DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES

18. — La valeur {finie, comme on vient de le voir), vers laquelle converge le rapport des accroissements des variables y et x, est nécessairement une fonction de x; car cette valeur doit changer avec les valeurs de x et de y à partir desquelles sont pris les accroissemgnts, et. elle ne peut changer que d'après ces variables. Nous supposerons en outre, comme nous l’avons déjà dit, que c’est une fonction analytique. On lui a donné le nom de fonction dérivée, ou simplement de dérivée, parce qu’elle dérive suivant certaines lois - que le calcul différentiel a précisément pour objet d’établir — de la fonction donnée, laquelle est, par opposition, nommée fonction primitive.

On représente, dans les formules, la fonction dérivée

CALCUL INFINITÉSIMAL

par la même notation que Ja fonction primitive, affectée d’un accent. Ainsi y' ou f (x) désignent la dérivée de y ou de f (x). Les accroissements des variables sont désignés par la caractéristique A placée devant la variable : Ax et Ay sont les accroissements de x et de y. La limite vers laquelle tend une quantité se représente par l’abré-

viation lim écrite devant la quantité : lim -.— désigne la

limite du rapport des accroissements de y et de x, lorsque ces accroissements convergent vers zéro ; et l’on a par définition *

lim ^=i/' ou /'(x).

19. — Puisque la limite du rapport des accroissements de la fonction et de la variable est exprimée par une certaine fonction que nous avons appelée dérivée , ce rapport , quand les accroissements ont des valeurs finies, dilïère de la dérivée, et en diffère d’antant plus que les accroissements ont des valeurs plus éloignées de zéro. On peut donc poser :

« élaut une quantité variable qui diminue avec Ax, et qui a pour limite zéro.

On déduit de là : 1

jflP?.

Ay = f' (x) Ax a Ax ;

ce qui nous montre que l’accroissement d’une fonction,

correspondant à un accroissement fini de la variable, est

SECONDE PARTIE

composé de deux parties : l'une, qui est le produit de la dérivée par l'accroissement de la variable; l’autre, qui est le produit de ce même accroissement par une quantité qui tend vers zéro en même temps que lui.

La première partie, qui forme la portion principale de la différence Ay, a reçu le nom de différentielle , mot qu’on peut considérer comme provenant de la contraction de ceux-ci : différence partielle, et qui en rappelle suffisamment l’origine. Cette différentielle est indiquée dans les formules par la caractéristique d placée devant la quau- ' tilé ; ainsi dy représente la différentielle dey ou f'(ac)tAx.

On a :

dy — f (j) Ar , ou f (x) = ;

et Ay — dy -\r & Ax , ou •

La variable indépendante a? n’a pas de différentielle ou plutôt sa différentielle n’est pas distincte de son propre accroissement C Rien n’empèclie, pour la symétrie des écri-

1 L’identité de la différentielle et de l'accroissement, en ce qui concerne la variable indépendante, n’a rien de contraire A la définition générale de la différentielle. Si l’on considère * comme une fonction — la plus simple, à la vérité, qni se puisse concevoir — de la variable x, la dérivée de cette fonction, ou la limite du rapport des accroissements delà fonction et de la variable, sera évidemment égale à i , car elle est exprimée, d’une manière

générale par lim ^ ^ — ï nu p ar n m -1^ ; et la différentielle, qui \x Ai

est le proJnit de la dérivée par l'accroissement de la variable, se trouve représentée simplement par l’accroissement lui-même.

CALCUL INFINITÉSUIAf..

turcs, de remplacer A* par dx, dans tontes les formules 04 figure dy. Les relations ci-dessus deviennent :

dy = f (x) dx , ou

\y = dy-\-itdx , ou

TF) '

La relation dy = f'(x ) dx nous montre qu’il revient au même de chercher la différentielle ou la dérivée d’une fonction; c’est ce qui a fait donner le nom de différentiation à l’opération qui a pour objet la recherche des limites de rapport , et le nom de calcul différentiel à la science qui traite des fonctions dérivées (n° 15).

Pour le même motif, on appelle quelquefois la fonction dérivée, quotient différentiel , parce qu’elle est égale au quotient des deux différentielles.

Les relations précédentes montrent que le rapport de l’accroissement de la fonction à sa différentielle converge vers l’unité, en même temps que l’accroissement de la variable tend vers zéro ; car le terme additionnel dimi- ' , 1\ x ) nue en meme temps que dx.

On peut dire aussi que la différence entre l’accroissement de la fonction et la différentielle est infiniment petite par rapporta ces quantités, supposées elles-mêmes infiniment petites; car cette différence a pour expression a dx, et le

rapport de ce produit à dy , ou

rc»)

est une quantité infi-

niment petite, puisque a tend vers zéro en même temps que dx.

Il est à remarquer que la déliuitiou de la différentielle

SECONDE PARTIE

fi S

de la fbuclion n'implique aucune hypothèse particulière sur l'ordre de grandeur de celte quantité , qui peut aussi bien être supposée finie ou infiniment petite. Quelle que soit la grandeur attribuée dans les formules à Ax ou dx , la relation dy = f'(x)dx subsiste toujours, puisque c’est une relation de définition.