LIMITE DE RAPPORT , DIFFÉRENTIATION. - LIMITE DE SOMME, INTÉGRATION

15. — « Les grandeurs peuvent être considérées comme « dépendant de limites de variables, de bien des manières « différentes. Les formes de leurs expressions peuvent être « aussi diverses que celles des questions mêmes dont elles « sont les solutions 4 . »

Dès lors il semble difficile d’établir des règles précises pour le calcul des diverses limites qui sc présentent. Mais comme on a remarqué, d’une part, qu’un grand nombre de questions donnent lieu aux mêmes sortes de limites, et d’autre part, qu’il est souvent possible d’y ramener celles qu’on serait tenté d’envisager sous un autre aspect, on s’en •

1 Duhamel, Éléments Je calcul infinitésimal , 1. 1", p. 25.

NOTIONS FONDAMENTALES

est tenn en réalité à deux modes principaux de limites, qui sont précisément ceux dont nous avons eu occasion de nous occuper dans les exemples précédents.

Le premier mode, qu'on trouve dans la détermination de la vitesse, de la courbure, etc., est désigné sous le nom de limite de rapport , parce qu’on y considère la limite vers laquelle converge le rapport de deux quantités variables indéfiniment décroissantes. Le second mode, dont nous avons vu un exemple dans la détermination de la longueur des courbes, est appelé limite de nomme, parce qu’on s’y occupe de la limite vers laquelle tend une somme de termes dont le nombre augmente sans cesse tandis que l’importance de chacun d’eux diminue jusqu’à zéro.

Le calcul inlinilésimal se pallage en deux branches correspondantes. Celle qui traite des limites de rapports a, pour des motifs que nous dirons plus tard, reçu le nom de Calcul différentiel ; celle qui traite des limites de sommes constitue le Calcul intégral. Les -opérations algébriques spéciales qu’on y effectue sont respectivement appelées différentiation et intégration.

A ces deux opérations fondamentales se rattachent des développements analytiques importants , nécessités par cette circonstance que les problèmes ne se présentent pas toujours avec le caractère des exemples précédents. Il est même assez rare que la question puisse être immédiatement ramenée à l’évaluation directe d’une limite de rapport ou d’une limite de somme, comme lorsqu’il s’agit de calculer la longueur d’une courbe ou la vitesse d’un mouvement varié. Le plus souvent les limites qu’il ÿaglt de trouver sont combinées avec d’autres quantités inconnues, dans des équations d’une forme compliquée, qui donnent

3/* PBEMlkaE PARTIE,

lieu à une élaboration spéciale. Notre but, dans ce travail, étant de chercher à rendre compte de ^esprit de l'analyse infinitésimale, et non de donner une exposition didactique de la science, nous nous bornerons aux questions simples qui se résolvent immédiatement par une différentiation ou une intégration. C’est là que se montrent le mieux le rôle du nouveau calcul et l’usage de la méthode infinitésimale.

•SECONDE PARTIE

CALCUL INFINITÉSIMAL