RECONNAÎTRE SI DEUX SURFACES SONT ISOMÉTRIQUES

1. Isométrie. Applicabilité. — Le langage a établi une confusion entre les mots : siu'(nces apj)ticab les ou isométriques. C'est Voss [17] qui a signalé, pour la première fois, que ces mots ne sont pas synonymes. E.-E. Levi [10] a montré que deux portions de surfaces isométriques, de courbure totale nulle ou négative, sont applicables; tandis que si S et S| sont à courbure positive, S est isométrique à la fois à S) et à la surface S', symétrique de S, relativement à un point, et applicable sur S, ou S',, les deux cas s'excluant. Désormais nous ne ferons aucune distinction entre les surfaces applicables ou les surfaces simplement isométriques, sauf pour certains problèmes précis tels que la déformation des surfaces fermées convexes. Je reprends ce point au second fascicule.

12. Conditions d'applicabilité. — Reconnaître si deux surfaces S, S, d'élément linéaire respectif

( I ) ds^ = E du^ H- 2 F du dv -t- G dv"^,

(2) ds'^ — E| du\ -t- 2F1 duidi'i 4- G| dv'j

sont applicables revient à chercher, si elle existe, une transformation

(3) u=f{ui,Vi), u^o(ui,Vi),

changeant identiquement (i) en (2); et à ce point de vue, il n est pas indispensable de connaître effectivement une surface représentative de (1) ou (2). Nous avons à résoudre le système simultané de trois . équations à deux inconnues

I ^ ^, du au „ / Ou di' au ôv \ r^ àv àv

(4) /F, = L-T— -^ — ^^T-i — ^ :r~ 1— )-^ ^T- Toui oi>i \oui t/('i ot'i (JuiJ au\ ot^i

du \2 ^ du âi> r^ I dv

Dérivons chaque équation (4) en «, ou r, ; les six équations linéaires,

non homogènes, ainsi obtenues en -r-rr» ^; — ç— j -—rr > -r-s 5 ^ — r- ' -rr.y ^ du-^ du\dv\ ov\ duj ôu^dv^ dv-^

donnent pour ces six dérivées secondes un système de valeurs et un seul, exprimées au moyen de u. v et des dérivées premières - — r -r— r

-, — > -T—\ pour obtenir les conditions d'intéerabilité, il suffit de dériver

dUi d^i^ ^ o '

chaque équation (4) une fois de plus, ce qui donne neuf équations

linéaires, non homogènes, entre les huit dérivées -r—r» •••' -r^; "i* ^ du\ dv\ '

calcul facile montre qu'on a exactement par l'élimination de ces. huit dérivées une relation unique^ ne contenant plus que m, r et leurs dérivées d'ordre i eta; ces dérivées d'ordre 2 étant elles-mêmes remplacées par leurs valeurs déjà trouvées, on trouve ce fait remarquable que les dérhèes d'ordre \ disparaissent; suivant la marche du calcul, cette disparition peut se faire, soit immédiatement, soi»aprés avoir remarqué que ces dérivées n'entrent que par le groupe

du àv du di> \* El G, — Fï

dui dv\ dvi du\j EG — F^

Il reste donc une relation nécessaire que l'on met, en séparant les variables, sous la forme symétrique

(5) K(;/, vs = Kl (M), V,),

où K et K' signifient les courbures totales respectives des deux ds'^ (1)

dK du dK àv

dK'

dK Ou dK dv

dK'

du àui âi> dui

dui

du dvi dv dp,

dvy

et (2); le résultat se vérifie aussitôt si ces ds- sont pris sous les formes réduites 2F c/w é/^' et 2F, f/w, t/(^,, on trouve alors au lieu de (5)