THEORIE MÉCANIQUE DE LA CHALEUR DANS LES CORPS D'UNE NATURE QUELCONOUE
(460) On a vu, au chapitre précédent, quel est le résultat mécanique que Ton peut obtenir, au moyen d'un gaz parfait que Ton met successivement en rapport avec deux milieux maintenus à des températures différentes.
En supposant une évolution complète faite dans des conditions telles qu'on puisse reproduire les mêmes phases dans l'évolution inverse, et que la machine puisse s'entretenir indéfiniment par le retour du gaz employé aux mêmes conditions de pression de volume et de température au commencement de chaque période, on a constaté qu'une certaine quantité de chaleur était empruntée à la source supérieure ; qu'une quantité moindre était transmise à la source inférieure, et que la chaleur ainsi disparue correspondait bien au travail utile produit sur la machine à raison de 425 kilogrammétres par calorie; on a constaté encore que si Ton comparait ce travail, non pas à la chaleur disparue, mais à la chaleur empruntée à la source supérieure et ayant occasionné une dépense spéciale pour sa production, le rendement ainsi entendu était représenté par le rapport de /Vcart des températures des deux sources à la température absolue de la source supérieure; enfin que les quantités de chaleur empruntées ou transmises aux deux sources se trouvaient respectivement proportionnelles à leurs températures absolues, ces températures étant mesurées ur un thermomètre à air.
Ces divers résultats ont été obtenus par des considérations purement théoriques, en partant de la définition des gaz parfaits, et en regardant la chaleur comme due à des mouvements vibratoires et la quantité de chaleur comme en rapport avec la force vive de ces mouvements vibratoires.
On a retrouvé ainsi les lois de Mariotte et celle de Gay-Lussac, la constance des deux chaleurs spécifiques pour un gaz donné, leurs rapports inverses des densités pour deux gaz donnés, par suite Tinvariabilité du rapport de ces deux chaleurs pour tous les gaz et la loi de Laplace.
La vérification de toutes ces lois par Texpérience, et les résultats simples et nets que l'on en déduit, au point de vue mécanique, justifient, ainsi qu'on l'a déjà dit plus haut (n** 441), les bases sur lesquelles repose cette théorie.
(461) Je dis actuellement que ces mêmes résultats, établis pour les gaz parfaits, sont applicables aux antres corps^ quels quHls soient, faisant leurs évolutions entre deux sources de températures données, pourvu qu'ils les fassent dans les mêmes conditions de réversibilité qui ont été définies plus haut pour les gaz.
Cette réversibilité consiste, on se le rappelle, en ce que l'addition ou la perte de chaleur élémentaire éprouvée par le corps est en relation directe avec le travail élémentaire produit; de telle sorte que si ce travail élémentaire vient à changer de signe par un mouvement en sens inverse imprimé au piston, le flux de chaleur correspondant change également de sens en gardant la même intensité.
Cela suppose le corps ne (communiquant avec le calorifère et le réfrigérant et ne recevant ou perdant de la chaleur que lorsqu'il est à la même température qu'eux ; ce qui est la définition même du cycle de Camot compris entre deux lignes isothermes et deux lignes adiaba tiques.
L'extension indiquée est tellement importante par ses conséquences pratiques, qu'elle ne saurait être établie trop solidement.
On pourrait dire que si le corps est soumis pendant sa dilatation et sa compression à des forces moléculaires non définies qui produisent un travail plus ou moins grand, tantôt négatif, tantôt positif,
m COURS DE NACRmES.
en absorbant ou en dégageant de la chaleur (ce qui fait que la chaleur spécifique du corps peut varier avec la température contrairement à ce qu'on a vu pour les gaz); le résultat définitif n'en est pas altéré, si le corps revient, à la fin d'une évolution, au même état oU il était au commencement ^ attendu que l'intégrale des quantités de travail est nulle pour l'ensemble des forces moléculaires, et même nulle pour chacune de ces forces en particulier.
Si donc, à la fin d'une telle évolution, on vient à constater qu'un certain nombre de calories a disparu, on est bien autorisé à dire que cette disparition correspond au travail utile développé sur la machine.
Ce raisonnement peut être considéré comme suffisant, dès qu'on admet que la chaleur est de la force vive ; car de la force vive ne peut disparaître sans une production équivalente de travail moteur, et si le travail interne total est nul, cet équivalent doit se trouvera ravail extérieur.
(462) Mais on peut établir par une considération directe le théorème suivant que Ton désigne sous le nom de principe de Meyer, du nom de celui qui l'a le premier formulé explicitement :
Dans une machine à feu quelconque, oU Vagent employé pour la conversion de la chaleur en travail parcourt un cycle complet de transformations, en empruntant de la chaleur à un milieu qui est à une température déterminée pour en céder à un autre milieu à une tempériUure également déterminée, mais plus basse^ il existe un rapport constant entre la chaleur disparue et le travail produit sur la machine.
Désignant par q et q' les chaleurs empruntées et cédées par un corps, q^ et q\ les quantités correspondantes pour un autre corps, par Tm et T'^ les quantités de travail produites par ces corps, le théorème revient à poser l'égalité
Çi-qi ^m T« TV '^"^'•
Si on ne veut pas l'admettre a priori, on peut arriver à le démontrer par une réduction à l'absurde, en raisonnant de la maniëi*e suivante :
THËOHIB HËGAmQUE BE LA GRALBUR. 400
Supposons qu'au lieu de l'égalité ci-dessus, on ait
et par exemple A' > A.
On peut accoupler les deux machines, la première, par exemple, marchant dans un sens direct ^ et l'autre dans un sens inverse^ et faire en sorte, par une transmission convenable, que la première fasse m éyolutions complètes, tandis que la seconde en fera n.
Il sera passé, de la source supérieure à la source inférieure, la quantité de chaleur n (q — ^) par suite du jeu de la première machine, et le jeu de la seconde aura donné lieu, en même temps, au passage en sens inverse de la quantité m (q^ — ç/).
En môme temps, aussi, il se sera produit une quantité de travail moteur n T« et une quantité de travail résistant m T'„ .
On peut toujours prendre w et n de manière quen( q —q')=^{qc-q'^y et dans ce cas l'ensemble des machines accouplées n'aura ni absorbé ni dégagé de la chaleur.
Il faut donc, en même temps, poi/r qu'il n'y ait pas d'effet sans causey que le travail produit sur l'ensemble soit nul, ou que Ton ait
De ces deux égalités on tire
d'où A = A'.
Ainsi l'hypothèse A' > A n'est pas admissible, et l'on en conclut le théorème énoncé.
On a trouvé pour les gaz A = j^ ; on en conclut que cette valeur
sera la même pour un autre corps quelconque^ pour la vapeur d'eau par exemple.
(4A8) Ce théorème donne bien le travail que produiront les calories disparues , mais il ne dit pas quel sera le rapport de ces calories disparues aux calories empruntées à la source supérieure, ni par
q, - <iî
suite quel sera le rendement de ces dernières, entendu comme on l'a dit en parlant des gaz.
Il faut, pour avoir ce rendement, poser un second théorème, que Ton connaît sous le nom de principe de Carnot, ou de Clausius, et dont l'énoncé peut être le suivant :
Dans une machine à feu qui fonctionne sous les co7idittons énoncées au premier principe (n** 463), il existe un raj)port constant entre la quantité de chaleur disparue ou transformée en travail^ et la quantité de chaleur empruntée à la source supérieure.
Cet énoncé revient à Tégalité
d'où Ton tire
c'est-à-dire qu'il y a, pour les deux corps servant d'intermédiaires, le même rapport entre les quantités de chaleur empruntées^ cédées et disparues.
Pour le démontrer, on admet que les deux sources de chaleur n'étant pas en relation directe et ne communicjuant qu'indirectement par l'intermédiaire d'un corps qui est à la même température que la source avec laquelle il est en relation actuellement, il ne saurait y avoir chaleur empruntée ou cédée à l'une des sources qu'à l'occasion d'un travail moteur ou résistant produit.
Prenant donc encore n évolutions d'une première machine et m d'une seconde, on aura à considérer les quantités de chaleur n (7~ q') et m (q^ — q\), et les quantités correspondantes de travail nT„ etmT'„.
La chaleur empruntée à la source supérieure par la première machine sera nq, et la chaleur restituée par la seconde sera mq^.
La chaleur transmise à la source inférieure par la première machine sera nq' et la chaleur empruntée par la seconde sera mtf^.
Si le travail total produit par l'ensemble des deux machines est nul, ou si n T» = m T'„, ce qui, d'après le premier théorème, entraîne n (q — g') = m (q^ ~ q\), il faut qu'en môme temps aucun
efl'et thennique ne se soit produit sur les sources, ou que Ton ait nq = mq^ et nq^ = mg'^, c'est-à-dire
Ce raisonnement peut ne pas paraître absolument rigoureux, et en effet des objections y ont été faites.
Mais si les quantités de chaleur empruntées et cédées à chaque source n'étaient pas égales, il y aurait finalement un transport de chaleur d'une des sources sur l'autre, et en faisant marcher les machines dans le sens convenable le transport pourrait toujours être effectué de la source supérieure à la source inférieure.
Ainsi le système continuant à marcher indéfiniment, sans produire de travail, ferait passer une quantité indéfinie de chaleur d'un corps plus froid dans un un corps plus chaud.
Or on peut admettre que la chaleur ne peut passer d^ elle-même d^un corps plus froid dans un corps plus chaud.
Si cet énoncé ne semble pas susceptible d'être démontré a priori par un raisonnement mathématique, si en effet l'impossibilité affirmée n'apparaît nullement et même n'existe réellement pas comme une impossibilité mécanique^ on doit la regarder comme une impossibilité physique, confirmée par l'expérience journalière, et en accepter la notion, comme on accepte celle de Téquilibre final des températures se produisant entre deux corps par le refroidissement du plus chaud et le réchauffement du plus froid.
On a trouvé pour les gaz, que les quantités q,q\ eiq — q^ étaient respectivement proportionnelles aux températures absolues a -f- r,, a + fj, et à l'écart deces températures t^ — t^, il en sera donc de même, d* après le second principe^ pour un autre corps quelconque pour lequel les quantités con^espondanles sont désignées par q^. q\ et ç^ — (f^.
(464) On voit donc que pour un corps quelconque, comme pour un gaz, évoluant entre un calorifière et un réfrigérant à des températures données, dans les conditions du cycle de Carnot, le travail moteur utilisable, comparé au travail total que pourrait produire la chaleur empruntée à la source supérieure^ à raison de 425 ki-
logrammètres par calorie, ne correspond qu'à un rendement dont l'expression est Vécart des lempératureSj divisé par la tempéraliire absolue de cette source.
Ce dernier résultat est tout à fait capital : il indique ce que l'on peut espérer réaliser en pratique, en employant un corps au lieu d'un autre, comme agent de conversion de la chaleur en travail :
On aura précisément le même effets si les deux sources de chaleur entre lesquelles il agit sont aux mêmes températures absolues ; mais si les deux corps comportent, par leur nature, l'emploi pratique de températures différentes {t^ et t^ pour l'un, t\ et t\ pour l'autre), leurs rendements seront respectivement donnés par les
quantités -2 •* et -^ — -r . Si l'on prend, par exemple, une machine à vapeur d'eau, si l'on suppose que l'on forme cette vapeur à 150 degrés, et que l'on emploie un condenseur à 40 degrés, on sait, par cela même et par cela seuU que le rendement de la chaleur employée à la production de la vapeur aura pour expression 150-40 ^ 275 + 150 = Q'^^'
C'est-à-dire qu'une calorie employée à produire la vapeur correspondra à un travail utile de 425 x 0,26 = 110,52 kilogrammètres, produit sur la machine. Il doit être entendu , d'ailleurs, que la machine fonctionnera en réalisant un cycle satisfaisant aux conditions indiquées de réversibilité. Cela veut dire, quand il s'agit de la vapeur d'eau, qu'après lavoir admise à pleine pression dans le cylindre à vapeur, on devra détendre et pousser la détente jusqu'à ce que la vapeur ait pris la température du condenseur, ouvrir alors seulement la communication avec le condenseur, et vers la fin de la course rétrograde du piston, prendre le mélange deau liquide et de vapeur détendue qui résulte de la condensation, et le comprimer sous chaleur constante., pour ramenée' le mélange entièrement à létat liquide, la proportion de vapeur et deau liquide dans le mélange étant telle, au moment où Ion commence la compression, que la chaleur dégagée par U fait de la condensation de la vapeur, le ramène en même temps de la température du condenseur à la température de la chaudière.
Toutes ces conditions remplies, le rendement de 1 1 0,52 kilogram-
mètres par calorie employée à la production de la vapeur, peut être affirmé d'avance, sans rien connaître ni sur la chaleur spécifique, ni sur la chaleur latente de la vapeur d'eau, ni sur la pression et le volume de la vapeur à 150 degrés et à 40 degrés, ni par conséquent, soit sur la quantité d'eau à vaporiser, soit sur les dimensions, et les vitesses à donner aux diverses parties de la machine, pour obtenir une force déterminée.
On voit par là quelle est la généralité des principes de la théorie mécanique de la chaleur ; mais on voit en même temps qu'il est nécessaire, pour pouvoir en faire l'application pratique à un corps déterminé, de connaître spécialement les propriétés physiques de ce corps.
(466) On voit l'analogie, ou plutôt Videntité, entre les résultats obtenus dans le cas simple des gaz, et ceux qui conviennent aux corps de toute nature, quelque complexes que puissent être les lois auxquelles obéissent les forces moléculaires, les chaleurs latentes, les capacités pour la chaleur, les tensions des vapeurs à saturalion, etc., etc.*.
Cela tient à ce que, lorsqu'il s'agit d'une application à faire au mouvement d'une machine, des dilatations ou contractions d'un corps successivement plus chaud et plus froid, la permanence du mouvement de la machine demande que le corps se retrouve dans les mêmes conditions de pression de volume et de température, aux mêmes points des diverses périodes du mouvement.
C'est cette périodicité qui, lorsque l'on considère un cycle entier, élimine rinilucnce de tous les éléments variables dont il vient d'être parlé.
On comprend parla comment la môme chaleur disparue produira finalement le môme ^ravail, quel que soit le corps employé pour intermédiaire ; on comprend aussi comment le coefficient économique, ou le rapport de la chaleur employée en travail à la chaleur dépensée par le calorifère, dépend de l'écart des températures, puisque plus cet écart est petit, plus est petite la différence entre le travail moteur de la pression et le travail résistant de la contrepression.
(466) L'analogie entre les gaz et les autres corps se poursuit plus loin encore.
On peut d'abord représenter graphiquement les résultats de la marche d'une machine à feu quelconque, en considérant encore deux axes rectangulaires OX, OY, suivant lesquels on compte les volumes et les pressions. Un point quelconque du plan représente un état donné du corps, défini par l'abscisse représentant le volume, et par Tordonnée représentant la pression, éléments d*où l'on peut déduire la température.
Si l'on prend la série des points (pv, pV...), pour lesquels la température est constante, on a une ligne isotherme qui n'est plus, comme pour les gaz, une hyperbole équilalère, mais une courbe qui dépend de la fonction parliculière reliant, pour le corps dont il s'agit, les trois éléments p, t^, t.
Si l'on prend la série des points pour lesquels le corps passe d'un point au point voisin sans recevoir ni perdre aucune quantité de chaleur, comme si, pendant ce passage, il était contenu dans une enceinte dépourvue de toute conductibilité, ou absolumenl imperméable à la chaleur, on a une ligne adiabatique.
Le cycle de Carnot sera, comme pour les gaz, une évolution représentée par un quadrilatère curviligne compris entre deux lignes isothermes et deux lignes adiabatiques. Ce quadrilatère représenté en ABCD (fig. 155), ne différera de celui delà figure 148 que par la nature des courbes.
Pour les gaz, les courbes isothermes et adiabatiques sont représentées respectivement par les équations pv=const., et pt;*=const.
Pour un corps quelconque, elles le sont par des équations généralement inconnues, qu'on obtiendrait en faisant, soit dp= 0, soit dç = 0, dans les équations des n" 4U et 412.
11 n'est pas d'ailleurs nécessaire de les connaître pour raisonner sur la figure 155, qui est censée les représenter. Dans cette supposition, Taire ABCD représentera toujours le travail correspondant à un cycle de Carnot.
(46*7) Cela posé^ je dis que^ pour un corps quelconque aussi bien que pour les gaz parfaits, le cvcle de Carnot est celui qui
THÉORIE MÉGANIQUE DE LA CHALEUR. 4i5
donne le rendement maximum, c'est-à-dire qu'on ne doit pas chercher, par une dilatation ou une compression exagérée, à commencer la course rétrograde du piston a une température inférieure à celle du réfrigérant, ni la course directe à une température supérieure à celle du calorifère; qu'on ne doit pas non plus, pendant que le corps est en relation, soit avec le calorifère, soit avec le réfrigérani, le tenir à une température plus basse que le premier, ou plus haute que le second. Ceci s'exprime en d'autres termes, en disant que pendant tout le temps que le corps servant d'intermédiaire est en contact , soit avec le calorifère, soit avec le réfrigérant, il doit être précisément à leur température; une différence finie de température entre les deux corps en contact, dans quelque sens qu'elle ait lieu, entraînant toujours une diminution du coefficient économique de la chaleur dépensée.
(468) On démontrera, en répétant identiquement les raisonnements des n"* 452 et 453, la première et la deuxième partie de la proposition énoncée. On peut démontrer aussi la seconde partie d'une manière différente, pour laquelle nous introduirons une considération qui trouvera plus tard sa place.
Cette considération est la suivante : un cycle donné quelconque (qu'il soit ou non réversible), peut toujours être décomposé en autant de cycles partiels que l'on voudra, par une série de lignes adiabatiques. Soit le cycle AB {fig, 156), menons deux lignes adiabatiques mn et pq. La proposition consiste en ceci, que le cycle unique AmpBqnk peut être remplacé par les trois cycles AmnA, nmpqn^ qpHq; c'est-à-dire que si au lieu d'avoir un corps unique accomplissant révolution entière, on a trois corps identiques faisant simultanément les trois évolutions partielles, le résultat obtenu est identiquement le même.
Ceci semblera évident, si l'on remarque que les courbes mn et pq sont parcourues successivement dans les deux sens et donnent des quantités de travail qui se détruisent deux à deux.
(4A9) Or, si l'on multiplie cette division et qu'on ait à considérer deux courbes adiabatiques infinimentvoisines mu et pç, l'aire
correspondante mpqn (fîg. 157) ne différera que d'une quantité infinimenl petite du second ordre de Taire qu'on obtiendra en considérant les isothermes menées aux quatre points m, n,p, 9, c'est-à-dire que l'aire mpgn pourra être indifféremment rem placée/soit par Taire rn'pç'n, qui lui est circonscrite, soit par Taire mp'qn\ qui lui est au contraire inscrite. Chacune de ces dernières est un cycle de Carnet, dont le rendement, en appelant f et f, la température en p
et en n, a pour expression ^^ — - — - et — , quantités
qui ne différent pas de t>. C'est-à-dire que le rendement d'un
cycle élémentaire mnpq est celui qu'on trouverait pour un cycle de Carnot effectué entre les limites de température f et t!j qui sont, non pas les températures des deux sources, mais les températures
propies du corps, quand il trace les éléments correpondantsmp el«g.
Chacun de ces rendements est delà forme :r, et il est facile
de voir que ce rendement est inférieur au rendement ~ — ^ déduit
des températures f, et f^, qui sont la première supérieure à f et la deuxième inférieure à f .
En effet, les quantités peuvent s'écrire 1 -, et I rS
et il est clair que la seconde diminue, ou que son terme négatif augmente, lorsque Ton remplace t^ par une valeur plus grande t\ et t, par une valeur moindre f.
On voit ainsi que Taire totale du cycle considéré, peut être décomposée en une infinité de cycles élémentaires ayant des rendements
au plus égaux à - — j et généralement inférieurs à cette quantité,
lorsqu'on n'a pas à la fois r= f, et t'=-i^. Le rendement de l'ensemble sera donc inférieur à cette même quantité; ce qu'il s'agissait de démontrer.
(4'70) La notion des régénérateurs s'applique aux corps d'une nature quelconque aussi bien qu'aux gaz.
On se représentera le fonctionnement des régénérateurs de la manière suivante :
On considérera d'abord le corps faisant son évolution normale entre deux lignes isothermes aux températures du calorifère et du réfrigérant , et deux lignes adiabatiques quelconques ; on aura le
cycle ABCD de Carnot, et un rendement *^ /-
Supposons qu'arrivé au point B, au moment où il cesse de com* muniquer avec le calorifère, la chaleur que contient le corps, au lieu d'être tout entière employée en travail, suivant la ligne BC, soit employée en partie à réchauffer successivement divers corps, ou plutôt les différentes parties d'un même corps, qui prendront successivement les températures t,, t, — A^.. f, — 2M... i^, tandis que la ligne BC sera décrite. Arrivé en C\ le corps aura la température t^ du réfrigérant, et il la gardera jusqu*au point D. (fig. 158.)
Supposons que du point D il revienne à la courbe isotherme l^i non par le seul fait de la compression qui le ramènerait au point A, mais en empruntant au régénérateur la chaleur qui vient d*y être déposée.
Si les courbes BC et DA' ont entre elles une relation telle que la chaleur déposée de Ben C, puisse sufGre à effectuer l'évolution DA^ il est clair que l'on pourra marcher indéfmiment, le corps prenant de la chaleur au calorifère suivant la ligne A'B, et en cédant au réfrigérant, suivant la ligne CD, les lignes BC et DA^ ne donnant lieu successivement qu'au dépôt et à la reprise d'une même quantité de chaleur, cette quantité de chaleur est théoriquement une première dépense à faire une fois pour toutes, une dépense en quelque sorte de premier établissement^ à la suite de laquelle, on n'aura à tenir compte que de la chaleur q empruntée au calorifère, de la chaleur q^ transmise au réfrigérant, de la chaleur q — ç*, trouvant son équivalent en travail produit sur la machine, et enfin de son coefficient
q-q' économique - — -.
(471) On peut voir d'abord à quelle condition sont assujetties les courbes BC et DA'. Il faut évidemment que, prenant deux éléments sur une ligne isotherme quelconque à la température tf, le
corps, considéré dans son évolution enlière, recueille sur le régénérateur, de m en n, la quantité de chaleur nécessaire à la transformation élémentaire qu'il subit, cette quantité de chaleur devant être précisément celle qui a été déposée lorsque le corps a subi la transformation élémentaire de n' en m'.
On peut comprendre, d'une manière générale, que Tune des lignes est arbitraire et que l'autre s'en déduit par la considération cidessus. Nous verrons un peu plus loin au moyen de quelle équation.
(479) Mais on n'a pas besoin de connaître cette équation, pour démontrer que la condition ci-dessus étant satisfaite, le cycle aura précisément le coefficient économique du cycle de Carnot.
Ceci peut se reconnaître directement par une réduction à l'absurde, analogue à celle qui a servi (n<> 465) à la démonstration du principe de Carnot ou de Clausius.
Soit un cycle de Carnot, pour lequel on ait ^ ^ = ^^^* , Je dis
qu'on aura pour un cycle fonctionnant avec le régénérateur dans les
conditions indiquées plus haut, le même rapport ^' ^^ = -^ — -'•
Nous considérerons les deux machines liées ensemble de telle manière que la machine munie du régénérateur fasse m évolutions directes, tandis que la machine fonctionnant dans les conditions du cycle de Carnot fera n évolutions inverses, les quantités m et n étant liées par la relation m (g — ç')=n (g^ — g'J ; de sorte querensemble des machines n'ait produit aucun travail.
On en conclura qu'il faut en même temps qu'il n'y ait aucun effel thermique produit sur les deux sources ou que mq = nq^ m(/= n^i
d'où l'on conclura-^ =: i-\ et par suite 1 — ^ == 1 — ?^, ou enfin
gj - 9'i^q — ^ 9i 9
(478) Nous n'avons dans tout ce qui précède considéré qu'une seule source de chaleur, et qu'un seul réfrigérant. On en peut con-
THÉORIE MÉGAMQUfi DE LA GUALEUU. 419
ccvoir plusieurs se succédant suivant un ordre quelconque et for* inant ainsi un cycle complexe.
La considération d'un tel cycle répond, dans la pratique, au cas où le corps servant d'intermédiaire est une vapeur, de la vapeur d'eau par exemple.
Le corps est pris à Tétat liquide et échauffé à un certain degré ; mais la température de la chaudière ne peut pas être poussée très-haut, à cause de l'accroissement extrêmement rapide de tension que prend la vapeur saturée se formant en présence d'un excès de liquide.
Lorsqu'au contraire la vapeur a cessé d'être au contact de l'eau, on peut réchauffer autant qu'on veut, et elle se comporte comme un gaz obéissant aux lois de Mariolte et de Gay-Lussac.
On peut donc chercher à employer de la vapeur surchauffée en dehors de la chaudière par un second calorifère à une température Tg; une évolution du corps pourra se faire de la manière suivante :
Le prenant lorsqu'il cesse d'être en relation avec le réfrigérant, formant, comme on l'a indiqué au n^ 464, un mélange d'eau et de vapeur en proportions convenables, on le comprimera de manière que la chaleur latente devenant sensible par la condensation, le corps soit redevenu entièrement liquide et à la température t^ de la chaudière lorsqu'on l'y introduira.
On le fera agir en contact avec la première source, en se vaporisant à la température t^
Puis on supposera qu'au moment où il va être en contact avec la seconde source, on le comprime d'abord jusqu'à ce qu'il ait pris la température T, de cette seconde source (on n'introduit d'ailleurs celte considération que provisoirement, comme l'on verra tout à l'heure).
Ai'rivé à la température T, le corps reste en contact avec cette source pendant qu'il se dilate; puis on lui fait parcourir une courbe adiabatique qui le ramène à la température t^ du réfrigérant, et on le comprime à cette température t^, jusqu'au moment où on l'isole du réfrigérant pour le comprimer sous chaleur constante, en vue de le ramener dans la chaudière à la température t^.
(^V^) On forme ainsi le cycle représenté sur la figure 150, par
420 COURS DE HACUINKS.
le contour DABA'B'CC'D, qui comprend trois lignes adiabatiques DA,BA',B'C, et trois lignes isothermes AB,A'B', et CCD qui correspondent aux températures i, T, et t^.
Nous pouvons par la pensée prolonger la ligne A'B jusqu'en C, el au cycle unique que nous venons d'indiquer, substituer (n* 468) les deux cycles partiels ABC'DA et C'BA'B'CC, la ligne BC se trouvant par cette combinaison parcourue deux fois en sens contraire.
11 est clair que chacun de ces cycles étant effectué dans les conditions du cycle de Carnot, le rendement du premier est
ÎÎL=ÎZ:i'=?îZI^et celui du second ^ = ^-i-^^ = ï^'
en désignant par q et g' les quantités de chaleur reçues des deux calorifères, et q' et q\ les quantités cédées au réfrigérant pendant les périodes CD et CC correspondantes aux périodes AB et A'B'. Le rendement du cycle entier sera :
g -\-fii — W + Q\) m + m'
quantité intermédiaire entre -et -7.
On remarquera que ce rendement peut encore s'écrire
<y ^ fj — Q' ^ </! gi — ^i __ g X - -h ^1 X -
On voit sous cette forme qu'il se rapprocliera d'autant plus d'un des rendements — et -7 que les quantités —3— ou — 5i— seront plus considérables.
Ainsi pour î^ = 0 on a le rendement — , pour 7^=00 ona lereu-
demenl -7.
11 faut comprendre d'ailleurs que le rendement, calculé commeil est dit ci-dessus, est une limite supérieure qu'on n'atteint pas en pratique, parce qu^on ne s'astreint pas à passer brusquement de '^ tempérai ure i^ à la température T„ et qu'au lieu de la ligne Lri^ôe
THÉORIE MÉCANIQUE DE LA CHALEUR. 42i
BA'B, on a une ligne intérieure telle que BEB', qui diminue le rendement du cjcle A'B'CC.
La ligne BE pourrait être une ligne quelconque, selon les conditions dans lesquelles se ferait la surchauffe du corps. Si Ton supposait par exemple qu'elle se fit à pression constante, la ligne BE serait une ligne droite horizontale.
On comprend qu'en tenant compte de la grande quantité de chaleur latente que contient la vapeur d'eau, et de la difficulté pratique qu'on trouverait à pousser très-haut la température, la quantité q^ qu'on communique par le surchauffage soit généralemont assez petite, relativement à la quantité q communiquée par la formation de la vapeur ; de sorte que la pratique du surchauffage ne peut pas augmenter dans une mesure bien considérable le coefficient économique de la chaleur employée dans une machine à vapeur.
Du reste, on ne peut arriver à une évolution numérique à cet égard, avant d'avoir, comme nous le ferons plus loin, étudié et spécifié en nombres les propriétés physiques de la vapeur d'eau .
(475) Ce qui vient d'être dit pour deux calorifères et un réfrigérant, s'appliquerait facilement au cas d'un nombre quelconque de calorifères et de réfrigérants.
On devrait toujours, pour le raisonnement, supposer qu'on passe d'une ligne isotherme à une autre en suivant une ligne adiabatique, et l'on parviendrait toujours à décomposer le cycle complexe en une série de cycles simples tels que ceux qu'on a considérés dans le numéro précédent.
En opérant ainsi, on aurait une aire totale formée exclusivement par des lignes isothermes réunies à leurs extrémités par des lignes adiabatiques ; le rendement de chaque cycle partiel serait celui du cycle de Camot pour l'écart de température trouvé pour ce cycle, et par suite le rendement général serait toujours inférieur à celui que l'on conclurait delà différence de température entre le calorifère le plus chaud et le réfrigérant le plus froid.
(4179) Dans le cas général où le cycle total ne serait pas la somme de plusieurs cycles partiels de Camot, le rendement indivi-
duel de chacun d'eux serait diminué, et à fortiori serait-on autorisé à dire que le rendement général serait inférieur à la quantité qui vient d'être énoncée.
Pour le déterminer, il faudrait considérer spécialement la quantité de chaleur cédée ou communiquée dans chacune des phases d'une évolution complète et prendre la quantité
^ -f- (/. -h Çi -h (?'-H^i 4- ç^,-4- )
Cette quantité, est, on le voit, une fraction dont les termes sont formés respectivement par l'addition des numérateurs et par l'addi-
lion des dénominateurs des fractions - — -^ ^ ^, etc ; elle
est donc toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de ces fractions.
(4W"7) Le rendement théorique -- — f augmente, comme la for-
mule môme l'indique, avec la température f, ; et c'est en se plaçant à ce point de vue qu'on se trouve conduit, comme nous l'avons dit au numéro précédent, à l'emploi de la vapeur surchauffée. ^
Ce rendement augmente également lorsqu'au lieu d'augmenter t,, on diminue t., puisqu'alors le numérateur augmente, tandis que le dénominateur reste invariable.
Comme il ne semble pas facile, avec la vapeur d'eau seule, d'opérer dans les deux sens, c'est-à-dire d'augmenter t, et de diminuer ^^, on a cherché la solution dans l'emploi des vapeurs conAinées.
Qu'on se représente une série de corps A,B,C..., tels que chacun d'eux émette de la vapeur à une tension utilisable, à la température où le corps précédent n'en émet plus de sensible ; soit par exemple la série composée du mercure qui bout à 560**, de l'eau qui bout à 100* et de l'cther ou du chloroforme qui bouillent à 35"* et à 60*.
On pourra avoir un premier générateur à une température égale ou supérieure à 360**, pour vaporiser le mercure à une certaine pression égale ou supérieure à la pression atmosphérique.
Le réfrigérant pour le mercure, sera par exemple, à une tempéra-
lure de 150*, et ce réfrigérant sera un calorifère pour Teau qu*on mettra en contact avec lui.
L'eau, à son tour, aura un réfrigérant à 75 ou 80*, qui sera un eaUh rifère pour l'éther, et Téther lui-même sera refroidi par une masse d'eau convenable entretenue à une température plus ou moins voisine de la température ambiante.
•Désignons par T la température à laquelle on engendre la vapeur du corps A, par T' la température à laquelle on la condense en vaporisant le corps B, par T'' celle à laquelle on condense le corps B en vaporisant le corps C, enfin par t celle à laquelle on condense ce dernier corps.
Si Ton prend pour unité la chaleur cédée par le premier calori-
T — T' rifère, la première machine en utilisera la fraction ?r, et elle
-, . flV
enverra le complément, soit =, au pr^mt^ réfrigérant, c'est-àdire au deuxième calorifère.
Cotle quantité ?=,, à son tour, employée entre deux températures T' et T" se partagera en parties proportionnelles à
qui seront respectivement
g-hf^a-hT' a + T^a^V
ou en simplifiant
ThFT ^^ fl + T'
Enfin la quantité de chaleur ?«, évoluant entre les tempéra-»
luresT" et f, donnera lieu à la chaleur utilisée
jn__i g -h r T- — i
494 GOUBS DE MACHINES.
et à la chaleur cédée au dernier réfrigérant
a -h y a H- < a -h t a+T ^a+T' — aH-T
et ainsi de suite.
En définitive la chaleur totale utilisée sera :
a-+-T "^ a -1-T "*" a -hT~a4-T
et la chaleur cédée au dernier réfrigérant sera ^.
Résultat remarquable, qui montre que le rendement de ces trois machines combinées sera précisément le même, du moins théoriquement, que si l'on avait une machine simple employant un quelconque des trois corps A,B,C, ou môme tout autre corps^ entre les limites extrêmes de température T et t.
Les calorifères intermédiaires qui fontionnent à tour de rôle, en cédant ou empruntant de la chaleur, à peu près comme les régénérateurs dont il a été question précédemment, n'ont aucune influence sur le résultat définitif.
La même conclusion théorique s'appliquerait à une série d'un nombre quelconque de corps.
Quelle que soit cette série, quelles que soient les limites de températures entre lesquelles on fasse évoluer chacun d'eux, le résultat théorique sera le même que si Ton avait fait jivoluer l'un quelconque d'entre eux entre les limites extrêmes de tenvpérature dont on dispose.
En poursuivant la comparaison entre les machines thermiques et les roues hydrauliques mues par le poids de l'eau, (voir n"** 446 et 454), on peut dire qu'un écart de température donné n'est pas mieux utilisé avec une machine complexe à vapeurs combinées qu'avec une machine simple utilisant d'un seul coup tout l'écart de température dont on dispose, de môme que, pour une chute d'eau, on n'aurait aucun avantage à la partager en plusieurs chutes partielles à chacune desquelles on appliquerait un récepteur particulier.
C'est toujours, dans le cas des machines à feu, la môme chute totale de chaleur, comme c'est toujours, dans le cas d'une chute d'eau, la même hauteur totale sur laquelle on doit compter.
(478) Dans les deux cas aussi, à côté des considérations théoriques pures, le côté pratique ne doit pas être perdu de vue. A ce sujet on peut dire en général que les résultats théoriques sont des limites qu'on ne peut rigoureusement atteindre, à cause de la difficulté pratique de réaliser le passage d'une ligne isotherme à l'autre sans qu'il y ait quelque déperdition de chaleur.
En outre, on doit reconnaître que les divers corps ne sont pas tous susceptibles, pratiquement, d'être employés entre les mêmes limites de températures t^ et t^^ et que, notamment, la limite supérieure t^ est généralement donnée, pour chaque corps, par quelques considérations particulières.
Ainsi, par exemple, l'eau ne pourrait être vaporisée à 300^, sans arriver à une pression tout à fait inadmissible. Si l'on veut aller jusqu'à 300®, cène peut être que par le surchauffage en dehors delà chaudière, et on ne peut avoir un rendement total correspondant à cette température. (Voir n"" 474.)
Au contraire, le mercure seul ne pourrait être employé 6 une température convenable pour la vapeur d'eau, parce qu'il n'aurait à cette température qu'une faible tension et exigerait des dimensions excessives du cylindre moteur pour utiliser sa détente jusqu'à la température ordinaire d'un condenseur.
Ainsi encore on verrait que l'air ne pourrait être employé à une très-haute température, parce qu'il agirait comme un oxydant énergique sur les pièces de la machine.
Aucun corps, même dépourvu de toute action chimique sur les métaux, ne peut, sans de très-grandes difficultés, être employé à de très-hautes'températures, parce que, à défaut d'oxydation des pièces, on rencontre l'inconvénient de distiller ou de décomposer les corps gras avec lesquels les pièces sont habituellement lubrifiées ; et si l'on cherche à éviter réchauffement, en mettant les pièces en contact avec des masses d'eau, la chaleur communiquée à ces masses est perdue pour l'effet utile.
Les gaz quels qu'ils-soient ont, relativement aux vapeurs, l'inconvénient que H. Reech a désigné sous le nom d'encombrement^ consistant en ce que l'alimentation de la machine exige une force comparable à celle que donne la machine elle-même, parce que le corps, au
lieu de repasser presque entièrement à Tétat liquide dans le condenseur reste à Tétat de gaz pendant toute la période de la compression.
Si l'on supposait, par exemple, qu'avec un gaz le travail de h compression T^ fut la moitié du travail de la machine T, et qu'on pût au contraire négliger le terme TV dans le cas d'une vapeur, il faudrait, pour avoir la môme force disponible avec la machine à gaz et la machine à vapeur, poser la relation T. — T^ = i T,. =T'», c'est-à-dire que la machine à air devrait d'abord produire un travail moteur double, et en employer la moitié pour son alimentation: et encore doit-on remarquer que les frottements de la machine à air seraient beaucoup plus grands que ceux de la machine à vapeur; car ils sont plutôt en rapport avec la quantité T, -i- T,- qu'avec b quantité T« — T,.
Nous ne nous étendrons pas davantage, pour le moment, sur ces remarques générales, qui ne peuvent encore donner lieu à des conclusions numériques précises, et que nous ne présentons ici qu'à titre de simples aperçus.
(479) Nous ajouterons toutefois que les avantages d'une haute température du calorifère ne sont pas aussi considérables que l'expression * * pourrait le faire croire au premier abord.
Cela tient à ce que le prix d'une calorie ne doit pas être regardé comme constant, mais au contraire comme d'autant plus élevé que cette calorie est prise à une plus haute température.
Cela se déduit facilement de ce que la température produite dans le calorifère est donnée généralement par un foyer sur la grille duquel on brûle du combustible, et que cette température est égale au plus à la température à laquelle les gaz produits delà combustion se rendent à la cheminée.
Si donc le combustible employé dégage par sa combustion un nombre N de calories par kilogramme, et si les gaz allant à la cheminée à la température 8 ont un poids P et une capacité calorifique c, la quantité transmiseau calorifère est de la forme (N — PrO), etdi-
minuo, par conséquent, à mesure que 0 augmente. Celte quantité aura un coefficient économique au plus égal à -.
Le terme (N — Pcô) ( -—- | mesure donc le travail qu'on pourra
retirer d'un kilogramme de combustible, et la question est évidemment de le rendre au maximum. Cette quantité est nulle d'ailleurs, soit si N — Pce = 0, auquel cas les gaz emportent toute la chaleur produite sur le foyer, soit si 9 = f , auquel cas l'écart de température est nul entre le calorifère et le réfrigérant, et il ne peut y avoir de travail produit.
1/emploi le plus avantageux possible correspondra au maximum
de la fonction (N — Pc^)[—-t)j qu'on peut écrire pour simplifier rccri,„reP.x(«.)(î^'.)
Posant— =M,ils'agitderendremaximumleproduit( * — — ? )
La valeur de 9 résolvant la question sera celle pour laquelle on aura
d (M-6)(e-0^ rfô a -h t •
ce qui donne
L [(M ^ ft - e + t) (a -H 6) - (M - e) (6 - 0] = 0
ou en supprimant le facteur ( j :
M (a -h t) -^ at — 2ae — 6« = 0
6* 4- 2ae = M (a -f- <) -^ at
ô = — a-f s/a* -h M (a + /) -h at
Il est clair que des deux racines réelles de l'équation en 9, la racine positive résoud seule la question.
Pour passer aux valeurs numériques, on supposera, par exemple,
428 GOUnS DE MACHINES.
que le combustible employé soit une houille de qualité moyenne, dont la combustion développe 6,500 calories par kilogramme, et demande 18 mètres cubes d'air froid, à 1\5 environ par mètre cube.
On admettra que la chaleur spécifique des fumées soit sensiblement égale à celle de l'air, soit 0,2575.
On aura
Si l'on suppose le réfrigérant à la température ordinaire des condenseurs de machines à vapeur, soit à 40*", on trouvera
Si Ton suppose ce réfrigérant à la température ambiante, soit à 10^, par exemple, ce qui est toujours possible avec une quantité d'eau suffisante, on trouvera
Cette température 8, comprise ainsi entre 355 et 388*, est donc celle que /'on ne doit pas essayer de dépasser pour le calorifère.
Au delà, on perdrait plus par l'excès de chaleur qu'emporteraient à la cheminée les produits de la combustion, qu'on ne gagnerait par l'augmentation du coefficient économique de la chaleur transmise au calorifère et de là à la machine.
Selon qu'on admettra que la température du condenseur ou rcfii-
gérant est de 10"* ou de 40% le rendement théorique r sera
ou bien
On répète que ces chiffres supposent que Ton fonctionne dans les conditions du cycle de Camot, c'est-à-dire d'une part que les deux
lignes isothermes, Tune à 355 ou 388^ lautreà 10 ou à 40'', étant données, on passe de l'une à l'autre par la détente ou par la compression à chaleur constante, ou, en d'autres termes, en suivant des lignes adiabatiques, et d'autre part qu'on épuise l'action du foyer en abaissant la température des produits de la combustion à la température môme des parois du calorifère.
(480) On remarquera d'ailleurs que l'utilisation ci-dessus calculée de 52,6 ou de 54,9, ou, en nombre rond et en moyenne, 54 p. 100, est relative aux calories qui ont été transmises au calorifère, et non à celles qui ont été développées sur la grille par la combustion.
On utilise 54 p. 100, non des N calories ainsi développées, mais des N — Pc 6 transmises au calorifère. (Voir n* 479.)
En faisant, comme on l'a dit,
ce qui donne
on trouve N — Pc 6 = 4262.
C'est-à-dire que sur les 6,500 calories développées sur la grille, on oepeut, dans les conditions indiquées, en transmettre que 4262, ou environ 66 p. 100, le reste étant enlevé par la chaleur sensible des fumées qui se rendent à la cheminée.
On obtiendra donc finalement un travail utile qui sera de 0,54 X 425 =: 229,50 kilogrammètres par calorie, et de 229,5 X 4262 = 978129 kilogrammèlres par kil. de combustible brûlé sur la grille.
Comme un cheval-vapeur correspond à un travail de 75 kilogrammètres par seconde, ou 270,000 kilogrammètres par heure, on exprimera les résultats ci-dessus en disant que l'on consommera
^-^ Q = 0''.28 de houille par cheval et par heure, ou bien que
978129 l'on obtiendra une force de j.-^.T7rjT= 5'\0 par kilogi*amme de
charbon brûlé dans une heure de temps.
430 COURS DE HAGUINË8.
Tel est le rendement maximum auquel on puisse prétendre, en utilisant aussi bien que possible, d'une part la chaleur développée sur la grille, pour chauffer le calorifère, et d'autre part la chaleur reçue par ce calorifère et cédée par lui au corps, quel qu'il soit, employé comme intermédiaire dans la machine.
C'est une limite qu'on est assez loin d'atteindre, en pratique, dans les machines à feu, et cela pour plusieurs motifs.
D'abord la chaleur dégagée sur le foyer ne se partage pas uniquement entre les produits de la combustion et le calorifère, une notable partie étant toujours perdue par rayonnement ou par conductibilité, ou par l'excès de température que conserve habituellement la fumée.
En second lieu, l'écart des températures entre le calorifère elle réfrigérant et la température du calorifère sont généralement moindres qu'on ne l'a supposé dans ce qui précède.
En troisième lieu, on n'utilise pas entièrement la détente, ainsi qu'on le verra plus loin, et le cycle de Carnot n'est pas complet, ce qui est toujours au préjudice du rendement.
Enfin, on estime habituellement la force en chevaux d'une ma* chine en prenant la force disponible sur l'arbre du volant, et le travail de la vapeur se trouve réduit par les frottements qui se développent depuis le piston jusqu'à l'arbre du volant inclusivement.
On reviendra sur ces divers points dans Fétude spéciale des machines à vapeur.
(48i) Les indications précédentes (n* 460 et suivantes) renfermant toutes les notions nécessaires, pour bien comprendre l'application de la théorie mécanique de la chaleur aux machines à feu quelconques, pour montrer dans quels sens on doit marcher en vue d'essayer de perfectionner ces moteurs, et pour permettre d'apprécier, en quelque sorte à Favance, le résultat à attendre d'un de ces perfectionnements.
On pourrait s'arrêter là dans l'exposé de la théorie ; cependant il ne parait pas inutile de reprendre par l'analyse plusieurs des points traités ci-dessus.
On vérifiera ainsi les résultats obtenus précédemment, et Ton re-
THÉORIl:; MBGAfllQIIE DE Là CHALEUR. 431
connaîtra que les formules établies directement pour les gaz parfaits ne sont que des cas particuliers des formules plus générales applicables aux autres corps.
(48«) Si l'on désigne par Vie volume actuel qu'occupe 1' d'un corps quelconque à une pression p et à une tempérai ure^ on peut considérer les variations simultanées des trois éléments Vp et ty et regarder l'un quelconque de ces éléments comme une fonction des deux autres pris comme variables indépendantes.
Ces variations simultanées feront en général varier l'énergie intérieure du corps ; en regardant t comme une fonction de p et de V, et reprenant les notions exposées aux n~ 4H et 412, nous pourrons poser, en désignant par U la chaleur interne contenue dans le corps
Si Ton désigne par dq la quantité totale de chaleur qui a été appliquée pour produire la variation d'état observée sur le corps, la quantité dq correspondra, non-seulement à la variation de la chaleur interne du corps, mais encore au travail extérieur résultant de la la pression p et de la variation de volume dv.
On posera donc dg = dU 4- Apdv (A étant la quantité ^^ ou
l'équivalent calorifique du travail); par suite Téquation précédente deviendra :
ou en intégrant
dç = Xdp 4- (Y + Ap) dv.
^-ç' = U— D'-f-A Tpd».
D'ailleurs on a y- -= y^, puisque la quantité U doit être regardée
comme une fonction du volume et de la pression. D'un autre côté on a
432 COURS DE MAGULNES.
d'où
d*q d\ d^q — ^-UA dpdv dv* dvdp dp
On voit que y-y- n'est pas égal à y-y , c est-à-dire que la fonction q n'est pas intégrable entre deux limites données, ou que sa valeur ne dépend pas seulement de l'état final et de l'état initial du corps, mais aussi des états intermédiaires; ce qui est bien évident,
car le travail / pdv dépend de la loi suivant laquelle ont varié ces
états intermédiaires, et la quantité de ciialeur consommée dépend de ce travail.
(488) On peut mettre en évidence, dans les formules ci-dessus, les chaleurs spécifiques à volume constant ou à pression constante.
On les obtiendra en prenant la valeur générale de^ , savoir :
dt -^^ dt^^^^^^Ut
et faisant successivement -t- = 0, -^^ = 0.
dt dt
Onaainsic. = J^ = xJ;,etc=^=(Y + A,,)^. D'où l'on tire X = c^ y , et Y -f- A;/ = c y , et par suite :
d[} = c/ldp-^(^of~^Kp')d^
. dt , dt ^
dq=-c,^^dp-^c^^ dv.
Ces équations posées, considérons le corps dans la position définie par les quantités p et t;, regardées comme l'ordonnée et l'abscisse du point qui caractérise Tétat actuel du corps.
Supposons le point figuratif d'abord en A {fig, 160); considérons une évolution élémentaire dans laquelle il passe d'abord de A en fit
en augmentant de pression sans changer de volume, puis de B en A', en augmentant de volume sans changer de pression.
Supposons ensuite qu'on revienne de A' en A, par le chemin A'GA; de A' en G on diminuera la pression sans changer le volume, et enfin du point C au point de départ A on réduira le volume sans changer la pression.
Cette évolution achevée, le corps sera revenu à son état primitif et le travail extérieur produit sera évidemment (p+dp) dv — pdv=pdv^ ou Taire du petit rectangle ABA'C.
Cherchons la dépense correspondante de chaleur.
La chaleur dépensée de A en B a pour expression a = c^^ dp.
Celle qui sera dégagée de A' en C sera la même quantité modifiée seulement en ce que le volume v est devenu t; -h dv, ou, en d'autres termes, en ce que celte quantité est augmentée de sa différentielle par rapport à v.
Cette différentielle s'obtiendra en différenciant par rapporta v et considérant dp comme un facteur constant.
On aura donc
/de, dt . , d*t .\. , /rfci dt ^ dH\.,
^'=^^'^[didp'^P-^'^dfivV^"^"'^\didp-^'^W^^
La chaleur dégagée de G en A a pour expression p = c --j-dv, et on
trouvera, pour la chaleur dépensée de B en A', en raisonnant comme ci-dessus :
« o /de dt , , dH .\ . a , fdcdt ^ dH \ . . ^' = ^-^{d]>Tv'^'-^''dvdp^V^P = ^-^[TpTv'^'d^)
Prenant la quantité a + p' — a' — fi, et remarquant que
d*c d^c dvdp dpdo^
on trouirera définitivement pour la chaleur dépensée
r/ \ dn . dcdt dcidt] , ,
[['-VdJi^il-^dpdv'^Tv dp]^^''''
Le rapport de la chaleur dépensée au travail produit tfpdt^ est donc:
. , dH dcdl dcy dt
'^ "" ^'^ dpdv '^dpdv di dp-' ^'
Cette fonction, d'après le principe de Meyer, doit être la même pour tous les corps.
Elle indique une relation qui doit nécessairement exister^ pour un corps quelconque, entre les trois éléments p.v^lt qui caractérisent un état donné de ce corps et ses deux chaleurs spécifiques correspondantes.
On ne connaît encore, pour aucun corps solide ou liquide^ les équations qui lient entre elles ces diverses quantités; mais on les a pour les gaz parfaits, et Ton peut vérifier facilement qu'on retrouve ainsi pour la quantité A la valeur déjà connue.
On a vu en effet que, pour un gaz, les deux chaleurs spécifiques sont constantes, ce qui annule les deux derniers termes du premier membre de l'égalité ci-dessus.
D'ailleurs la relation générale PV zz= R' (a -+- t) nous donne, puisqu'on Ton a fait Q = 1 ,
PV — R// L#\ ^* V di p d't dH \ rv-n [a-^t), g^ — jf. ^- - p 5^t "" rfïSp - R'"
c ^— c Par suite Tégalité devient — ttt— * = A, résultat qui est celui qu'on
a déjà obtenu (voir n~360 et 453).
(484) Le principe de Meyer donne en général q — ç* == AT,, ? étant la chaleur enlevée à un calorifère, qi la chaleur cédée à un réfrigérant, et T» le travail disponible correspondant à une évolution complète et réversible du corps.
Le principe de Glausius indique en outre que q — 9^,9, et^, dans le cas d'une semblable évolution, sont des quantités constamment proportionnelles, pouvant varier avec les températures, mais de la même manière pour tous les corps.
Considérant donc un écart de température infiniment petit la
quantité q — 9' devient dq'i et lerapport -7-est le même pour tous
les corps et ne dépend que de la température. Si donc on pose
on a
^ fit) fit)
et la quantité 'j^ est une fonction indépendante de la nature du corps.
D'ailleurs, quand on considère le cycle compris entre deux courbes isothermes infiniment rapprochées, Taire comprise entre ces deux lignes isothermes et entre les deux lignes à chaleur constante qui
complètent le cycle, a pour expression jdpdv, comme on le reconnaît facilement à l'inspection de la figure 161; carie quadrilatère mixtiligne, qui est la différentielle de cette aire ABB'A', peut être regardé à la limite comme un parallélogramme égal au rectangle BCC'B',
dont la base est dv et la hauteur dp. On ai donc dq' = A f dpdv , qui peut s'écrire en remplaçant dq^ par sa valeur d^ = q' ^' dt
q^dtx^j^^=Afdpdv q^dt = kt^^fdpdv.
Telle est la relation qui donnera la quantité g' correspondant à un cycle d'une dimension linéaire finie suivant les lignes isothermes, mais compris entre deux lignes isothermes distantes d'une quantité infiniment petite caractérisée par la quantité dt.
Si Ton différentie en regardant la température comme constante
fit) on aura, en écrivant ç (i) au lieu de —y
dq'dt=ik(^(t)dpdv,
équation au moyen de laquelle on déterminera dq' lorsqu'on aura des valeurs correspondantes de dt, dp et dv, et qu'en outre on connaîtra cette fonction 9 (t) qui doit être la même pour tous les corps de la nature.
430 COURS DE MAGHIMES.
(485) Pour la déterminer, on remarquera que d(f, ou, si l'on veut effacer l'accent, dq étant pris le long d'une ligne isotherme, sa
valeur générale c^-t- dp-hCj-dv (voir n** 483), doit être prise dans
Thypothèse d'une température constante, ou avec la relation
Il vient donc
dv
dg=:(c-c,) ■;rdv
dqdt = (c - Cl) ^^ dvdt = A (<pO dpdv
et par suite
d'où l'on déduit
. c — Ct df rf^ *^ ^^' dv dp
"^ "' "" A dvdp^ d^ . If 1' ^ ''l
*' dpdv dp dv dv dp*
L'équation devient alors :
dqdt =:{C^C,)^^^ dpdv.
La valeur de 9 {t) donne une seconde condition générale à laquelle un corps quelconque doit satisfaire.
Il faut qu'en calculant la quantité indiquée au second membre, on trouve, quel que soit le corps, pour le dénominateur, une quantité numérique (laquelle doit être égale à A), et pour le numérateur une même fonction de t.
Pour calculer cette fonction il faudrait, comme au numéro précédent, connaître pour un corps les valeurs simultanées dep,t;,f,cel c^ ; on ne les connaît, ainsi que nous l'avons dit plus haut, que pour les gaz.
Or, pour ces corps, les deux derniers termes du dénominateur sont nuls ; il vient alors, en supprimant le facteur commun e — c^-
dtdt
dpdv
TflftORIE MËGANtQUE DE LA CHALEUR. 437
Comme on a
il vient
d ailleurs -r—r cz=:—.
dpdv R
È, — E ^ — 1 dv ~ !{' ^^ dp " K'*
did^^Pl dv dp " R'«
On en déduit
^(0=gxR'-^ = (a + 0
Ainsi cette fonction 9 (t) est simplement la température absolue -I- tj et Tèquation dqdt=k(f (t) dpdv devient
dqdt=:k,{a-hi) dpdv.
f(t) rit) *
On a d'ailleurs 9 (t) = ^r^ et par suite '-^
Multipliant par dt et intégrant il vient
// (i) = / (a + <) 4- const /•(<) = M (a 4- <)
ou enfin q = f(t) = M (0 -h r).
Cette relation générale vérifie le principe de Clausius.
Ayant en général 9 = M (a + ^ , 9' = M' (a-h t^) la proportionnalité de q et q' aux températures absolues a -h t, et a -h t^, quelles qu'elles soient, implique que pour avoir un cycle fermé réversible, il faut s'imposer de mettre le corps en relation avec les deux sources de chaleur dans des conditions telles que l'on ait M = M' ; dès lors les trois quantités q^ 9' et g — q' sont bien en effet dans le rapport des quantités a + f,, a -h ^^ et ^, — t^.
Cette vérification n'est d'ailleurs qu'un simple rapprochement montrant l'exactitude des calculs, puisque l'équation définitive ç=M (a + 0 à laquelle on vient d'arriver, est déduite de l'équation dqdt = A (a + 1) dpdvj qui n'est obtenue elle-même que par l'application du principe de Clausius.
438 COURS DE ViGHINSS.
(486) La relation qui existe, dans le cycle de Carnot, entre les quantités de chalenr g et g' et les températures absolues correspondantes-^ = ^^-^ peut s'écrire — ^ ^ = 0, ou bien
en convenant de regarder comme positives les calories cédées au corps et comme négatives celles qu'il cède.
Cette relation, vraie pour un cycle de Carnot, est vraie aussi pour un nombre quelconque de semblables cycles.
Si l'on a un cycle autre que celui de Carnot, la quantité
^ ~^ = 1 — ~ diminue, ou — augmente, on a donc q q q ^
OU — i— ^ < 0 ou enfin 2 — ^ < 0.
On voit que pour un cycle quelconque on a généralement
l'égalité s'appliquant au cycle de Carnot, et l'inégalité à tout autre cycle.
(48V) Mais si Ton considère un cycle pour lequel on ait la relation 1 — ^ < 0, on peut par la pensée le décomposer en un grand
nombre de cycles par une série de lignes adiabaiiques. En se reportant à la figure du n*" 469 (fig. 157), on voit qu'un cycle partiel diffère infiniment peu du cycle de Carnot que l'on pourrait obtenir en menant par les points p et 9, ou m et n, les lignes isothermes correspondantes ; car les triangles tels que mm'p ou rnp'p, sont in6niment petits relativement au quadrilatère ÂBCD. On aura donc pour ce cycle élémentaire
a+<', a + ^'i' a -ht
OU, plutôt, / — ^= 0 en passant à un nombre infini de cycles infiniment petits.
On voit que la quantité / — — reste nulle, c'est-à-dire qu'on a
/ — ^ = 0, relation que Ton connaît sous le nom d'équation de
Clausius.
Cette équation est toujours satisfaite, pour un cycle fermé quelconque, à la condition de prendre en mp et en nq, non les températures de la source avec laquelle le corps communique actuellement, mais la température propre du corps.
L'équation / — ^ = 0, revient, analytiquement, à dire que, si
la quantité dq=\dp -{- (Y -{- kp) dv, n'est pas intégrable entre des limites données (voir n** 482), c'est-à-dire que la valeur de q dépend non-seulement de l'état initial et de l'état final, mais encore des états intermédiaires du corps, parce que ces états intermédiaires
influent sur la quantité A 1 pdv, cette même quantité dq devient au
conlraire intégrable en divisant par a-h t, c'est-à-dire que
est, pour tous les corps, quels qu'ils soient, le facteur dHntégrabilité de la fonction \dp -h (Y -i- Ap) dv.
C'est ce qu'on peut vérifier immédiatement pour les gaz.
On a en effet d'après le n"" 483,
V ''^ V . A dt D'ailleurs pour les gaz on a
donc
mdp + (Y -H Ap) dv= ^ * -h f dv.
Cette quantité n'est pas intégrable, si V et p sont deux variables indépendantes : mais elle le devient en divisant par a -ht.
Ai» COURS DE NAGHINES.
En effet, en remarquant que Ton a R' (a -h t) = pV, on en tire a -f- ^ = ^ et la quantité
devient successivement
pv ^ pv P •
formule qui s'intègre immédiatement, puisque les variables y sont séparées.
La vérification directe ne peut se faire pour un corps autre que les gaz, pour lequel en général les quantités X et Y + Ap, ne sont pas connues.
Mais cela résulte de l'égalité / — — = 0.
Cette égalité peut en effet s'écrire l --^= I — ^» ^^ désignant
par q la chaleur reçue (Tun système quelconque de calorifères et 9' la chaleur cédée à un système correspondant de réfrigérants, réalisant tin cyde fermé quelconque.
On voit que l'intégrale définie l —2—, qui correspond à la chaleur reçue est égale et de signe contraire à l'intégrale 1 —^ qui
correspond à la chaleur cédée entre les mêmes limites ; Tune et Tautre de ces intégrales ne dépendent donc que de ces limites, et non du système de calorifères ou de réfrigérants employé dans un cas particulier.
D'ailleurs, dans le cas particulier du cycle de Camot, on peut vérifier l'intégrabilité de la fonction 1 — ^ ; car puisque l'on a d'après le n" 485
on en déduit dq = Mdt et par suite — '— = M — -, et on en tire
(488) Revenant au n*471, concernant les régénérateurs, on peut voir à quelle condition analytique doivent satisfaire les deux courbes conjuguées BC et DA', pour que le régénérateur fonctionne convenablement.
On a, d'après la relation générale du n"" 485, pour un point quelconque
d\} zz: Cl -|- dp -h c T- dv — kpdv.
U faut avoir, pour les points correspondants de ces deux courbes, une même valeur de (m, c'est-à-dire que les quantités ci-dessus, calculées pour ces deux points, doivent donner la même valeur.
De l'équation ci-dessus on déduit :
dV ^ . dv --^c,^.c-Ap^.
D faut donc poser
Ci + «~Ap3j;=C,^.C-Ap'(^^^j,
en mettant des accents pour distinguer le second point du premier. On en tire
relation qui doit exister en général, et qui, dans le cas des gaz pour lesquels les quantités c^et c sont constantes, revient à l'équation du n*457.
(489) Nous répétons, en terminant, que les détails exposés dans ce chapitre et dans le précédent renferment tout ce qu'il est nécessaire et tout ce qu'il c^l suffisant de connaître, pour comprendre lapplication aux diverses machines à feu des principes de la théorie mécanique de la chaleur.
442 COUBS D8 MAGHraES.
Pour aller plus loin, c'est-à-dire pour faire l'application elU-inême, et arriver à des résultats numériques, il faut connaître, pour chaque corps que Ton voudrait employer comme agent, les propriétés physiques de ce corps et les valeurs numériques par lesquelles ces propriétés sont caractérisées.
C'est ce que nous ferons dans le chapitre suivant, en insistant spécialement sur la vapeur d'eau qui est^ qtiant à pi^ésent, et qui, par des motifs qu'on indiquera en leur lieu, parait devoir rester l'agent ou l'intermédiaire le plus généralement employé.
