque AA' d'un tel canal. Les deux sections AB, A'B' sont identiques, et les deux lignes AA' et BB' sont parallèles. (Voy. figure 39).
Nous supposerons (ce qui est une hypothèse de simplification non conforme à la réalité) que tous les filets qui traversent les divers points de ces sections aient une vitesse commune V, et nous considérons un déplacement infiniment petit qui amène ces sections de ABenO), et de A'B' en CD'.
Nous écrirons que le travail de la gravité sur la masse ABB'A' transportée en CDD'C, augmenté du travail de la pression d'amont sur la section AB et diminué du travail de la pression d'aval sur la section A'B' est entièrement absorbé par le travail résistant du frottement sur la longueur AA\ puisque la force vive ne varie pas.
Comme les pressions sont évidemment égales et de sens contraire, puisque tout est pareil dans les deux sections, Tégalité s'établira simplement entre le travail de la gravité et le travail des frottements.
Appelant L la longueur AA', H la différence de niveau des points A et A', (i> la section, x son périmètre.
On aura
e« Vd^ X H = ?^ LF (V) X \dt
Posant
L(l) = AV + BY»et?=sinl, p II
(i étant l'angle que fait le lit avec le plan horizontal), il viendra
8int=^(iY4-BV«).
Cette équation est, pour le mouvement dans les canaux à régime
iM GOURS DE MACHINES.
constant, ce qu'est l'équation (5) du n^ 91, pour le mouvement de l'eau dans les tuyaux.
Au lieu de la fonction AV -hBV*, on pose aussi, comme aux n~ 93
et 94, sin i= - BV", qui convient pour les grandes vitesses, ou bien
encore sin i= -BV", m étant un exposant fractionnaire compris entre 1 et 2
(f 08) La formule sin i = ^ BY" , dans laquelle m aura soit la
valeur entière 2, soit une valeur fractonnaire un peu inférieure à 2, résout diverses questions qui intéressent essentiellement la pratique.
On peut d'abord demander de déterminer les éléments du canal, de manièi'e que sin i soit un minimum, ou que, sur une longueur donnée, on perde le moins de pente possible. Cela revient à rendre
- un minimum.
Or, ayant un lit quelconque, dont le périmètre x est la ligne AmB, si l'on trace la ligne Am'B, symétrique de la première par rapport à la ligne d'eau AB, la figure AmBm'A aura à la fois un périmètre 2x et une section 2a). (Yoy. figure 40.)
Ainsi le problème revient au problème géométrique des isopérimètres^ consistant à trouver pour une aire donnée, le plus petit périmètre, ou pour un périmètre donné, l'aire la plus grande.
D'une manière absolue, si la figure n'est assujettie à aucune condition particulière, c'est le cercle qui résout la question. La section demi-circulaire est donc, de toutes les figures possibles, la plus convenable.
Si la section est rectangulaire, elle doit être formée parla moitié d'un carré, c'est-à-dire que la largeur doit être double de la profondeur.
Si la figure est un triangle, ce doit être un triangle rectangle isocèle ayant la ligne d'eau pour base.
Si la largeur est donnée, ainsi que le périmètre, ce périmètre doit être un arc de cercle, etc., etc.
(MM) Supposons, ce qui est le cas ordinaire quand le canal est dans le terrain naturel, que la section soit un trapèze, de largeur l au plafond, avec des berges ayant un talus à n de base pour 1 de hauteur. On a
à = A (/ + nA) X = ^ + 2fc v/i + n» {fig. 41),
et Ton doit avoir diù=0 eidx=Oj puisque de ces deux quantités, (D et X» l'une est donnée, et Tautre un maximum ou un minimum. On a donc
(i + m)dh-^hdi = o ^=^L±^
dl-h^s/iT^ dh =0 — = -2^1 +fi«.
Donc
/4-2iiA = 2Av^l +n* ^^-hnh = hypr^ OC = CA.
c'est-à-dire que la longueur de la berge doit être égale à la moitié de la largeur du canal au plan d*eau.
Cet énoncé peut être modifié en remarquant que puisque le triangle OGA est isocèle, les deux perpendiculaires OË et DA sont égales. et comme en outre OF = AD, on a OE=OF ; par conséquent le périmètre doit être circonscrit à un cercle décrit du point 0 comme centre j avec un rayon égal à la profondeur du canal.
On remarquera que ces deux énoncés renferment comme cas particulier, ce qui a été dit ci-dessus pour le rectangle.
(MO) La formule sini=:^ BV", combinée avec les équations
« = A(Z + fiA).
renferme implicitement la solution des diverses questions qu'on peut avoir à résoudre au sujet des canaux.
En élimiûant Y, x et (d, la formule devient successivement
i + ns/T^Tf^
fctiii+ 1
qui peut s'écrire
Cette fonction 9 ( t ) est telle que la variable r variant deO à Tinfini, elle varie depuis une valeur h^ qui conviendrait au cas d'une largeur nulle au plafond, jusqu'à une valeur nulle qui correspondrait à une largeur infinie.
On peut calculer une série de valeurs correspondantes de ? et de
h. On se donnera t , la formule donnera ft, et l'on pourra en déduire
la quantité ^ -+- nfc.
Prenons deux axes rectangulaires {fig. 42), et portons sur ces
axes les quantités correspondantes h et ^^ + nh, on aura une courbe
partant d'un point A dont l'ordonnée sera la valeur \ qui correspond à 2 = 0, et asymptotique à la ligne des abscisses.
Prenant un point A' quelconque menant par le point A' une parallèle aux talus des berges, la ligne OB'A' sera la demi^sectiond'un des canaux en nombre infini qui satisfont aux données ; OB' sera la demi-largeur au plafond, A'B' la longueur de la berge, kV le tirant d'eau, et A'D' la demi-largeur à la ligne d'eau.
Si l'on veut avoir le canal pour lequel la condition ^= un mini«
HYDRÀUUQUB. 90
mum, est satisfaite, il faudra prendre le point A^ pour lequel AA= AiDj , d'après ce qu'on a vu au numéro précédent.
La position du point Aj est facile à obtenir graphiquement. Il suffit de mener par le point 0 une ligne faisant avec Taxe horizontal, un angle ^, satisfaisante la condition :
(X étant rinclinaison du talus» c'est-à-dire l'angle dont la tangente est > . Son sinus est égal à
tangg n
sec « 4 /i + 1 V^ï+I?*
On a donc
tangP= *
On peut se donner arbitrairement, pour satisfaire à diverses convenances, soit la largeur au plafond, soit la largeur à la ligne d'eau,
ou la profondeur, soit la condition - = un minimum, etc., etc., et
immédiatement, par l'application de la construction géométrique ci-dessus, tous les éléments de la section du canal se trouvent déterminés.
La dépense d'acquisition des terrains dépendra principalement de la largeur qu'on donnera au canal. La salubrité demandera que la profondeur de Teuu ne soit pas trop petite. Si le canal doit servir à la navigation, le minimum de tirant d'eau sera déterminé par celui des bateaux admis à circuler sur le canal, etc., etc.
On aura ainsi des considérations de nature diverse qui pourront et devront intervenir, dans l'étude d'un projet de canal, pour la fixation de la section.
iOO COURS DE MACHINES.
(fit) On vient de voir comment le tracé géométrique {fig. 42) résout la question :
Étant donné le débit d'un canal à établir avecune pente donnée, dans un tenain dont la consistance exige que les berges aient un talus donnée trouver les différentes sections que peut recevoir ce canaL
Si l'on suppose le canal établi, on peut rechercher, en supposant que la quantité d'eau à débiter varie, quelle est la hauteur du régime constant qui s'établira dans le canal pour une valeur donnée deQ,
Il suffit de remarquer, pour répondre à la question, que la quantité fc*^* est proportionnelle à la quantité Q"*, ou la quantité h pro-
portionnelle à Q*»-»-*.
Ayant donc construit la courbe de la figure 42, pour une dépense Q donnée, il suffira pour une dépense Q' de faire varier les ordon-
nées dans le rapport y^\
On voit que la profondeur du régime constant croit, mais assez lentement, à mesure que le canal doit débiter plus d'eau ; on voit au contraire que Teau débitée croit rapidement avec la profondeur.
§ 2. ^ Des canaux à régime permanent.
(li«) Les canaux à régime constant dont il vient d'être parlé, caractérisés par la régularité de la pente et de la section, sont des canaux établis de main d'homme, en vue de certaines destinations. Ils servent à la navigation ou à Tirrigation; ils amènent sur un point donné l'eau qui doit être distribuée pour les besoins d'une ville, ou l'eau motrice qui doit agir sur un récepteur hydraulique, etc., etc.
Le régime permanent est celui d'un cours d'eau naturel, qui a un débit donné, mais dont la pente et tous les éléments de la section transversale du lit, constants pour un point donné, varient d'un point à un autre.
Considérons {fig. 43) deux sections distantes d'une quantité finie.
Nous supposerons la pente du lit différente de la pente de la surface, mais Tune et Tautre assez faibles pour que^la section perpendiculaire à l'une ou à l'autre puisse être considérée comme verticale.
Nous supposerons encore que dans chaque section les divers filets ont la même vitesse, d'où il résulte que les pressions sont les mêmes qu'à l'état de repos.
Je désigne par % la pente de surface entre les deux sections o et «/, par H et H' les distances des centres de gravité, G et G' de ces sections au niveau du liquide, P la pression atmosphérique, p la densité du liquide, et Vet V^ les vitesses dans les sections &> et u>'.
La pression du liquide d'amont sur la section co est d'après ce qu'on sait en hydrostatique, P o> -H p («>H, et elle agit dans le sens du mouvement.
La pression sur la section d'aval est P(l)'+po>'H^ Elle agit en sens contraire de la précédente mais elle ne lui est plus égale comme dans le cas du n^ 107, et il faut tenir compte de l'une et de l'autre.
Les travaux correspondants sont :
pour la première. . . (P» -f- e«»H) ^dt. . . travail moteur, pour la deuxième. . . (Pu' + pe>>'H') y'dt. . travail résistant.
Le travail de la gravité est, en raisonnant comme on l'a déjà fait plusieurs fois (n^* 56 et 85, fig. 22 et 31), po) V dfx (»H-fl' — H).
Réunissant ces trois termes et réduisant avec, la remarque que wV=w' V, il vient simplement pwVdt X%.
C'est-à-dire que le travail de toutes ces forces ne dépend que de la pente de surface z.
Cela doit être évidemment, puisque si Ton avait »=o on serait dans un état qui conviendrait au repos.
(113) Le travail p w V Jt x », doit produire la demi-variation de
force vive -J ^^ ■ ■ (V* — V"), et en outre surmonter le travail des j
frottements dont l'expression générale est I BV* x^^^ l'intégrale étant prise entre les deux sections considérées.
102 COURS DE MACHEES.
Le frottement sur une tranche ds a pour expression générale BV x^^ ^^ so^ traTail élémentaire est
BV» xdê Vd«= BV* ^ d« X « Vd«,
dont l'intégrale prise entre les deux sections est
«V(ft rBY«^d«.
On a donc
pa> Vd< X «= ?î^* (V'* - V«) + «Vdt J BV» xd«.
En divisant par pu» V dt il vient
Différentiant et écrivant B au lieu de -, on aura
d,= !^4.BÏV«ds. 9 «
On remarquera que cette équation différentielle est exactement celle du n" 98 ; la question est en effet la même.
On aurait pu poser directement cette équation, comme une con* séquence du théorème de Bernouilli complété (n** 90), puisque la pression étant supposée partout la même à la surface du liquide, la quantité z est rabaissement piézométrique outre les deux sections considérées.
Mais il était préférable, pour la clarté, de montrer directement comment les trois termes considérés ci-dessus se réduisaient au seul terme contenant la perte de surface.
(114) L'équation
est une relation entre les variables « et «
On peut l'écrire
et la question est ramenée à une intégration, après qu'on aurait exprimé Xi <»> et V en fonction de z et de la quantité donnée Q.
Cette intégration donnerait 5=9 (2) et ferait ainsi connaître la profondeur d'eau en une section quelconque.
(115) Considérons le cas où la pente du fond est uniforme.
On a alors, en désignant par h et h' les profondeurs du lit en deux sections AB et A'B' distantes de la longueur s mesurée le long du lit (/îg. 44),
A'D = BC, z -h hf rsh-^s sin t, z-^-k' -^h^sg sint,
ou, en différentiant dz 4- dh=d$ sin i. L'équation du n*" 115, devient :
ds sint— dh =^ ^^ BVM, g ta
dk^"!^
ds= L
sint—ï BY*
D'ailleurs V w = const, donc V d w -f- w dV = 0, et par suite dV — — — X^— ï^
sini— - BV»
Cette équation ne diffère de celle du numéro précédent qu'en ce que s est exprimé en fonction de fc, au lieu de l'être en fonction de».
On exprimera les quantités V, w, -r- et x en fonction de fc, lorsque
Ton se sera donné Q et que l'on connaîtra la forme générale du lit.
104 COURS DE NAGHINKS.
On aura ainsi ds=<f(h) dh, équation différentielle qui donnera directement, si on sait l'intégrer, et approximativement, dans le cas contraire, les valeurs correspondantes de s et de h.
(116) Reprenons le canal ayant le lit avec plafond et talus déjà considéré dans le n® 110.
On a
et, par suite, l'équation devient
^Q« l + ^nh
d$ = dh
g h^(l-h nh)
is
tint— B ■ ^, „' — nr-T-iQ" A» + * (f + nh)» -^ * >
8in
Si Ton supposait le canal à section rectangulaire, on devrait faire dans cette formule n= o, et l'on aurait
Enfin si l'on supposait le lit très-large relativement à sa profon deur, on négligerait 2h devant l et la formule deviendrait
. . BQ»
(117) Les équations des numéros précédents peuvent servir à résoudre diverses questions qui intéressent la pratique, et sur les*quelles il convient d'entrer dans quelques détails.
Première question. — Connaissant le profil en long d*un cours d^eau et une série de profils en travers^ trouver son débit.
Cet énoncé revient à dire que Ton connaît en divers points tù et
par conséquent V =: ~, le périmètre X) et la pente de surface % qui existe entre deux profils consécutifs.
HYDRAnUQUB. 105
L'équation du n* 113 :
peut s'écrire en intégrant
-fB JM-^
Désignant par $ l'interyalle qui sépare deux sections consécutives dont les aires sont respectivement iù et «o'^ la valeur approchée de l'intégrale
sera
Pour l'intervalle suivant sf de la seconde section à la troisième, on aura de même
et ainsi de suite.
En ajoutant, il viendra, pour la valeur totale et l'intégrale prise entre les deux sections extrêmes,
BQ,/ X * , x^ s^tf jr(±j!l^ , x.> H\
L'équation est donc de la forme
MO» ± NQ« — « = 0,
donnant une seule valeur positive qui sera la solution de la question.
On la résoudra par approximations successives, suivant le système dont on a indiqué déjà plusieurs applications.
Si l'on suppose m = 2, l'équation devient une équation du
deuxième degré à deux termes qui se résout immédiatement.
(118) Deuxième question. — Connaissant le profil en long d'un cour^ d'eaUj une série de profils en travers et le tiiveau de Veau dans un de ces profils, déterminer la ligne d'eau du profil en long et des autres profils en travers.
Ce problème se résout par une série de tâtonnements.
Soit AB le profil ou la ligne d'eau est donnée, A'B' le profil suivant dont on connaît la position et la forme (fig. 45).
La question est de déterminer le point B'. Le supposant connu et désignant par s la distance de ces profils et par z la différence de niveau des points B et B\ on aura, d'après le numéro précédent, l'équation :
Si cette équation est satisfaite le point B' est bien choisi. Selon que le premier membre est plus grand ou plus petit que le second, il faut abaisser ou relever le point B' et refaire le calcul jusqu'à ce qu'on ait une valeur suffisamment approchée.
Le point B' obtenu servira à calculer un troisième point B" et ainsi de suite.
Cela revient, en définitive, à tracer par points, une courbe dont l'équation n'est pas connue, mais qui passe par un point donné et dont on connaît la dérivée ou le coefficient angulaire pour une abscisse quelconque.
(119) Examinons spécialement cette deuxième question dans le cas où le lit est rectangulaire et où la pente est constante, comme c'est le cas pour les canaux faits de main d'homme.
L'équation à considérer est ceUe du n° 116 ci-dessus :
ds = dh ^
Le numérateur de cette expression est généralement positif, car
g ^ hH* '" 2g ^ M* ^ h"' ^g - h ~ h ^ ^* ^
en désignant par h' la hauteur génératrice de la vitesse V.
Ainsi le numérateur est positif tant que la profondeur h du courant est supérieure au double de la hauteur génératrice de la vitesse V. Pour V = l mètre on a /i'= 0.051 ; pour des vitesses déjà notables, de 1 mètre, il faudrait que la hauteur h fût inférieure à 0",10. De sorte que le dénominateur ne deviendra négatif que pour des cours d^eau très-rapides et peu profonds.
Ainsi, habituellement le signe de -rr dépendra du signe du dénominateur.
Si le dénominateur est nul, cela veut dire que Ton est dans le cas
du régime constant, jT =^ ^ ••• 3; = 0, et la pente de surface est
parallèle à la pente du fond.
Si le dénominateur est positif, cela veut dire que la pente est plus forte que celle qui correspondrait au régime constant dans la section considérée avec la dépense donnée, ou bien que la vitesse est trop faible, ou la section trop grande. C'est ce qui se présentera, si par un moyen quelconque, par un barrage en aval par exemple, le point d'eau du régime constant a été relevé dans une section donnée,
ds La quantité <TT est alors positive, c'est-à-dire que la hauteur
augmente de plus en plus en aval de cette section et diminue en amont s.
la surface de l'eau en amont se rapproche de plus en plus de la
surface du régime constant pour laquelle on aurait -r= 0.
En aval, cette surface, à mesure que la section augmente, tend de
plus en plus à être définie par la relation jr= -r— .. . .sinî=-7', re- ■^ '^ ^ an smi as
lation indiquant que la surface a son élément horizontal.
La forme serait donc celle qui correspond i la fi^re 46, la ligne AB étant la ligne d'eau du régime constant.
(t»0) Si le dénominateur est négatif, ce qui suppose qu'en un
point donné le niveau de l'eau est au-dessous du niveau du régime
ds constant, et si l'on a toujours h' < 2/i, -rr est négatif; h diminue
lorsque $ augmente, le dénominateur reste négatif et va en croissant en valeur absolue.
Le numérateur diminue et finit par devenir égal à zéro. A ce
momçnt -77 = 0.
an
ds La quantité ^ passe donc d'une valeur négative à zéro, ou
T-d'une valeur négative à l'infini. (Voy. figure 47.)
Cette circonstance d'un élément vertical, donnée parle calcul et incompatible avec l'hypothèse du parallélisme des filets, indique dans le phénomène de l'écoulement une sorte de discontinuité, et l'impossibilité de continuer à appliquer les équations.
(tîM) Lorsque le numérateur et le dénominateur sont positifs, ils diminuent l'un et l'autre à mesure. qu'on remonte le courant, puisque la profondeur diminue ; la figure 46 ci-dessus s'applique au cas où le dénominateur se rapproche indéfiniment de zéro, le numérateur restant toujours positif. Mais si le numérateur venait à s'an-
ds nuler avant le dénominateur, on aurait pour ce point Tr=0,
dh' dh ds
Ce qui indique encore un élément vertical et une discontinuité dans le phénomène de l'écoulement (fig. 48).
(Vt%) Enfin si l'on supposait à la fois 2/i'> h, c'est-à-dire un courant rapide, et sini<i)- V"*, c'est-à-dire le niveau de l'eau
abaissé au-dessous du niveau du régime constant, on trouverait
La profondeur croîtrait de Tamont à l'aval, et la surface irait en se rapprochant de celle du régime constant, elle se raccorderait avec elle (fig. 49), ou se terminerait par un ressaut {fig. 50), suivant que ledénominateurs'annulant avant ou après le numérateur la quantité
TT convei^eraît vers l'infini ou vers zéro.
(198) On voit, d'après la discussion qui précède, que lorsque la surface d'un cours d'eau a été surélevée ou abaissée en un point donné par rapport au niveau du régime constant, par une cause quelconque ayant son origine en amont ou en aval de la section considérée, la surface nouvelle du cours d'eau présente des circonstances variées selon les signes qu'affectent le numérateur et le déno-
ds minateur de la fonction ^r i et selon que le changement de signe,
quand il s'en produit un, s'effectue en passant par zéro ou en passant par Tinfini.
11 est remarquable de voir des équations fondées sur des hypothèses qui ne sont pas entièrement satisfaisantes, dont une même est manifestement inexate (celle de l'égalité de vitesse de tous les filets d'une même tranche), de voir, disons-nous, ces équations indiquer par un caractère analytique spécial la discontinuité qui se produit évidemment en fait dans certains cas. Ainsi par exemple, en se reportant aux figures 46 et 48 ci-dessus, qui supposent que l'on a barré un cours d'eau de manière à relever le point d'eau au-dessus delà crête du barrage de la quantité nécessaire pour qu'elle s'écoule comme au-dessus d'un seuil de déversoir ; il est bien clair, on sent^ s'il est permis de s'exprimer ainsi, que la surface relativement stagnante en amont de ce barrage pourra se raccorder comme dans la figure 46 avec la surface du régime constant, s'il s'agit d'un cours d'eau profond et peu rapide, et que ce raccordement n'aura pas lieu si le cours d'eau est peu profond, rapide, et en quelque sorte torrentiel.
( f IM) n est bon de remarquer en outre que la théorie peut, nonseulement rendre compte, ainsi qu'on vient de le voir, de Texistence d'un ressaut superficiel dans certains cas donnés, maïs encore donner le moyen d'en calculer approximativement l'amplitude.
Considérons (fig. 51) deux sections voisines. Tune en amont, l'autre en aval du ressaut, dans chacune desquelles nous supposons que le parallélisme des filets liquides est rétabli.
L'équation du mouvement varié, établie n<» 113 dans l'hypothèse du parallélisme des filets fluides, ne subsiste plus dans la région ABB'A', puisque dans cette région cette hypothèsen est plus admissible et qu'il y a une discontinuité complète entre le régime en AB et le régime en A'B'.
Mais on peut encore appliquer, à défaut du principe des forces vives, le principe des quantités de mouvement qui ne tient compte que des forces extérieures y et nullement des forces intérieures, ou actions mutuelles des points matériels du système mobile que l'on considère.
(tlB5) Projetant toutes les forces extérieures agissant sur la masse ABA'B' sur un axe quelconque, le théorème consiste en ceci que l'impulsion de toutes ces forces projetées est égale à la quantité de mouvement acquise dans le sens du même axe.
Si nous prenons pour axe la direction même du courant supposé sensiblement horizontal, et si nous négligeons les frottements du lit sur la courte distance AA'; si enfin nous remarquons qu'il n'y a à tenir compte ni des réactions normales du lit, ni de la pression atmosphérique qui enveloppe toute la masse liquide et ne donne pas de composante horizontale, nous poserons simplement, en supposant qu'il s'agisse d'un canal rectangulaire, que la différence entre l'impulsion élémentaire de la pression d'amont sur la face AB et de la pression d'aval sur la face A'B', est numériquement égal à la quantité de mouvement acquise dans le même temps par la masse ABB'A'.
On aura ainsi (fig. 51)
po hdt pwlW* ç(ù'\dt ^, ^\dt « .
H¥DIUUUQDE. iti
d'où remarquant que w V = <i>' V
V» — — Y* «fc H «»^
Gomme d'ailleurs
ÎL=a et «¥ = «'¥' tfoù ¥'•= V«x^= ¥«£, l'équation devient
2H 5 ~ 9 \U* H/ 5j-=:- -.gy-, (/t« - U«) U=:- M* - H),
équation qui est satisfaite et doit l'être évidemment pour h = H, et qui, après la suppression du facteur h — H, devient
Cette équation a toujours ses deux racines réelles et de signes contraires. La solution positive résout la question. On a donc pour la hauteur H
Pour que cette solution corresponde à un véritable ressaut, il faut que Ton ait H > fc
d'où
ou à la limite
Cette condition est précisément celle qui a été trouvée au n"" 119 ci-dessus, pour que le numérateur de la fonction -^ soit nul.
Les deux théories se servent donc en quelque sorte de contrôle réciproque.
On remarquera que le raisonnement ci-dessus est indépendant du sens des vitesses V et V; de sorte que la hauteur trouvée pour le ressaut s applique aussi bien à un ressaut qui aurait lieu en bas dans le sens du courant {fig. 52) qu'à un ressaut en haut.
{VtB) L'analyse ci-dessus détermine une relation entre la hauteur avant et après un ressaut, dans Thypothëse que ce ressaut se produit.
Mais elle ne détermine pas chacune de ces hauteurs en particulier, le ressaut pouvant se faire à une certaine distance du point spécial
pour lequel la fonction ^ s*annulle, et la théorie ne déterminant
aucunement cette distance.
Il faut donc, pour être en état de déterminer complètement la ligne d'eau du profil en long, se donner quelque autre condition.
Ainsi par exemple, dans le cas de la figure 48, ou dans celui de la figure 50, on supposerait qu'en amont du ressaut pour la première et en aval pour la seconde, on doit trouver la vitesse du régime constant.
Dans le cas de la figure 47, on supposerait que le ressaut se produit un peu en amont du point où le numérateur s'annulle, et si ce ressaut ne relevait pas la surface jusqu'au niveau du régime constant, on serait conduit à admettre que la surface du liquide secom* poserait d'une série de portions analogues à la partie représentée figure 53, séparées par des ressauts dont la théorie ne déterminerait ni la hauteur ni l'espacement.
(ISV) Mais ces diverses suppositions sont elles-mêmes un peu arbitraires ; elles peuvent être influencées par des circonstances extérieures qui peuvent imposer pour les sections extrêmes du canal des conditions auxquelles il soit impossible de satisfaire ; qu'il y ait
par exemple, dans ces sections extrêmes, des niveaux incompatibles avec ceux qui existent dans la partie du canal à laquelle on applique les calculs.
n est vraisemblable que dans des cas de ce genre les différences de niveau se rachètent soit par un ressaut en haut ou en bas, soit par une parlie plus ou moins fortement inclinée dans laquelle il se produit des remous et où la surface de Teau est ondulée et agitée ; circonstances qui sont exclusives de l'hypothèse du parallélisme des filets fluides et qui échappent par conséquent à la théorie.
Le problème de la détermination de la surface d'un courant d'eau à régime permanent ne peut donc pas, dans Tétat actuel de la science, être considéré comme entièrement résolu dans certains cas exceptionnels.
