LE PRINCIPE DE GONTHADICTION

plexes dont l'explication est à prendre en d'autres notions. Tel est le cas pour la proposition : Le tout est plus grand que la partie, par exemple, les idées de tout et de partie étant primitives, et la seconde impliquée par la première. Mais cette définition devient insullisante, si l'on n'admet pas qu'on regardera également comme analytiques les propositions qui se déduisent analytiquement d'autres propositions admises comme synthétiques, ou par hypothèse comme s'admettent en logique formelle les prémisses d'un syllogisme.

Appliquons à l'exemple qu'a pris Kant notre extension du nom à'' analy tique aux propositions déduites analytiquement de celles qui ont des fondements synthétiques, comme en ont nécessairement toutes nos connaissances possibles. Les premiers nombres, ou sommes d'unités: 2, 3, k... sont — sans fixer celui où l'intuition cesse de s'appliquer, et qui dépend de l'étendue de l'imagination de l'individu — des concepts synthétiques liés à des intuitions. Mais, dès que l'on possède de ces concepts le petit nombre indispensable pour établir un système de numération, le binaire, par exemple, qui est le plus élémentaire, tous les nombres possibles sont constitués a priori dans leur série indéfinie, et tout nombre peut se former et s'écrire, l'addition de deux nombres s'opérer et se démontrer, et tous les nombres se ramener ainsi, analytiquement, aux premiers qui sont des synthèses. Prenons l'exemple de Kant, la prétendue synthèse directe, inévitable, de deux nombres pour en former un troisième: sept et cinq égalent douze. Le nombre sept, en numération binaire, s'écrit m, et le nombre cinq s'écrit loi, l'addition des deux nombres ainsi écrits donne iioo, qui est douze. L'addition donnant ce résultat est donc une opération analytique. 11 faut seulement supposer connus synthétiquement quelques nombres inférieurs à sept et à cinq, nécessaires

pour iiislitLier le système de numération, en y joignant Tapplication de la loi des puissances successives de deux, idée constructive de la numération binaire, loi simple et familière de la duplication et de la série des pairs et des impairs.

Une fois que le concept de nombre est arrêté, un système de numération à base quelconque adopté, et les opérations arithmétiques définies et démontrées par son moyen, qui sont le principe de toutes les fonctions mathématiques, la mathématique pure tout entière se présente comme une science analytique, contre l'opinion de Kant. Les synthèses sont au fondement. Les unes remontent et s'attachent directement aux catégories de Quantité et de Qualité pour les idées d'unité et de pluralité, de partie et de tout, pour les lois du raisonnement, pour les conditions de la démonstration. Les autres, plus nombreuses, se rapportent à l'intuition spatiale et aux lois de la figure. Il n'y a jugement synthétique, à proprement parler, que dans les cas où les relations envisagées rapprochent des termes pour ainsi dire hétérogènes, appartenant respectivement à différentes catégories : exemples, la définition de la ligne droite par la synthèse de la direction (rapport de figure) et de la distance (rapport de quantité et de mesure) ; ou encore Vaxiome, que deux lignes droites (figure) n'enferment par un espace (étendue), ou que tout côté d'un triangle (figure) est plus court que la somme des deux autres (quantité). Au contraire, des lois non moins fondamentales, la perpendicularité, le parallélisme même, en dépit de la fameuse invention du postulat, ne dépendent que de l'intuition et de la figure, et les démonstrations de géométrie supposent, à tout bout de champ, des actes de reconnaissance et de constatation de rapports de figures entièrement intuitifs. 11 y en a d'essentiels qui ne souffrent ni contra-

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diction ni analyse : la demande d'Euclide : qu'on puisse toujours, d'un centre quelconque avec un intervalle quelconque, décrire un cercle, et la demande d'Archimède, que, si deux lignes concaves d'un même côté ont mêmes extrémités, et que l'une entoure l'autre, la ligne entourante est plus longue que l'entourée, et, avant ces intuitions, les grandes idées abstraites, la ligne et la surface pures, le point sans quantité, la tangence, la division sans fin.

\ous ne savons s'il faut entendre, chez Kant,que toute intuition géométrique est un jugement synthétique. En ce cas il est clair que toute proposition de géométrie constituerait un tel jugement; car il est manifeste qu'il n'en est pas une dont l'énoncé et la démonstration n'impliquent l'imagination d'une figure et à la fois sa définition, qui en est aussi la généralisation, et les images des changements qui ont lieu pour sa construction et pour le détail de ses relations à constater ou à établir. Il nous semble que le jugement synthétique proprement dit ne doit s'appliquer qu'aux cas où les rapports se posent entre des notions dépendantes de différentes catégories : entre la figure et la quantité, spécialement, et entre les intuitions et les conséquences logiques. Les intuitions pures, en géométrie, qui n'exigent aucune réflexion différent beaucoup des jugements explicatifs.

La logique et l'intuition s'accompagnent, d'ailleurs, l'une s'appliquant à l'autre, et ne se heurtent pas ; cependant la négation d'un fait intuitif n'entraîne point nécessairement la contradiction avec d'autres intuitions admises, quand on remplace ce fait par une hypothèse à laquelle par après on reste fidèle. Euclide ne se doutait pas, quand il croyait devoir séparer de certains autres cas d'intuition, pour en faire une demande expresse, un cas très particulièrement saillant, le parai-

lélisine, qu'il déposait ainsi, dans le corps de la géométrie, le germe d'une sorte d'abcès, qui, bien des siècles après, se développerait par suite de cette observation de quelques géomètres, non médiocres d'ailleurs : que le parallélisme (dans le sens d'impossibilité de rencontre) n'étant pas une loi démontrable par l'application des autres relations, lois premières admises dans la science, il pouvait être nié sans contradiction ; que les conséquences tirées d'un contre-postulat ne se trouvaient pas non plus contradictoires; et qu'enfin ces géomètres, raisonnant sur le même fondement, arriveraient à penser que peut-être la loi des trois dimensions de l'étendue, la plus générale des intuitions géométriques, n'est rien de plus qu'un fait empirique, qu'il est licite d'inventer des géométries nouvelles en disposant à volonté du nombre des dimensions, en les réduisant à deux, en les portant à quatre, etc. Et, en effet, les lois d'intuition sont empiriques, exactement comme sont des faits empiriques nos sens, notre organisation sensible, notre imagination et notre conscience même ! La remarque ne vient pas ici hors de propos. Kant est le premier, croyons-nous, qui se soit hasardé quelque part à donner à la perception des trois dimensions une autre origine que l'intuition sensible.

La théorie kantienne de l'intuition en mathématique donne lieu pour nous à deux remarques dont l'une est d'une importance capitale pour la question de la certitude en philosophie, et dont la seconde intéresse seulement la méthode de démonstration et d'enseignement en géométrie.

Les philosophes du xvii" siècle. Descartes surtout, qui avaient coutume de citer comme le type des vérités a priori inébranlables la proposition de la somme des angles d'un triangle rectiligne égale à deux droits, n'auraient point imaginé que des géomètres sérieux pussent