LK PRINCIPE DE CONTRADICTION
jamais mettre en cloute et ce théorème et tous ceux qui dépendent du postulat des parallèles, c'est-à-dire la géométrie crEuclide. Et Kant lorsqu'il émettait cette idée que la connaissance des dimensions de l'étendue n'est révélée à nos sens que |)ar la direction des forces était loin de penser (jue leur nombre ne fût pas nécessairement ce qu'il nous parait être. Il croyait à la nécessité a priori des principes mathématiques et de bien d'autres que nous allons lui voir allirmer sur la matière et la causalité sous le titre cV Analogies de l'expérience. Kant en appelait à la croyance sur des points où il interdisait la théorie comme logiquement impossible et il réclamait la certitude pour certains autres dont la vérité avait été et était toujours disputée, et dont les plus inébranlables, selon lui, devaient être un jour renversés, 671 ce qui touche leur valeur apodictique, par les hommes les plus compétents dans cette partie, les géomètres. Voilà donc où en était restée la critique de la Raison pure sur la question de toutes les questions : la certitude.
Lorsqu'on a reconnu la présence inévitable des propositions intuitives, sans démonstration possible à l'entrée de la géométrie, et puis encore au cours des démonstrations, où il faut souvent s'en remettre à des constatations intuitives dans l'usage des imaginations et des constructions schématiques, on ne peut s'empêcher de trouver de l'abus et de l'illusion dans l'effort que les géomètres ont fait, très justement en principe, pour réduire au minimum le nombre des notions communes ou des postulats que la science présuppose en fondement. Si Euclide, au lieu de demander que deux droites qui font, avec une sécante commune, deux angles intérieurs du même côté, dont la somme est moindre que deux droits, se rencontrent nécessairement de ce côté, (c'est le postulat dit des parallèles) avait demandé lu
construction du polygone plan convexe comme il a demandé celle de la circonférence, en plaçant, dans une définition, la propriété caractéristique d'une telle figure, il aurait pro])ablement évité aux géomètres de la postérité la peine que leur a donnée ce postulat considéré comme un cas singulier entre tous les cas de relations non réductibles à d'autres et, par conséquent, non démontrables. Il aurait pu établir en effet que, de même que les rayons d'une circonférence forment à son centre comme sommet commun les uns avec les autres une suite d'angles qui embrassent tout l'horizon du plan, en sorte que leur somme, s'il n'y a pas entre eux de superposition, est égale à quatre droits; de même les côtés du polygone plan convexe forment, en s'inclinant les uns sur les autres dans le même sens, (de droits à gauche, par exemple) une suite d'angles extérieurs dont les angles intérieurs du polygone sont respectivement les (complémentaires. Le tour de l'horizon se trouvant accompli par l'addition des angles que les côtés font entre eux du premier au second, du second au troisième, etc., jusqu'au dernier qui est celui dont le tracé est parti, la somme des angles extérieurs qui mesurent la suite des inclinaisons des côtés dans le même sens est égale à quatre droits, ainsi que cela a lieu dans le cas des rayons de la circonférence, pour laquelle le contour angulaire se fait autour d'un point comme sommet; au lieu de se faire par un développement de droites inclinées les unes sur les autres sur un même plan, pour engendrer une figure polygonale fermée.
Il n'est pas douteux que là se trouve le point de vue naturel et fondamental de la seconde relation capitale que nous présente la géométrie en son fondement, et qui, considérée logiquement, est un jugement synthétique a priori. La première est constituée par le rap-
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prochementdes idées de la ligne droite et de la moindre dislance de deux points. Celle dont nous nous occupons ici se pose également entre une loi de figure et une loi de quantité, dans l'étendue, et l'intuition correspondante, que nous venons de préciser par la définition du polygone convexe, offre un passage immédiat, d'une part au théorème de la somme des angles du triangle, de l'autre à la démonstration du cas géométricjue des droites parallèles.
En effet la somme des angles, tant intérieurs qu'extérieurs, d'un triangle dont on prolonge les trois côtés dans un même sens est égale à six droits, puisque les deux angles réciproquement complémentaires, à chacun des trois sommets du triangle, forment deux angles droits. Or, la somme des angles extérieurs est égale à quatre droits, le triangle n'étant qu'un cas, et le plus simple, du pol3gone plan convexe auquel appartient cette propriété générale. En ôtant de la somme totale des angles, tant intérieurs qu'extérieurs, qui est égale à six, la somme des angles extérieurs qui est égale à quatre, il reste deux angles droits qui sont la somme des angles intérieurs du triangle.
Si deux droites coupées par une sécante forment avec elle deux angles intérieurs du même côté dont la somme soit égale à deux droits, ces droites ne peuvent se rencontrer de quelque côté qu'elles se prolongent; car si elles se rencontraient elles formeraient avec la sécante un triangle dont la somme des angles seraient plus grande que deux di'oits, ce qui, d'après la proposition précédente, n'est pas possible. L'existence du parallélisme est ainsi démontrée ainsi que la [)ropriété caractéristique des parallèles coupées par une sécante. 11 reste à démontrer la réciproque de celle propriété, c'est-à-dire le postulat d'Euclidc, la nécessité que deux droites, qui n'y satisfont pas, se rencontrent si elles sont
suffisamment prolongées, et, en d'autres termes, l'impossibilité de mener, à un point donné, plus d'une parallèle à une di'oite donnée. Or, considérons les deux droites qui forment avec la sécante deux angles intérieurs du même côté dont la somme est moindre que deux droits. Du côté opposé où les droites sont divergentes, la rencontre est impossible parce qu'elle donnerait lieu à un triangle doilt la somme des angles dépasserait deux droits. Du côté où les droites convergent, la rencontre est nécessaire parce que la loi de formation du triangle par une droite inclinée sur une autre, et par une troisième inclinée sur la seconde, dans le même sens, exige que cette troisième dépasse, en son inclinaison par rapport à la première, le degré où elle se trouverait lui être parallèle ; et alors le troisième angle du triangle est déterminé d'avance, si la rencontre a lieu ; or, il est certain qu'en disposant de cette inclinaison on peut toujours rendre la rencontre nécessaire, et il est impossible de déterminer le degré où elle devient possible, si ce n'est pas précisément celui où cesse le parallélisme, attendu qu'aucune différence n'est assignable entre un degré et un autre degré plus prononcé de l'inclinaison qui rendrait la rencontre possible. La désig-nation de Tano-le voulu serait sans raison.
