CHAPITRE PREMIER

faire attention, et d’autant plus que votre méthode est très-jolie. :

Voici un problême dont je vous demande avec instance la démonstration, en voici le but : Vous m'avez plus d’une fois parlé d’une sorte d’Analysis situs qui seroit tout autrement importante que les séries recurrentes de M. ***, Dans les questions analytiques où il y a des angles, on est fort embarrassé pour en déterminer les rapports ; je l’ai éprouvé dans les questions que l’on peut faire sur le mouvement des planètes, et ce problème-ci dépend d’une théorie de cette espèce dont j'ai besoin; vous vous la rappellerez aisément à cette occasion, la solution en est juste. Problème: Inscrire dans un cerele tel polygone que l’on veut; solution: divisez le diamètre suivant le nombre des côtés du polygone ; faites sur ce diamètre un triangle équilatéral, et du sommet, par les points de division du diamètre pris de deux en deux, menez des lignes à la partie concave du cercle, elle y marquera les extrémités du polygone. Je vous prie de ne pas manquer de me répondre sur cet article.

Pour les thèses de Serres, elles furent bien soutenues ; . je parlaïi peu, il n’y eut rien de fort brillant ; pour ma part je ne m'en piquai point. M. Tronchin en soutiendra sous moi de veritate ; j'ai plusieurs idées sur cet article, non pas neuves, je ne m'y fierois pas ; mais peut-être en auront-elles la grâce, parce qu’on brouille assez les idées sur cette matière. Ce jeune homme est fort aimable, il sera homme de mérite ; il pourroit plus étudier; la force de son esprit lui tient lieu d'étude.

Par rapport à vos séries recurrentes, j’en connois bien la nature, etc.; il y a deux choses à trouver dans une suite : un terme quelconque et la somme d’un nombre de termes déter-

miné, et une autre principale qui est de trouver les indices,

ce qui n’est pas toujours aisé. Au reste, elles ont un grand usage si elles sont bien développées, parce que toutes les suites naissantes sont recurrentes. Si on les multiplie, divise ou élève à une puissance quelconque, elles sont encore recurrentes ; ce n’est que par la soustraction ou addition de l’une à l’autre qu’elles cessent de l’être, et encore y a-t-il des cas où elles le sont encore. Maisil en est de même detoutes les théories de cette espèce ; elles sont plus difficiles à appliquer qu’il ne faut de peine pour en trouver pour chaque cas. Je vous dirai, par exemple, qu’il me semble que M. de Moivre me dit que cette suite 1H 1 æ + 2 42 + 8 x5 + 4 xt +5 5 n’étoit pas sommable, le nombre des termes étant déterminé; or elle l’est très-bien, par une méthode particulière. La progr. arit. se réduit à peine à cette formule, son indice est 2 — 1; donc æ et y seront 1, donc appliquez-la à votre formule, tous les termes seront 0 ; vous m’obligeriez d’examiner un peu ce cas, qui me paroît singulier.

Je suis surpris qu’on aït imprimé ma lettre, c’est bien peu de chose. Je me réjouis fort de voir votre traité, et il ne me fâche pas qu’il devienne grand. Dites-moi, ces courbes serpentées, sont-elles le genre des développées, ou des cycloïdes, ou le genre commun des deux? A quel cas pratique s’appliquent-elles ? Un mot là-dessus ; j’attendrai votre livre pour en savoir davantage. Je fais mes compliments à M. Sarrazin ; écrivez-moi sur grand papier, il n’en coûte pas plus de port. Je l’eusse fait, mais jy ai pensé trop tard. Je vous aime quasi plus que je ne vous estime ; voyez si je ne suis pas bien tout à vous.

19 7 Genève, ce — janvier 172 — 8 8