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Il y aurait lieu d'unifier les notations : j'adopterai dans ce travail D, D', D' pour les déterminauts de Gauss et «5, 0 , ô'pour les coefficients italiens.
Les invaridiits île Minding donnent pour chaque \aleur de «>2 un iavariant, sauf /i = 3 qui en donne deux. La courbure géode-
1 , • , . do d- 0 ,1,
sique p et ses dérivées successives -j-, -j-^i •• •? par rapport a 1 arc s de la courbe indéterminée v{u)^ sont manifestement des invariants d ordre 2, 3, 4, • • •■, car on a
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dv"- F du-i-G dv
Pour découvrir l'invariant complémentaire d'ordre 3, remarquons qu'il n'est pas obligé de contenir v" ni v'" et que les courbes les plus simples définies individuellement et intrinsèquement sur les surfaces représentatives du ds- sont celles où la courbuix^ totale de la surface reste égale à une valeur numérique arbitraire : en chaque point de la surface passe une courbe y et une seule de cette famille simplement infinie; en chaque- point d'une courbe C arbitraire tracée sur la surface, V angle N de î^ et de la courbe y correspondante est V invariant cherché d^ ordre 3 : il contient r' et les dérivées d'ordre 3 de E, F, G, et cet exemple prouve bien que pour chaque invariant (de Gauss, ou Beltrami, ou Minding) il n'j a pas lieu de forcer d'une unité l'ordre maximum des dérivées de E, F\ G. La dérivée v' peut donc s'exprimer au mojen de E, F, G, de leurs dérivées des trois jjremiers ordres et de \ ; c " au mojonde ces mêmes
quantités, des dérivées d'ordre 4 de E, F, G et de -^î de même t'", ...;
ce calcul permettrait donc d'exprimer n'importe quel invariant de
dV Minding au mojen de E, F, G, de leurs dérivées et do V, -j-i ••■>
mais on aurait ainsi pour l'invariant un ordre apparent trop élevé (4 pour p et non 2). Il est à remarquer que, dans les applications, seul l'élément géométrique p a été employé : Zorawski [22] a donné la classification des invariants de Gauss, Beltrami et Minding, mais il n'a pu f)blenir ni l'expression de l'invariant complémentaire \ d'ordre 3 de Minding ni son interprétation géométrupie.
!2. Symboles de Christoffel et quelques formules utiles ;
Dans ces formules /"et o sont des fonctions y"( a, (5, ...), 9 (a, h, •••)' où a, j3, ... sont des fonctions données de u et v. i-^a théorie des formes covariantes et des dérà'ées covariantes conduit à signaler le paramètre difFérontiol du second ordre
, , 2AîUA(U, AU) — AAU {1) A,,L=. ^^^ ,
qui, en réalité, est entier; le numérateur contient AU en facteur; avec les dérivées secondes covariantes, on a
(3 ) ' Aî2 U = j^ ( Uu U,2 - Uf ., ),
(^2 U l 1 1 ^ (^U i II ) dU
du- \ i \ du { 'i- \ àv
\ '^-~ 'àv^ ^ \ \ \ au \ 1 \ âv On a introduit les nolalions de Christofî'el
ou (Ji> au \ 1 1 <iu du ov
I I ) ■2(EG — F^) l -i \ ■2(EG — F^)
(5) { [ i-j. I Oi> du W^' I " ''" ^^
2(EG — F2) ' l ^ \ o(EG — F2)
^dG ^dF ^^dG ,^dG ^dG .^dF
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