EXISTENCE DE LA LIMITE DE RAPPORT DANS TOUTES LES FONCTIONS CONTINUES

16. — Avant d’aborder le problème fondamental du calcul différentiel, je ferai une remarque relative à la présence, dans les équations, des quantités indéfiniment décroissantes qui forment les deux termes du rapport dont on cherche la limite. En général, ces quantités n’entrent

CALCUL ISFifliTÊSIMAL.

en d'autres termes, d’après les définitions précédentes ( 11 * 11), lorsque ces accroissements sont supposés infini ment petit*.

Et tout d’abord, cette limite existe-t-elle? Est-on assuré, « priori, que le rapport dont il s’agit converge vers une valeur finie, quelle que soit la fonction?

Il n’est pas difficile de le vérifier sur divers exemples 1 . Mais cela ne suffit pas, puisque celte vérification ne peut embrasser toutes les fonctions imaginables. Voici la démonstration générale , donnée par M. Duhamel dans ses

’ Soit, je suppose, la fonction particulière ®* + px 4- q, dont je désigne |a valeur par ;/. Si l'attribué b x une valeur différente , x-f- h , h» nouvelle valeur, y + k, de la fonction sera exprimée par (x + kf + .pi* -f h) + q. La différence entre ers valeurs, ou (x~f h,’ p (x + h) + q — (î’+pi

+ </), représentera l’accroissement k de la fonction , correspondant à l’ac-

eroissement h de la variable. La limite du rapport - sera égale à la li-

fl

mite vers laquelle tend la valeur de la fraction

(x -p hf + p (x + h) + g — (x 3 + px + g) ( ~ •

lorsque h converge vers zéro.

Si l’on effectue les calculs indiqués, on tronve que cette fraction se réduit è la quantité

laquelle a visililement pour limite 2 x + p, puisque h a pour limite zéro.

Soit encore la fonction y = a sin x. On a y + k = a sin (x +• h) et

k asin (x + h) — asin x a sinx (cos h — 1)4- a cosx sln/i

— 2 a sin x sin 8 1 h 4- a cos x sin h . , , sini/i

= • — - = — 2 a sin x sin i h — «S—

. . sin h , .... . . . sin 1 /» , sin h , . , .

+ f» cos x — — . Or, lorsque h tend vers zéro, — et — tendent résk h h

pcctivemcnt vers i et I , et sin g h tend vers zéro ;donc la limite du dernier membre est a cos x.

SECONDE PARTIE

Moment* de calcul infinitésimal (loin. 1", pag. 94):

•< Soit y uue fonction quelconque d'une variable x, assu- « jctlie seulement aux conditions suivantes : 1° Que lors- « qu’on donne un accroissement h à x, il en résulte un « accroissement k de y, qui tende vers zéro si l’on fait « tendre h vers zéro; 2° qu’à partir de toute valeur de x « on en puisse prendre une autre qui en diffère d’une <r quantité, finie déterminée, telle que si x varie dans le « même sens, dans l’intervalle compris entre elles, y varie « constamment dans un même sens, c’est-à-dire toujours « en augmentant ou toujours eu diminuant

« Cela posé, il est facile de démontrer que, daus ces

•< conditions, pour toute valeur de x il existe une limite << finie pour le rapport des accroissements infiniment petits « h et k -, c’est-à-dire qu’il ne peut y avoir que des valeurs « exceptionnelles de x pour lesquelles ce rapport croisse « ou décroisse indéfiniment.

La première de ces deux conditions est évidemment réalisée dans les fonctions dont nous sommes convenu de nous occuper. Si l'on se reporte à ce que nous avons dit au V 7, on reconnaîtra sans peine que l'hvpothèse de lacontmuiië n’est autre chose que celle d’après laquelle l’accroissement de la fonction converge vers zéro en même temps que l'accroissement 4e'1a variable.

Quant à l'autre condition, elle ressort aussi, implicitement, de l'hypothèse de la continuité ; car si l’on admet que la fonction ne varie jamais par soubresauts, mais d’une manière graduelle, il est visible que scs variations sont réparties en périodes, tantôt de croissance continue, tantôt de décroissance continue ; et, quelque limitée que soit chacune de ces périodes, on pourra toujours prendre des valeurs de x assez rapprochées pourvue les variations correspondantes de y «oient comprises dans une même période de croissance ou de décroissance. Les valeurs de x ainsi choisies durèrent d’ailleurs d’une quantilé finie, puisque, en vertu de la première condition, l’accroissement de la fonction serait infiniment petit si la diil’ércnce des valeurs de la variable était infiniment petite.

CALCUL INFINITÉSIMAL

hi

« En effet, soient x„, X, deux valeurs de x satisfaisant « aux conditions ci-dessus indiquées; y 0 , Y, les valeurs « correspondantes de y; partageons l’intervalle \—x 0 en n « parties égales, que nous désignerons par h, et soient «A,, k t , k,,... k„ , les valeurs correspondantes des ac- « croissemcnts positifs de y ; on aura :

X — x„— iih , Y — y 0 — k A -J- k t -f- kj -H ... k„ ;

« d’où résulte :

« c’est-à-dire que le rapport invariable des accroissements « finis de x et de y, quand on passe de x 0 à X, est la

«moyenne arithmétique des rapports -^r, , ... ,

« quel que soit le nombre entier n.

« Si maintenant on fait croître n indéfiniment, les « termes de ces rapports tendront vers zéro, et» leur « moyenne arithmétique étant toujours égale à la quantité

« finie X — — , il est impossible qu'ils tendent tous vers

À"“*Po

« zéro, ou qu’ils croissent tous indéfiniment.

« Cette conclusion, relative à l’intervalle X — x„, pou- « vant être appliquée à toute partie de cet intervalle, il « s’ensuit qu’il est impossible que, dans aucun intervalle

« fini, la valeur de tende vers zéro ou croisse indéfi-

« niment pour toutes les valeurs de x. Ce n’est donc que « pour des valeurs exceptionnelles et eu nombre limité

SECOJTOK PARTIE.

« que peut ne pas avoir une valeur finie; ce que nous

« voulions établir.

« Nous avons supposé dans re raisonnement que ^ ^

« avait une valeur finie. En ne s'assujettissant pas à celte « condition, voyons s’il est possible que mutes les valeurs

« de ^ tendent vers zéro ou croissent indéfiniment.

« Si tous les rapports tendent vers zéro, leur moyenne « y tendra nécessairement, et comme elle est constante, « elle ne peut être que zéro ; donc Y — y» = o , ou Y = ÿ„. « El comme il en sera de même si l’on considère l’inter- « vallc entre x„ et toute autre valeur choisie entre xi et X, « il en résulte que toutes les valeurs de y correspondant « aux valeurs de x comprises entre x 0 et X sont égales « à i/„. La fonction désignée par y ne serait donc autre « chose qu’une constante, et l’on voit alors que non-seuk

« lement ^ tendra vers zéro, mais qu’il sera toujours

« rigoureusement nul. -

«Si maintenant tons les rapports croissaient sans

« limites, les rapports réciproques-^ tendraient tous vers

« zéro ; duquel cas tous

«les rapports seraient rigoureusement nuis, et l’on

« dirait que les rapports ^-sont tous infinis. »

La démonstration qui précède prouve l'existence de la limite du rapport , mais elle ne prouve pas qu’on sache la calculer effectivement , ni même qu’elle soit sus-

CALCUL INFINITÉSIMAL

ceptible d’être exprimée analytiquement. En d’autres termes, nous ne pouvons pas encore affirmer que celte limite est représentée par une fonction analytique; ce dernier point résultera d’un autre ordre de considérations. Toutefois nous supposerons, dès maintenant, qu’il en est ainsi.