LIVRAISON DU 15 JUILLET

Mémoire sur l'établissement d'uù tribunal international et la rédaction d'un code international, par PauZ Lacombe, — L'armée et le budget, par Th, La Coste, — L'industrie du fer en Europe, par E, Avril. — La théorie du libre échange et le libre échange à l'intérieur, par Ménier. — Chronique économique. — Bulletin économique. — Bulletin politique.

REVISTA CONTEMPORANEA Director D. José del Perojo (Madrid, San Mateo 11, Bajo).

Nous signalons dans les derniers numéros parus de cette Revue les articles suivants :

La religion du posiiivisme, par Mark Pâtisson, trad. de la Contemporary Review (n^ du 4 5 avril) ; — Le positivisme à l'Athénée de Madrid, par Gumersindo de Âzcor raie[rï^ du 15 mai) ; — Origine et développement de l'homme, selon Darwin, Lyell, Huxley, Lubbock, trad. delà Westminster Review {n^ du 30 mai et du 15 juin); — La responsabilité et l'irresponsabilité légales du pape, par Bluntsckli (n** du 15 juin); — Les courants de la pensée religieuse, par W, E. Gladstone^ trad. de la Contemporary Review (n^ du 30 juin) ; — Le positivisme et la civilisation, par Gumersindo de Azcarate {n^ du 30 juin et du 30 juillet).

Le rédacteur^gérant : ^^ î'moN

1AIV:S. .MPHIHKHIK DU U. IIAHTI.HKT, AVh MIUNOH, 2

6''« ANNÉE. 31 AOUT 4876. «o 31

POLITIQUE, SCIENTIFIQUE, LITTÉRAIRE

l'infini et le continu : théorie de LEIBNIZ.

Les antinomies kantiennes ont dans Thistoire de la philosophie un précédent considérable sur lequel l'attention des penseurs ne s'est point assez portée. Pour ne pas remonter jusqu'aux dialecticiens de l'antiquité qui se sont merveilleusement aperçus des contradictions inhérentes aux doctrines métaphysiques, quoiqu'ils aient rarement trouvé l'expression logique, simple et rigoureuse^ exempte d'apparences sophistiques, de ce qu'on se plut à nommer leurs «sophismes », on peut citer des auteurs du XVI* et du XVII* siècle comme ayant reconnu le caractère antinomique de certaines thèses, défendables par des arguments entre lesquels un esprit sans préventions était forcé de choisir et ne voyait moyen de choisir. Ils appelèrent labyrinthe ce que nous appelons aujourd'hui antinomie^ et ce nom était très-bien trouvé pour peindre l'embarras du métaphysicien à qui ne s'ouvrent, pour sortir de ses difficultés, que des chemins pleins de difficultés également empêchantes.

a II faut venir, dit Leibniz dans le discours préliminaire de sa Théo^ âicée^ à la grande question que M. Bayle a mise sur le tapis depuis peu, savoir, si une vérité, et surtout une vérité de foi, pourra être sujette à des objections insolubles. Cet excellent auteur semble soutenir hautement l'affirmative de cette question; il cite des théologiens graves de son parti, et même de celui de Rome, qui paraissent dire ce qu'il prétend ; et il allègue des philosophes qui ont cru qu'il y a môme des vérités philosophiques dont les défenseurs ne sauraient répondre aux objections qu'on leur fait. Il croit que la doctrine de la prédestination est de cette nature dans la théologie, et celle de la composition du continuum dans la philosophie. Ce sont en effet les deux labyrinthes qui ont exercé de tout temps les théologiens et les philosophes. Libertus Fromondus, théologien de Louvain (grand ami de Jansenius dont il a même publié le livre posthume intitulé Augtistinus) qui a fort travaillé sur la grftce, et qui a fait aussi un livre exprès intitulé Labyrinthus de

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compositïone continui, a bien expérimenté les difficultés de Tun et de l'autre; et le fameux Ochin (1) a fort bien représenté ce qu'il appelle les Labyrinthes de la prédestination.

» Mais ces auteurs n'ont point nié quil soit possible de trouver an âl dans le labyrinthe, et ils auront reconnu la difficulté, mais ils ne seront point allés du difficile jusqu'à l'impossible (2). Pour moi, j'avoue que je ne saurais être du sentiment de ceux qui soutiennent qu'une vérité peut souffrir des objections invincibles; car une objection est-elle autre chose qu'un argument dont la conclusion contredit à notre thèse ? Et un argument invincible n'est-il pas une démonstration ? Et comment peut-on connaître la certitude des démonstrations, qu'en examinant l'argument en détail, la forme et la matière? Afin de voir si la forme est bonne, et puis si chaque prémisse est ou reconnue, ou prouvée par un autre argument de pareille force, jusqu'à ce qu'on n'ait besoin que de prémisses reconnues. Or, s'il y aune telle objection oontre notre thèse, il faut dire que la fausseté de cette thèse est démontrée ; et qu'il est impossible que nous puissions avoir des raisons suffisantes pour la prouver ; autrement deux contradictoires seraient véritables tout à la fois. Il faut toujours céder aux démonstrations, soit qu'elles soient proposées pour affirmer, soit qu'on les avance en forme d'objections, n

Leibniz ne voulait donc pas qu'il y eût des vérités antinomiques ; il les nommait de leur vrai nom des contradictions, et était irréprochable en cela, comme logicien. Mais]alors il aurait fallu que, reconnaissant, dans l'examen d'une doctrine, certaines thèses simultanément admises et que l'entendement ne peut assembler parce que l'une chasse l'autre, 11 abandonnât cette doctrine. C'est ce qu'il n'a point fait quand il a traité la question du continu^ quoiqu'il en ait parfaitement connu les difficultés. Toule difficulté grave en métaphysique est au fond une impossibilité, c'est-à-dire ^une contradiction latente, ou que l'esprit du métaphysicien travaille à se dissimuler parce qu'il ne lui platt point de prendre le parti auquel il serait forcé en se l'avouant La contradiction du continu est donc apparue à Leibniz^ mais il lui a convenu de s'en

(1) Bernardino Ochino, protestant italien du xi^ sièelo, auteur du Uvie intitulé : Le prediohe di msner B, Oohino^ nomate Lahyrinthij overo del servo arbitrio^ prescienza^ predestimuione s liberta divina e del modo per usarsû Bâie, 1560.

1^2) Pour ce qui est de Froimont, nous ne savons, n'ayant jamais rencontré son ouvrage ; mais quant à Ochin, Leibniz se trompe certainement ; car après avoir disputé le pour et le contre de la prédestination et du libre arbitre, Ochin conclut au douta systématique tar oee questiout, comme au parti le plus conforme à la raison pratique, et montre dans la docte ignorance le bon chemin pour sortir de tous les labyrinthes dans lesquels il a fait errer avec lui ses lecteurs. Il cite Vunum scio de Socrate. Dieu, dit-il, n*a pas jug;équê la connaissance du principe de nof actes nous fût utile, et le péché nous tient tous, livrants et savants, dans les plus profondes ténèbres, au milieu desquelles nous nous déchirons mutuellement pour des diiférences d'opinions (ra6i/rtnMt, cap. 19).

détourner^ parce qu'il avait d'autre part de fortes attaches à un système dODt l'affirmation du continu fait partie. Comme ce philosophe est le premier et le plus éminent auteur de cette dootrine de la continuité qui est une des grandes croyances de notre époque, et étroitement liée à presque toutes celles qui régnent sur l'esprit de nos savants^ il y n, ce nous semble, un yéritable intérêt à faire voir que Leibniz a erré dans le iaby* rinthe^ tout en prétendant ne point connaître de labyrinthe, et qu'il s'y est égaré.

L'illustre mathématicien Jean Bernouilli, son disciple, en une poIémiqne qu'il soutint contre lui en faveur du nombre infini^ et cela non certes à son avantage quand il était sur la défcnaivo, avait pourtant raison de son côté quand il signalait la contradiction où tombait Leibniz en niant, d'une part, le nombre infini, en affirmant, do Taiitre, que les composés réels de la nature se fornient de parties sans fin, toutes actuellement données. La double assertion se présente en eifct^ dans les œuvres du philosophe^ .en termes on ne peut plus catégoriques.

1* Point de nombre infini: Leibniz, comme mathématicien, était forcé d'en convenir, à cause des absurdités que ses prédécesseurs, tels que Galilée, avaient montrées dans cette hypothèse, et qui sont d'ailleurs si facilesà voir. En voici une entre autres : si la série naturelle des nombres pouvait être donnée tout entière, avoir une existence actuelle, 11 faudrait^ chacun de ces nombres ayant son double, qu'on put poser et qa'il existât également une série correspondante formée de ces doubles et de ces doubles seulement. Ceux*ci, tout aussi réels que les simples seraient en même nombre qu'eux; et cependant la série des simples comprend, outre les nombres pairs, qui forment la série dos doubles, tons les nombres impairs, en pareil nombre que les pairs. Ainsi deux séries données (donnéeSy ce point est essentiel) auraient le môme nombre de termes, et l'une aurait deux fois autant de termes que l'autre. On ne résiste pas facilement à des arguments aussi mathématiques. Quelqaes-uns l'ont osé toutefois; mais Leibniz disait nettement:

«Le continu mathématique consiste en une pure pos.^^ibilité, comme les nombres : aussi implique-t-il une infinité nécessaire, d'après la notion même » {Lettre à Des Bosges^ Dutens, ii, 305). C'est la possibilité qui entraîne l'infinité, avec laquelle Vactitalité serait contradictoire.

« Philosophiquement *parlant, je n'admets pas plus de grandeurs infiniment petites que d'infiniment grandes, ou d'infinitésimales que d'infinituples. Je tiens les unes et les autres pour des manières abrégées de parler, dans l'intérêt des fictions de l'esprit qui servent au calcul, telles que sont les racines imaginaires en algèbre. » (Wirf., p. 267.) La vérité philosophique est donc opposée ici aux fictions de langage et aux symboles du calcul infinitésimal.

?• Ce que Leibniz accorde, touchant la continuité mathématique, le

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nombre infini et les grandeurs infinitésimales et infinies, à savoir qu'elles n'ont point d'existence actuelle, il le nie quand il s'agit des parties réelles accumulées à l'infini dans les composés naturels :

(f Je crois qu'il n'y a aucune partie de la matière qui ne soit, je ne dis pas divisible, mais actuellement divisée; et par conséquent la moindre particelle doit être considérée comme un monde plein d'une infinité de créatures différentes. » {Lettre à Faucher^ Ibid., 243.)

(c De ce que dans la matière il y a partout des monades, principes de l'unité substantielle, il s'ensuit que l'infini est donné en acte, car il n'y a ni partie ni partie de partie qui ne contienne des monades. » {Lettre à Des BosseSylbid.y 266.)

On pourrait s'attendre à ce que l'embarras naissant de cette double manière de voir, l'une sur les nombres abstraits, l'autre sur les concrets se fût manifestée au sujet des continus du temps et de l'espace ; mais il n'en est rien, et Leibniz demeure irréprochable comme pur géomètre. La remarque est bonne à faire, parce qu'on est généralement porté à confondre une divisibilité idéale, acte simplement possible de l'esprit, avec l'existence réelle de parties correspondantes aux divisions imaginables. C'est d'ailleurs une occasion d'éclaircir sur un bon exemple la théorie leibnizienne de l'espace et du temps. Or Leibniz évite sans difficulté la contradiction du continu dans cet ordre de concepts.

« L'explication des phénomènes par les seules perceptions^ harmoniques (inter se conspirantes) des monades, en laissant de côté la substance corporelle, me semble utile, dit-il, pour obtenir une vue fondamentale des choses. L'espace devient alors l'ordre des phénomènes coexistants, comme le temps celui des successifs. Il n'y a point de proximité, point d'intervalle spatial, au moins absolus, entre les monades. Les dire assemblées en un point, ou disséminées dans l'espace, c'est user de certaines fictions de notre esprit, en cédant à la tendance d'imaginer ce qui ne peut être que conçu. Avec cette manière d'envisager les choses, il n'y a plus d'extension, plus de composition du continu.. . Il faut voir ensuite ce qu'on doit ajouter pour introduire l'union substantielle et poser la substance corporelle, la matière comme donnée ; et s'il est nécessaire en ce cas de recourir au corps mathématique. Mais assurément les monades ne seront pas pour cela proprement dans un lieu absolu. Elles sont requises pour la matière, mais elles n'en sont pas des ingrédients. Il ne sera donc pas nécessaire de poser de ces indivisibles locaux qui entraînent tant de difficultés. Il suffit que la substance corporelle soit quelque chose qui réalise les phénomènes hors des âmes, mais en quoi je ne voudrais concevoir ni des parties en acte, hormis celles qui proviennent d'une division actuelle, ni des indivisibles, si ce n'est à titre d'extrémités. » {Ibid., 298.)

On peut trouver que l'intuition spatiale est traitée assez lestement dans

LES LARTEINTHES DE hk MÉTAPHYSIQUE. 69

ce passage, et^ d'un «lutre c6té, Texplication que Leibniz y fournit sur la substance corporelle n'est pas exempte d'embarras: il semble ne plus penser à son harmonie préétablie des monades qui cependant devrait le dispenser de chercher une union substantielle; mais quoi qu'il en soit, sa manière de concevoir l'espace et le temps le tire incontestablement de peine au sujet des continus abstraits qui s'y rapportent* Et môme la preuve la meilleure, selon nous, qu'on puisse donner de la vérité de la théorie idéaliste des rapports de position et de succession, c'est précisément que cette théorie est la seule dans laquelle on puisse éviter la contradiction de l'infini actuel (1).

L'obstacle à l'admission du continu donné commence à paraître dès qu'il est question des concrets objectifs, et tout d'abord de la durée et de l'extension mêmes, quand on les considère non comme des quantités idéales^ mais comme des quantités qui seraient effectivement parcourues, traversées^ passées, alors que cependant, par hypothèse, le nombre des éléments à énumérer en les traversant serait un infini actuel La con* tradiction est ici dans la supposition même qui réalise l'irréalisable, et c'est l'esprit de cet argument fameux et tant méconnu de Zenon d'Ëiée, appelé V Achille. Leibniz a donné l'exemple de ne le point comprendre. — après Descartes toutefois — et chacun s'est empressé de suivre ces grands hommes :il n'y a pas aujourd'hui une histoire de la philosophie où ne s'étale la fausse réfutation du prétendu sophisme.

a Ne craignez point, monsieur, écrit Leibniz à Tabbé Foucher (Dutens, n, 238), ne craignez point la tortue que les pirrhoniens faisaient aller aussi vite qu'Achille. Vous avez raison de dire que toutes les grandeurs peuvent être divisées à l'infini. Il n'y en a point de si petite dans laquelle on ne puisse concevoir une infinité de divisions que l'on n'épuisera jamais. Mais je ne vois pas quel mal il en arrive ou quel besoin il y a de les épuiser. Un espace divisible sans fin se passe dans un temps aussi divisible sans fin. Je ne conçois point d'indivisible physique sans miracle, et je crois que la nature peut réduire les corps à la petitesse que la géométrie peut considérer, i — Le mal qui en arrive, et pour lequel les yeux du métaphysicien sont couverts du bandeau d'un système, c'est que s'il y a des divisions qu'on n'épuisera jamais^ parce qu'elles sont sans fin, on ne les épuisera jamais en effet. Et par conséquent on ne finira pas de passer. Et quel besoin de les épuiser? demande-t-on. Mais tout simplement le besoin de passer, si c^est de cela qu'il est question. Or, il est bien question de passer, puisqu'on ajoute que l'espace infiniment divisible se passe dans le temps infiniment divisible. Mais l'espace et le temps ont beau se suivre et s'accommoder l'un à l'autre en parfaite correspondance, dans leurs divisions respectives, ni l'un ni l'autre

(1) Voir la Critique philosophique^ 2« année, n<>45, p. 295 et suivantes.

70 LBS LABYRINTHES DB LA MfTAPHTSIQUS.

De peuvent se passer^ quand par hypothèse ils sont intraversableg, étant inépuisables. Voilà Targument dans sa force ; il revient à dire que Tinfini ne se peut finir.

Cette conolusion peut seule s'accorder avec ce que Leibniz lui-môme dit de l'infini numérique^ ou géométrique, qui ne conduit jamais à une grandeur et à ua tout, si loin qu'on prolonge les additions :

« Les arguments contre Tinfini en acte supposent que, dans le cas où Ton admettrait un tel infini, un nombre infini serait donné ; et encore^ que tous les infinis sont égaux » — à savoir égaux quoique inégaux, comme dans l'argument rapporté ci-dessus contre le nombre infini. — « Mais il faut savoir qu'en réalité un agrégat infini n'est pas un seul tout, n'est pas doué de grandeur, ne consiste pas en un nombre« A parler exactement, il ne faut pas dire qu'il y a un nombre infini^ mais bien qu'il y a plus de choses qu'on n'en peut exprimer par aucun nombre ; et de même, au lieu d'une droite infinie, il faut parler d'une droite prolongée au delà de toute grandeur assignablci tellement que la droite soit toujours plus grande* » Toujours plus grande^ on ne saurait mieux dire inépuisabk; or la môme loi qui régit les grandeurs indéfiniment multipliées se retrouve dans la division à l'infini des continus^ et l'inépuisable devient alors l'intraversable ; ou il faut renoncer à la logique. Leibniz poursuit et va nous parler du monde, c'est-à-dire de l'addition indéfinie des concrets, et non plus seulement de celle des parties d'une grandeur abstraite. Il s'en explique dans les mômes termes, et cependant il va cette fois ôtre forcé d'envisager une existence actuelle, et par conséquent un tout réel de ces choses qu'il dit ne point former un tout :

«c II est de l'essence d'un nombre^ d'une ligne et d'un tout quel qu'il soit d'être terminé. Si donc le monde était infini de grandeur il ne serait pas un seul tout,... et un corps, et ne posséderait qu'une unité purement verbale. C'est pour abréger que nous disons un là oîi il y a plus de parties qu'un tout assignable n'en peut envelopper^ et que nous traitons de grandeur ce qui n'a pas les propriétés de la grandeur. Seul, l'absolu, l'infini indivisible, à savoir Dieu, possède l'unité vraie. En voilà assez je pense, pour donner satisfaction ani arguments contre l'infini actuel, arguments qui peuvent porter aussi à leur manière contre l'infini potentiel; car on ne saurait nier que les natures de tous les nombres possibles ne soient données^ au moins dans la pensée divine, et qu'ainsi la multitude des nombres ne soit infinie. » {Lettre à Des Bosses, p. 267.) La même pensée est ainsi résumée pour le môme correspondant, dans une autre lettre (p. 272) : «Je pense, à proprement parler, que l'infini formé de parties n'est ni une unité ni un tout et n'est conçu comme quantité que par une notion de l'esprit. L'infini indivisible seul est un, mais il n'est pas un tout. Cet infini est Dieu.

LES Li^BTRINTHlBB DB LA MÉTAPHTSIODE. 11

Que Leibniz ait regardé les nombres, donl lui-môme faisait consister, nous l'avons yu^ l'infinité en une simple possibilité, comme des natures données toutes actuellement dans la pensée divine, et qu'il soit ainsi passé de l'infini potentiel, qui seul est intelligible, à l'infini actuel qui est absurde, sous prétexte de théologie, cela n'est point étonnant. Il n'a pu se dispenser d'entrer dans le labyrinthe des théologiens, encore fort pratiqué de son temps, et nous ne l'y suivrons pas. Mais il faut bien remarquer que ce qu'on dit exister en Dieu, c'est comme si on le disait exister au fond, dans la pure vérité des choses. Ainsi Leibnii réalise de cette manière l'infinité numérique actuelle» qu'il sait bien impliquer contradiction. Il fait mieux, et quand il s'agit des monades, qui sont pour lui les essences réelles, et multipliées à l'infini,*-^ l'infini, même dans la moindre partie d'un corps, — il se condamne encore à les regarder à la fois comme données réellement et toutefois n'étant pas terminées^ ne for* mant ni une unité ni un tout. C'est bien comme philosophe qu'il entre cette fois dans le labyrinthe.

a J'accorde une multitude infinie, écrit Leibniz à Jean Bernouilli, à la fin de la polémique dont nous avons déjà parlé, mais cette multitude ne fait pas un nombre ou un tout. Elle signifie seulement qu'il existe plus de termes qu'il n'en peut être désigné. C'est ainsi qu'une multitude est donnée, enveloppant tous les nombres, mais cette multitude n'est ni un nombre ni un tout» (1). La multitude donnée qui n'est pas un nombre donné est une conception étrange. La seule manière de se la rendre intelligible serait de regarder la multitude donnée comme donnée en possibilité seulement» tandis qu'un nombre donné est une multitude donnée de fait, ou actuellement Cette distinction, que Leibniz indique luimême à un endroit rapporté ci-dessus, serait applicable aux nombres abstraitSf aux séries mathématiques indéfinies. Tantôt il l'admet comme nécessaire, tantôt il y renonce. Mais elle cesse de s'appliquer s'il faut que les nombres correspondent constamment à des êtres effectivement donnés tous ensemble et composant pa^ ces nombres sans fin chaque corps en particulier et V\ nature entière. Telles sont les monades. Données ensemble, et ne formant point des touts, ce sont termes oontradio^ toires, car un tout est l'ensemble d'une multitude quand elle est dotinée» Imaginons que l'on entreprenne de compter les monades circonscrites en Un corps naturel ; idéalement^ cela se peut toujours : tout ce qui existe de fait et se distingue est nombrable eu idée pour l'entendement* Autant donc que nous avancerons dans ce compte imaginé des monades, autant nous poserons de nombres successifs- de la série naturelle dès nombres. Maintenant, que cette dernière série soit sans fin, on le côn^

(1) LBibniziieiJéBemouiiiiicommercium phUosophkurn et mathematicumi Uusaanœ el Genève, 1745, U 1, p. à^0.