POUR

UN GAZ DE DENSITÂ TABULAIRE ^

Cm . m .

. . i.4li8 . .

(441) Le résumé qui précède renferme tous les résultats sur lesquels, sans aucune hypothèse nouvelle, peut s'établir toute la théorie des gaz.

Il est remarquable de voir que F hypothèse faite sur la constitution des gaz, au commencement de ce chapitre, fasse retrouver théoriquement les diverses lois qui ne sont ordinairement présentées que comme des lois empiriques.

La concordance de la théorie et de Texpérience, soutenue d'une

manière si complète et si variée, donne une grande probabilité à la théorie.

Celle-ci a été produite dans le siècle dernier par Bemouilli, sans attirer alors l'attention du monde savant.

Les idées nouvelles qui assimilent la chaleur à de la force vive, lui donnent aujourd'hui une grande consistance.

En effet échauffer un corps solide ou liquide n'est autre chose qu'accroître son énergie intérieure; Userait difficile de comprendre comment ce corps en passant à l'état de gaz, par l'addition d'une nouvelle quantité de chaleur, ne prendrait pas encore un accroissement d'énergie : ce qui implique, si l'action des forces moléculaires est négligeable et si les molécules peuvent prendre des mouvements indépendants, un mouvement rectiligne et uniforme pour chacune de ces molécules, ainsi qu'on Ta supposé au n® 426.

(442) Considérons maintenant les gaz comme moteurs appliqués à faire marcher des machines.

Nous supposerons, comme nous l'avons fait au n** 423, pour un corps quelconque, deux sources de chaleur entretenues à des températures différentes, avec chacune desquelles le gaz employé est mis alternativement en contact.

Chacune d'elles peut donner ou recevoir des quantités indéfinies de chaleur sans que sa température varie.

Nous la supposerons d'abord douée d'une conductibilité indéfinie ainsi que la masse de gaz employée ; de sorte que cette masse doit ûtre supposée à la température, soit du calorifère, soit du réfrigérant, pendant tout le temps qu'elle est en relation avec Tune ou avec l'autre.

Nous supposons d'abord expressément que l'on fonctionne dans les conditions suivantes :

En contact avec le calorifère, et par conséquent à la température < de ce calorifère, on a un réservoir indéfini de gaz a une certaine liressionj).

On prend un volume V de ce gaz, et on l'introduit dans un cylindre où se meut un piston. Il en résulte un travail d'admission égal

Ensuite supprimant la communication avec le réservoir de gaz, mais non avec le calorifère, on fait dilater le volume V sous température constante, c'est-à-dire en suivant la loi de MariottepV=const., jusqu'à ce qu'il ait acquis un certain volume V. Pendant ce temps le calorifère a cédé de la chaleur au gaz, puisqu'il l'a maintenu à la même température, alors qu'il tendait à chaque instant à se refroidir par suite du travail extérieur produit sur le piston.

Actuellement, on coupe la communication avec le calorifère, et on continue de dilater le gaz dans une enveloppe supposée imperméable à la chaleur. Le gaz continue d'agir sur le piston, et la dilatation se fait en suivant la loi de Laplace pv^ = const.

On continue jusqu'à ce que le gaz ait pris la température t^ du réfrigérant.

Alors le pislon est arrivé à la fin de sa course, et il a reçu le travail correspondant à l'admission, puis à la détente sous température constante, enfin à la détente sous chaleur constante. Il a engendré dans sa course un volume total y.

n faut le faire revenir à son point de départ, pour préparer le coup de piston suivant.

Pour cela, on lui donne à comprimer le gaz sous la température t^ du réfrigérant, jusqu'à ce qu'il soit réduit à un certain volume V'; pendant ce temps le gaz cède, à chaque instant, au réfrigérant la chaleur que la compression tend à dégager dans la masse.

Parvenu au volume V", le gaz est de nouveau placé dans une enveloppe imperméable à la chaleur, et comprimé sous chaleur constante.

11 s'échauffe, et on suppose que l'on ait choisi le volume T" de manière que le gaz revenu à la température t, soit en même temps à la pression P^ = p et au volume V^ = Y.

Alors, par une dernière opération, on le refoule dans le réservoir d où il est sorti.

La période qui le fait passer du volume V" au volume V", puis au volume V^ correspond au travail résistant de la contre-pression. La période qui ramène le volume V^ dans le réservoir correspond au travail résistant de Valnnentation,

Le cycle est alors complet ; le gaz est revenu dans le réservoir à

son état primitif; le mouvement de la machine peut se continuer indéfiniment.

Le travail moteur utilisable est Vexcès du travail moteur produit pendant la course directe du piston sur le travail résistant développé pendant son excursion rétrograde.

La chaleur disparue correspondante est la différence entre la chaleur prise au calorifère et la chaleur cédée au réfrigérant.

(443) Les opérations ci-dessus décrites peuvent sembler supposer une machine à simple effet. Mais il n'y aurait rien à changer au raisonnement, s'il s'agissait d'une machine à double effet.

Seulement les opérations qui dans la machine à simple effet ont lieu successivement^ sur la même face du piston^ pour une même masse de gaz, ont lieu dans la machine à double effet, simultanémetit, sur les deux faces du piston^ pour deux masses sorties successivement du réservoir.

(444) Le cycle dont on vient d'indiquer les phases successives peut être soumis au calcul de la manière suivante :

Nous avons désigné par V V V" V" et V^ les volumes successifs de la masse de gaz.

Désignons par p p' p"p'"et p^ les pressions correspondantes, nous réservant de poser V^ = V et p^ = p, pour exprimer que le cycle comporte la répétition indéfinie des mêmes phases pendant toute la marche de la machine.

Nous aurons en appliquant les équations rappelées au n'* 440 :

1"* PHASE. — Admission du volume V dans le cylindre.

Travail moteur produit sur la machine

Tm =^ PV.

2* PHASE. — Dilatation à température constante t^ Travail moteur produit sur la machine

T; = PY/^'=R(a-|-f,)0/ï-', Quantité de chaleur empruntée à la source supérieure

^==:ÂR(a-|-f.)n/J.' = (c-q)(a + gO/y.

S"" PHASE. — Dilatation à chaleur constante, de la température t^k la température t^.

Travail moteur produit sur la machine

4* PHASE. — Compression à température t^. Travail résistant produit sur la machine

Quantité de chaleur cédée à la source inférieure

5* PHASE. — Compression à chaleur constante delà température r, à la température (,.

Travail résistant produit sur la machine

e*" PHASE. — Refoulement dans le réservoir. Travail résistant produit sur la machine

T;=P4V4=:PV.

(445) On voit d'abord que T\ = TV et que T« = T",, de sorte que le travail total utilisable se réduit à T'« — T,..

Mais à cause des relations données par les lois de Mariotte et de Laplace

PV = P'V PV'* = P'V'*

on trouve, en multipliant terme à terme ces 4 égalités» et suppninant les facteurs communs

PV (VV')* " * = PA (V'Y*)* " *

el à cause des relations P=P^ et V = V^, on en déduit

y/ yv

V'V'^vv ou Y^'V

ou enfin l -^f = ' y •

Il vient donc

T T — n it #.\ n^

T„-Tr=R(«,~tt)Q/J'

q^q^ = (c^c,)(t, -^) Q/ J-! = A (T«-Tr).

Ainsi la quantité de chaleur employée définitivement est bien en rapport avec le travail utile obtenu, ainsi que cela doit être.

La quanlilé de chaleur empruntée au calorifère est proportionnelle à a -f- f„ celle qui a été cédée au réfrigérant est proportion- , nelle à a -f- î^ et la quantité qui s'est transformée en travail est proportionnelle ai, — t^.

Si Ton considère que la chaleur empruntée est l'occasion d'une dépense, et qu'il convient de comparer le travail obtenu à celte dépetise faite^ on voit que sur une dépense proportionnelle à a -h i, on 'l'a recueilli qu'une quantité de travail correspondante à Técarl îj — t^ des températures.

Le rendement que Ton trouve en comparant la chaleur utiUséekh chaleur empruntée à la source supérieure est représenté par la frac-

tion -^ :*•

On en conclut ce résultat, important à noter, que tandis qu'en l'employant intégralement en travail comme dans les expériences de Joule (n**' 448 et suivants), ou comme lorsqu'on suppose le vide complet sous le piston ella possibilité de pousser indéfiniment la détente (n"" 560), une calorie produit la quantité de 425 kilogrammètres,la machine à gaz ci-dessus indiquée ne produira, par calorie empruntét

à la source supérieure , que la fraction -i de cette même

quantité.

(446) On exprime ce résultat en disant qu'employant, dans les

THÉORIE MÉCANIQUE DE LA CHALEUR. 3dS

conditions précisées au n"" 442, l'arlifice de deux sources de chaleur à deux lempératures données le rendement de la calorie est égal à r écart des températures divisé par la température absolue la plus élevée.

C'est comme si disposant d'une hauteur de chute totale proportionnelle à a 4- ^, on n'utilisait qu'une partie de cette chute proportionnelle à r, — t^.

Ce rapprochement entre le rendement d'une machine à feu et l'utilisation d'une portion donnée d'une chute d'eau, a été présenté pour la première fois par S. Carnot, dont les raisonnements sont d'ailleurs établis dans l'ordre d'idées de la théorie de l'émission, et assimilent le phénomène à un transfert, d'une source à l'autre, de la matière de la chaleur.

Le rapprochement ne subsiste pas moins dans les idées nouvelles.

L'air à la température t^ est un réservoir de force vive qui en contient une quantité proportionnelle à a + î, ; le même air, ramené à la température t^, en contient encore une quantité proportionnelle àa-hf^ (voirnM27).

On n'en a donc utilisé, en passant de la première température à la seconde, qu'une quanti tité proportionnelle à (a-h(,)— (04-^4)=^, — 1^.

L'effet obtenu, comparé à l'effet théorique qu'on aurait pu obtenir si l'on avait utilisé toute la force vive contenue dans le réservoir, en réalisant à la source inférieure une température égale à — a, cet effet, dis-je, est caractérisé par le rendement, ou coefficient économique, * — p

(447) Les résultats du n* 447 peuvent être représentés graphiquement. En remarquant que le travail élémentaire a toujours pour différentielle PdV, on peut construire une couche dont les abscisses soient V, et les ordonnées P. L'aire de cette course représentera le

.ii/r

Les courbes de dilatation à température constante, ou pour lesquelles d^=0, seront des hyperboles équilatères données par l'équation PV = const., la constante augmentant avec la température, en vertu de la relation const.=R(a-i-OQ' On désigne ces couches

travail / PdV.

SOUS le nom de lignes isothermes. Les courbes de dilatation à chaleur constante, ou pour lesquelles dq = 0, satisfont à Téquation PV*=const.; on les désigne sous le nom de lignes de nulle transmusio7i ou ligues adiahatiques.

Les deux sysièmes de courbes se coupent deux à deux, en un point unique dont il est facile d'avoir les coordonnées. Si Ton pose

N PV = M et PV*=N, le point d'intersection est donné par V*"'= g,

ou V= ( - j ; d'où Ton tire

Entre l'origine des coordonnées et le point d'intersection, la courbe des chaleurs constantes est au-dessus de la ligne isotherme; au delà du point d'intersection, elle se tient entre la ligne isotherme et l'axe des abscisses, auquel elle est par conséquent asymptotique comme cette dernière ligne.

Si l'on dislingue spécialement les deux lignes isothermes des températures t^ et i,, deux courbes adiabatiques quelconques détermineront un quadrilatère curviligne, tel que ABCD ou A'BCD' ifig. i 48), et l'on aura évidemment

Tbi = AaOaf travail de l'admission à pleine pression.

Tm = AflfrB travail de la détente à température constante.

T,; = BbcG travail de la détente à chaleur constante.

T, = McC travail de la contre-pression à température constante.

Tr'^AadD id. ^ à chaleur id.

T? = AaOa' travail de ralimenlalion.

et par suite le travail obtenu sera Taire du quadrilatère ABCD.

(448) Les conclusions auxquelles nous venons d'arriver, pour la machine à air fonctionnant dans les conditions indiquées, sont tellement simples, leur énoncé est tellement net, qu'elles semblcut bien, a posteriori, légitimer la théorie qui y a conduit; mais il faut, pour que ces conclusions subsistent, qu'il y ait une relation immédiate, comme celle de cause à effet, entre les deux phénomènes

TliËORIE MECANIQUE DE LA CHALEUR. 505

thermique et mécanique concomitants ; que l'un ne puisse pas être conçu comme se produisant sans avoir l'autre pour conséquence unique et immédiate. Le caractère auquel on reconnaîtra que cette dépendance existe, sera ce qu'on peut désigner sous le nom de réversibilité du cycle , c'est-à-dire, par exemple, que si le piston a produit un travail moteur en cheminant dans le sens exprimé par les lettres ABCDA, il faudra que marchant dans le sens ADCBA, il puisse d'abord emprunter de la chaleur à la source inférieure, en dilatant l'air à la température t^, qu'ensuite l'ayant comprimé, à chaleur constante, jusqu'à la température t,, il puisse transmettre de la chaleur à la source supérieure, en le comprimant à température constante.

L'air aura pris ainsi une certaine quantité de chaleur à la source inférieure, il en aura cédé davantage à la source supérieure, et la différence correspondra au travail résistant produit pendant cette évolution de la machine.

L'évolution directe et l'évolution inverse se seront faites d'une manière tout à fait symétrique ; ce qui était de la chaleur cédée devient de /a chaleur empruntée; ce qui était du travail moteur j devient du travail résistant^ et inversement.

(44^) Cette réversibilité, cette réciprocité entre un phénomène direct 1 1 e phénomène inverse n'existent pas toujours.

Ainsi, par exemple, du frottement peut produire de la chaleur, mais de la chaleur ne développe pas par elle-même du frottement.

Ainsi encore, une source de chaleur à une température élevée peut échauffer un corps jusqu'à un certain degré, en le dilatant, et produire du travail ; mais la compression en sens contraire ne sera pas le phénomène réciproque, car elle ne fera pas repasser de la chaleur du corps échauffé dans la source, qui est à une température plus élevée. De môme encore, si pendant que le corps se dilate, il n'exerce pas sur le piston toute la poussée que comporte celte dilatation, le travail produit n'est pas égal à PdV, et la compression dans le mouvement rétrograde, ne se produit pas dans les mêmes conditions que la dilatation.

On doit donc s'assurer qu'il n'y a point, au moment où l'une des

sources cède ou emprunte de la chaleur, d'autre phénomène qu'un travail extérieur correspondant produit sur le piston de la machine, que cette chaleur n'est pas employée en partie à produire d'autres phénomènes parasites, tels que réchauffement du corps, qui ne pourraient être reproduits en sens inverse, si l'on renversait le mouvement du piston.

C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si à un moment donné, il existait une différence finie de température entre le gaz et la source de chaleur avec laquelle il est actuellement en communication. S'il était supposé, par exemple, plus chaud que le calorifère, il lui céderait de la chaleur aussi bien dans le mouvement direct que dans le mouvement inverse.

S'il était moins chaud, il en recevrait au contraire dans les deux sens.

On arriverait à la môme conclusion, si l'on supposait un écart de température entre le gaz et le réfrigérant.

Dans l'un comme dans l'autre cas, la réversibilité entre le cycle direct ci le cycle inverse n'existerait pas.

Il ne serait plus permis de dire que la chaleur disparue aurait été intégralement employée en travail, puisqu'il y aurait eu, en même temps, des phénomènes d'échauffement ou de refroidissement dont on ne verrait pas la représentation en travail.

(450) Comme dans le cas du cycle de Carnot, le rendement de la chaleur dépensée q^ - — -^, correspond, pour la chaleur dispanie

q— q\ h son utilisation complète ( puisque J—^f = ^ (n° i45) ),

on est conduit à prévoir que tout cycle qui ne satisfait pas à la condition de réversibilité indiquée, c'est-à-dire pour lequel il existe un écart fini de température, dans un sens ou un autre, entre le gaz et la source de chaleur avec laquelle il est mis en communication, tout cycle de ce genre, disons-nous, qui ne peut en aucun cas^ produire un travail plus grand que celui qui correspond à la chaleur disparue^ n'aura pas non plus un rendement plus grandi pour la chaleur dépensée par le calorifère.

THÉORIE MÉCANIQUE DE LA GdALEUR. 597

(451) On peut le reconnaitre directement par les considérations suivantes :

On remarquera d*abord que dans les six phases considérées au n*" 444, on peut, sans nuire aucunement à la généralité des raisonnements, supprimer la première et la sixième, qui correspondent l'une à la sortie du réservoir, l'autre au refoulement dans ce même réservoir.

Ce réservoir a été introduit pour la facilité et la clarté de l'exposé; mais il est évident qu'on peut le supprimer, et cela se voit bien sur la figure considérée au n''447, puisque la même aireOaAa' doit être prise successivement comme positive et comme négative.

Il est inutile, évidemment, au point de vue théorique, de faire intervenir une combinaison qui isole un instant le gaz du cycle que lui fait décrire la machine, pour le mettre dans un réservoir où il stationne plus ou moins longtemps, et d'où il sort ensuite comme il y est entré.

On aura le même résultat, si Ton considère le gaz introduit déjà dans le cylindre, et si on le suit dans les mouvements de dilatation et de compression jusqu'au moment où on le trouve dans la position initiale.

On remarquera même que cette position initiale pourrait être arbitrairement en un point quelconque du cycle, et qu'on pourrait en ce point quelconque, si on le voulait, tout aussi bien que nous l'avons fait d'abord au point A, intercaler un réservoir à la pression et à la température actuelles des gaz, pouf l'y faire séjourner pendant un temps arbitraire avant d'achever le cycle commencé.

(452) Appliquant cette considération au cycle considéré au n* 447, on voit qu'on pourra se borner au quadrilatère curviligne ABCD, compris entre les deux lignes isothermes AB, DC correspondantes aux températures i, et î^, et deux lignes adiabatiques AD, BC (fig. 149).

Cela posé, je dis que le cycle de Camot, obtenu dans les conditions de réversibilité qui ont été précisées, c'est-à-dire, sans différence finie de température^ entre le gaz d^une part et le calorifère ou le réfrigérant d* autre part ^ avec lesquels il communique successivement^ et

dont le coefficient économique est = - *, est plus avantageux qu'un autre cycle quelconque fonctionnant entre deux sources de chaleur aux mêmes températures t^ et t^.

Cette proposition comprend deux cas distincts :

En premier lieu, je dis qu il serait non-seulement inutile, mais nuisible au rendement, de pousser la dilatation suivant BC, ou la compression suivant DA, de manière à amener la température, soit au-dessous de t^, soit au-dessus de f,, c'est-à-dire la dilatation jusqu'au point C, ou la compression jusqu'au point A' (fig. 140).

Considérons, par exemple, le point C qui se trouve l'origine du mouvement rétrograde du piston. Puisque le corps est actuellement plus froid que le réfrigérant, il en reçoit de la chaleur au lieu de lui en donner, la courbe CT/', est donc au-dessus de la courbe adiabatique BCC/.

En C", le corps a repris la température i^, et il suit alors la courbe isotherme C'CD.

Le résultat du circuit fermé CC'C'C, est évidemment, d'après le sens du chemin parcouru, une aire négative, qui correspond à une chaleur reçue et qui a disparu. Désignons par q et q' les chaleurs reçues suivant AB, et perdues suivant CD, pour lesquelles l'utilisation est donnée par - — - z= 1 — X , puisque ABCD est supposé

un cycle de Carnot.

On reconnaît que dans le cycle que nous considérons le corps aura, en définitive, transmis au calorifère une quantité totale de chaleur moindre que dans le cycle simple, puisqu'il en a reçu de C en C plus qu'il ne lui en a transmis de C" en C. Le résultat total est donc de la forme q' -h ô', S' étant essentiellement positif.

En considérant le point A', on verrait, par un raisonnement analogue, que l'aire AA'A"A doit aussi, dans le sens où elle est décrite, être considérée comme négative ; d'où il suit que la quantité de chaleur transmise au calorifère, de A' en A", est plus grande que celle reçue de lui, de A" en A; que, par suite, la quantité totale reçue du calorifère, est de la forme q — ô, S étant encore essentiellement po*

sitif. L'utilisation devient donc 1 — 2 1 <; i 1 ; ce que Ton

voulait démontrer.

(458) En second lieu, supposons que l'écart de température se fasse en sens contraire, c'est-à-dire que la température ne soit pas toujours ni aussi haute que celle du calorifère, ni aussi basse que celle du réfrigérant, pendant toute la durée ou une partie de la durée de la communication avec Tune ou l'autre de ces sources de chaleur.

Au lieu du quadrilatère compris entre deux lignes isothermes et deux lignes adiabatiques, on aura un profil curviligne quelconque, compris entre les deux isothermes, pour tous les points caractérisés par une température intermédiaire.

Prenons deux lignes adiabatiques tangentes à cette courbe, dont Taire mesure toujours le travail disponible de la machine.

n pourra se présenter deux cas, ou bien la courbe du travail sera tout entière comprise entre les deux lignes isothermes (/îsf. 150), ou bien elle sera tangente à ces deux lignes (/isf. 151).

Dans les deux cas, les points de contact m et n du contour donné avec les lignes adiabatiques qui le circonscrivent, sépareront la région qui reçoit de la chaleur émise par le calorifère de la région qui en cède au réfrigérant.

L'état du gaz étant le même, soit au point m, soit au point n, pour le cycle considéré, et pour le cycle de Carnot circonscrit ABnCDmA; la chaleur q^ communiquée au cycle inscrit, est moindre que la chaleur q communiquée au cycle de Carnot, d'une quantité proportionnelle à l'aire comprise entre la ligne courbe convexe vm^ et le contour polygonal mAB/f qui l'enveloppe. On verra, au contraire, que la chaleur ((y cédée par le cycle inscrit est plus grande que la quantité (f cédée dans le cas du cycle de Carnot, d'une quantité proportionnelle à l'aire comprise entre la ligne courbe concave viM et le contour polygonal nCDm. Ayant à la fois ^i<î, et iC>^^ on en déduit

(ce qu'il s'agissait de démontrer)*

400 COURS DE HACHEES.

(454) On voit donc que les températures (,et t^ des deux sources de chaleur, étant déterminées, il n'y a rien à gagner, et il n'y a au contraire qu'à perdre, dans toute combinaison dans laquelle, soit par une dilatation ou une compression excessives, on chercherait à descendre au-dessous de t^ ou à monter au-dessus de t^, soit au contraire on se tiendrait au-dessus de t^ ou au-dessous de ^„ pendant une partie ou pendant la totalité du cycle décrit.

Continuant l'ordre d'idées dans lequel se plaçait S. Carnot (n** 446), les quantités a -H (, et a 4- i^ sont comme deux niveaux bien déterminés dont l'écart mesure la hauteur de chute réellement disponible.

D'un côté, on n'est pas plus maître d'augmenter cette hauteur qu'on ne le serait d'augmenter la hauteur effective d'une chute d'eau, en élevant l'eau au-dessus du bief supérieur^ ou en abaissant le point de sortie au-dessous du bief inférieur.

D'un autre coté, il faut, pour utiliser toute la chute, prendre la chaleur à la température même delà source supérieure et l'abandonner à la température môme de la source inférieure : la prendre trop bas et l'abandonner trop haut, c'est faire une perte analogue à celle que ferait un récepteur hydraulique où l'eau agissant par son poids serait prise en contre-bas du niveau d* amont et abandonnée ^n conirehaul du niveau daval.

(455) Sans insister plus longtemps sur ces rapprochements, nous résumerons de la manière suivante les résultats obtenus cidessus :

Dans toute machine à gaz, fonctionnant entre un calorifère entretenu à une température t^ et un réfrigérant maintenu à une température îp la quantité de chaleur définitivement disparue correspond toujours au travail utile obtenu, à raison de 425 kilogrammètres par calorie.

Dans le cas d'un cycle de Carnot, caractérisé par cette circonstance qu'il n'y a jamais de différence finie entre la température du gaz et celle de la source de chaleur avec laquelle on le met en relation, ou, géométriquement parlant, dans un cycle formé par deux lignes isothermes et deux lignes adiabatiques, la chaleur communiquée par le calorifère, ou chaleur dépensée, la chaleur disparue ou

tfliltj^e en travail, et la chaleur transmise au réfrigérant, ou chaleur perdue^ sont entre elles comme les trois quantités a •+- (,, t^ — t^, et

Le rendement ou le coefficient économique, c'est-à-dire le rapport de la chaleur utilisée à la chaleur dépensée^ est donnée par la

quantilé -' ~ /.

Dans tout cycle qui diffère de celui deCarnot, de quelque manière que ce soit, le rendement, entre les deux sources données aux températures f, et tj est inférieur au rendement * ~ ^

Une recherche spéciale est ordinairement nécessaire pour connaître quel est, dans un cas donné, le rendement effectif.

(456) Tels sont les résultats simples et précis qui peuvent être énoncés, lorsqu'on ne considère que trois corps, le gaz qui actionne la machine, le calorifère où il prend sa chaleur, le réfrigérant où il déverse celle qu'il n'a pas transformée en travail.

11 faut pour compléter la théorie des machines à air, telles qu'elles fonctionnent le plus souvent, introduire la notion d'un quatrième corps, qu'on appelle le régénérateur, qui intervient de la manière suivante.

Supposons d'une manière générale qu'une machine à gaz quelconque exécute un cycle autre que celui de Carnot, on peut inscrire la courbe dont l'aire représente le travail utile de la machine dans un quadrilatère formé de deux lignes isothermes et de deux lignes adiabatiques.

Soient m,n,p,q, les points de contact avec ces 4 lignes.

Du point n au point q, dans le sens np q, ce corps se refroidît de la température r, à la température t^ ; du point q au point n, dans le sens qmn, le corps se réchauffe et revient de la température t^ à la température î,.

Du point m au point p, dans le sens m n p, le corps reçoit de la chaleur; du point p au point w, suivant p g m, le corps cède autant de chaleur qu*il en avait reçu.

Menons les isothermes des points p et m, soient t\ et t\j 1 20

403 COURS DE MÀCHniES.

les températures correspondantes qui satisfont aux inégalités

De m en p' le corps reçoit de la chaleur en passant de la température t\ à la température f , ; de p en m' il cède de la chaleur et fait l'évolution inverse de la température f, à la température f^.

Supposons que dans cette dernière évolution il abandonne sa chaleur, non pas au réfrigérant, mais à un corps intermédiaire, ou plutôt à une série de corps ou aux diverses parties d'un même corps, prenant successivement et conservant les diverses températures

t\, t\— A t, t',— 2 A ^ etc jusqu'à t\ , et qu'ensuite, dans le trajet

mp' le corps se réchauffe, non pas avec de la chaleur empruntée au calorifère, mais en prenant successivement les mômes températures t\^ i\-\- M, f^+'î At jusqu'à t\y au moyen de la chaleur déposée d'abord sur le régénérateur.

S'il y a entre les contours mp' et pm' les relations nécessaires pour que, dans chaque position intermédiaire définie par deux lignes isothermes infiniment rapprochées aa' et bb', la transformation élémentaire ab entraine un emploi de chaleur égal au dépôt fait dans la transformation correspondante 6'fl', le régénérateur pourra, avec la chaleur déposée de p en m', fournir ultérieurement la chaleur nécessaire pour l'évolution de m en p\

Si donc le cycle était formé par les deux isothermes pp' et mm' et par les deux lignes mp' et pm'y le travail produit correspondrait simplement à l'excès de la chaleur q reçue dans le trajet p'p sur la chaleur q' perdue dans le trajet m'm, la chaleur gagnée pendant le trajet mp' et celle perdue de p et m' étant la même quantité alternativement reprise et rendue au régénérateur.

On aurait donc un résultat de même force que pour le cycle ordinaire de Carnot, c'est-à-dire un travail utile correspondant à l'écart q — q'^ et un rendement de la quantité q mesuré par la

. , q—q' quantité - — ~ •

(4S7) Quant à la condition qui lie les deux courbes mp^ et pm\ elle est donnée par la relation que la quantité de chaleur reçue en ab, c^dl + Xpdv soit égale à la quantité de chaleur déposée en aT

THÉORIE MÉCÂISIQUE DE LÀ CHALEUR. 4t»5

OU i\dt-^ ApW, la quantité c^ étant constante ainsi qu'on Ta vu précédemment.

Il faut donc poser pdt;=:pW,avecla relationpt; =pV=R'(a4-0Q-

D où en divisant par pv ou son égalpV, on a

-îî =--, fo = ZV + coiiBt, • = mr'

et par suite ~= p'.

La courbe pm' sera donc telle que les coordonnées v' et p' d'un point [(j!V) quelconque seront les coordonnées du point correspondant (ab), l'une multipliée l'autre divisée par le même facteur, c'est-àdire que le produit v'p' sera égal au produit vp (ce qui est bien en effet le caraclère de deux points placés sur une même ligne isotherme, ligne qui est, dans le cas d'un gaz, une hyperbole équilalère).

Le rendement ~ — - devient alors en remarquant que

9= Apv/ ?', et g' = kfvn ^ (Voir n* 444). q — c[ '^ y '^ V"

Dans celte formule, p est la pression au point p', etp" la pression au point m', les volumes VjV'X»^'"» sont ceux qui conespondent aux points p^p, wf^m. Comme on a, d'après ce qui vient d'être dit

©' = Mv' et u^^Mt;", on en conclut

Le rapport ci^dessus devient — , quantité qui, en vertu de

V —V la relation générale PV = R' (a H- (), peut s'écrire -^ — -7* , c*est-à-

dire que le rendement du cycle mp'pm'j compris entre les deux lignes

isothermes j/p et mm' et les deux lignes conjuguées mp' et pm', a précisément le môme rendement qu'aurait un cycle de Carnet correspondant aux mêmes températrues t\ et f^.

(458) Si Ton veut obtenir le rendement du cycle de Camot pour les températures f, et t^ il faut que le régénérateur puisse fonctionner entre ces limites de températures. Or, sur la figure, on voit qu'il ne peut fonctionner sur le contour p'np pendant le parcours duquel le corps s* échauffe d* abords en recevant de la chaleur y dep' en n, et se refroidit ensuite de n enp, en continuant encore d'en recevoir.

Il faut donc, ou bien que le point p coïncide avec le point n et le point m avec le point q (auquel cas les lignes pm' et mp^ coïncideraient, et le mouvement se bornerait à une série d'oscillations chargeant et déchargeant successivement le régénérateur sans produire aucun travail), ou bien que les lignes pp'eimm' soient reportées respectivement sur les lignes isothermes r, et t^.

Ainsi un cycle quelconque pourra, entre deux limites données de température, avoir le même rendement que le cycle de Carnot, à la condition qu'au lieu de passer d'une ligne isotherme à l'autre par des lignes adiabatiques, on y passe en faisant intervenir deux lignes conjuguées convenablement, pour que la chaleur perdue ou gagnée le long de ces lignes puisse être successivement recueillie et reprise par un régénérateur; les deux transformations élémentaires j directe et inverse ^ aux points situés sur une ligne isotherme intermédiaire quelconque, comportant r absorption ou le dégagement de la même quantité de €haleur.

(459) Dans la pratique, le régénérateur pourra être formé convenablement d'une série de toiles métalliques empilées les unes sur les autres.

Si ces toiles sont traversées alternativement, de haut en bas et de bas en haut, par la même masse de gaz prise respectivement aux températures initiales f,et t^, il tendra à s'établir, après un certain nombre de coups de piston, un état de régime dans lequel les assises extrêmes seront respectivement aux températures f, et t^ de sorte qu'une masse de gaz venant à les traverser dans un sens onvenable pourra soit se refroidir de t^ à tp soit se réchauffer de

t à ^,, avant d'être mise en relation avec le réfrigérant ou avec le calorifère.

Selon le système de la machine, ces chargements et déchargements des régénérateurs ont lieu habituellement soit à pression constante, soit à volume constant.

Si c'est à pression constante, le cycle A B C D est constitué en partant du point A par une ligne horizontale menée de Fisotherme t^ à l'isotherme t^ tandis que le gaz se dilate du volume Oa au volume 06, en traversant le régénérateur, des toiles froides aux toiles chaudes. (Voir flg. 153.)

De B en C, le gaz se dilate sous température constante, en prenant de la chaleur au calorifère, ensuite le gaz se refroidit de C en D, en traversant le régénérateur, et lui restituant la chaleur enlevée de AenB.

Enfin, il suit l'isotherme t^ deD en A, en se comprimant sous température constante et en cédant de la chaleur au réfrigérant.

Si le régénérateur se charge à volume constant, le cycle sera comme le précédent compris entre deux lignes isothermes et deux lignes droites, seulement ces lignes droites seront verticales au lieu d'être horizontales. (Voir fig. 154.)

On pourra encore considérer 4 phases successives :

1* Échauffement de A en B à volume constant, en passant sur le régénérateur ;

â"" Dilatation de B en G à température constante, en enlevant de la chaleur au calorifère ;

3** Befroidissement de C en D sous volume constant, en rechargeant le régénérateur ;

4* Enfin, compression sous température constante de D en A, en cédant de la chaleur au réfrigérant.

Nous nous bornerons pour le moment à ces indications générales, qui pourront être reprises ultérieurement, en parlant des dispositions diverses de machines à feu employées dans l'industrie.