ANALYSE 01) DINA IRE OU AI.GÉIIRIQIE

Et ANALYSE TRANSCENDANTE OU INFINITÉSIMALE. — CALCUL ET MÉTHODE.

13. — Il est visible que si la connaissance de la loi des variations d’une quantité permettait de calculer la limite vers laquelle elle converge , la solution des problèmes pourrait en recevoir de très-grands secours. Pour évaluer,, je suppose, la longueur d’une courbe, il suffirait de déterminer le périmètre d’un polygone inscrit et de voir de quelle manière ce périmètre varie à mesure que le nombre des côtés augmente^indéfiniment. Mais sans anticiper sur ce genre de recherches (qui forment, comme on le verra plus tard, la destination effective de l’analyse supérieure), on peut constater immédiatement, pour un certain nombre de questions, J’ulilité de la conception des limites. Ainsi,

NOTIONS PONDAMENTAI.KS.

d’une manière générale, les propriétés d’une quantité, à tons scs états de grandeur, appartiennent également à la limite vers laquelle elle tend. Sachant, par exemple, que l’aire d’un polygone régulier est égale à son périmètre multiplié par la moitié de l’apothème (rayon du cercle inscrit), quel que soit le nombre des cotés, j’en conclus avec certitude que cette relation est vraie aussi pour le cercle, ou que l’aire de ce dernier est égale à la circonférence multipliée par la moitié du rayon.

Les problèmes peuvent être distingués en deux catégories, selon que les relations sout établies directement entre les diverses quantités qui y figurent, ou selon que ces quantités sont remplacées par d’autres qui en approchent indéfiniment, de telle sorte que les équations portent sur des limites de variables qui convergent respectivement vers les éléments véritables de la question.

La mesure de l’aire d’un triangle, par exemple, est un problème de la première catégorie, parce que l’équation formée entre cette aire, la base et la hauteur du triangle, établit une relation directe entre les éléments du problème. Au contraire, la question que nous avons citée tout à l’heure (la mesure de l’aire d’un cercle) est un problème de la deuxième catégorie, parce qu’on y recourt au polygone inscrit, et que l’équation porte, en conséquence, sur les limites de faire, du périmètre et de l’apothème du polygone, limites qui sont respectivement faire, la circonférence et le rayon du cercle.

Les sciences qui s’occupent de la première sorte de problèmes, forment dans leur ensemble l’Analyse ordinaire ou algébrique, et les procédés mis en usage sont désignés avec beaucoup de raison, par M Auguste Comte, sous le