AUTRE DÉFINITION DE LA DIFFÉRENTIELLE, DONNEE PAR CERTAINS AUTEURS

20. — Quelques auteurs ont défini la différentielle d’une fonction autrement que nous ne l’avons fait nous-même. Au lieu d’y voirie produit de la dérivée par l’accroissement de la variable indépendante, ils ont appelé différentielle l 'accroissement infiniment pelit de la fonction. La conséquence immédiate de cette définition, c’est qiie la différentielle n’est pas rigoureusement égale à f"{x)dx ; car le rapport des accroissements de la fonction et de la variable, si petits qu’on les suppose, n’est pas égal à mais en diffère d’une quantité qui converge vers zéro en même temps que dx. Si donc on regarde la différentielle comme égale à f'(x)dx , on commet nue erreur dont il est difficile d’apprécier l'influence au début d’une exposition du calcul

SECONDE PARTIE

infinitésimal , et qu’il est bien préférable d'éviter en adoptant la définition que nous avons présentée *. O11 y trouve encore l’avantage de laisser à l’accroissement de là variable une valeur tout à fait quelconque au lieu de le supposer infiniment petit.

Afin de lever la difficulté relative à l’erreur que l’on commet en assimilant f (x) d sr à l’accroissement de la fonction, certains auteurs en sont venus à considérer dy et dx, non plus comme des accroissements infiniment petits, mais

comme de véritable * zéro* \ Dès lors, le l'apport ~ ou

1 Nous sommesd’accord, en cela, avec d’éminents géomètres, MM. Sturm , Duhamel, etc.

Nous avons le regret de lie pas nous rencontrer avec un des savants les plus distingués de l’époque, M. Rélanger. Voici comment s'exprime cet auteur, dans son Résumé de leçons de géométrie analytique et de calcul infinitésimal (p. 180) : « Le troisième mode de considérer dy et d.r est une « conséquence des observations précédentes. On peut assigner à dx un tel « degré de petitesse, que dy puisse, sans crainte d’erreur dans les appli- « cations ou les conséquences qu’on en tirera, être pris pour \y, et récl- « proquement. » lin tel point de vue a, selon nous, l’inconvénient capital de donner au calcul infinitésimal l’apparence d’un calcul d’approximation, tandis qu’il est tout aussi rigoureux que les opérations de l'algèbre ordinaire.

! On peut voir cette idée, catégoriquement formulée, dans les Éléments de calcul différentiel et intégral de l'estimable M. Boucliarlat (pages 3 et suivantes). Le raisonnement , bien que relatif à la fonction particulière y =«*, n’en est pas moins général. L’accroissement de x étant désigné par b, et celui de y par y, — ;/, le point de vue est développé en ces termes :

« Dans l'hypothèse de h — o l’accroissement de y devenant aussi nul,

« - — se réduit à -, et par conséquent l'équation (3) (celle qui four-

« nit la valeur de la dérivée) devient

CALCUL INFINITÉSIMAL

plutôt ~ est envisagé comme synonyme de lim. et

par suite de /''(ar) ; à la laveur de cet expédient on peut écrire : •

^ = fi*) ou dy = f\x) dx .

Mais qui ne voit là une subtilité destinée à tromper les

Cette équation n’a rjen d’absurde parce que l'algèbre nous apprend que

- peut représenter toutes sortes de quantités. D'ailleurs on conçoit que o

puisqu’en divisant les deux termes d’une fraction par un même nombre, cette fraction ne change pas de valeur, il en résulte que la petitesse des termes d’une fraction n’influe en rien sur sa valeur, et que, par conséquent, elle peut rester la même alors que ses termes sont parvenus au dernief degré de petitesse, c’est-à-dire sont devenus nuis.

« l.a fraction ^ , qui se trouve dans l'équation (â), est un symbole qui a

: remplacé le rapport de l’accroissement de la fonction à celui de la vai riable : comme ce symbole ne laisse aucune trace de cette variable, re-

i présentons-le par alors ^ nous rappellera que la fonction était y

et que la variable était x. Mais dy et dx ne seront pas moins des quantités milles, et nous aurons :

ou plutôt sa valeur 3a;’ est le cuelltcient différentiel de la fone

tion y.

« Remarquons que — étant le signe qui représente la limite 3a:’

« (commo le montre l’équalion i), dx doit toujours être placé sous du « Cependant pour faciliter les opérations de l'algèbre, on peut momenla- • nément faire évanouir le dénominateur dp l’équalion (4) , et l'on u « ày = 3z’ dx. Cette expression 3i’ dx est ce qu’ou appelle laditréren- « tielle de la fonction y. •

SECOND K PARTIE

yeux plutôt que l’esprK? car si les accroissements sont ramenés à l’état de purs zéros, ils n'ont plus aucun sens. Leur propre est d’étre, non pas rigoureusement nuis, mais indéfiniment décroissants sans 'pouvoir jamais se confondre arec 2 ero ; en vertu de ce principe général qu’une variable ne peut jamais coïncider avec sa limite (n° 8). La fonction dérivée est, non l’expression du rapport de ces accroissements pris à aucun état de petitesse, mais la limite vers laquelle tend ce rapport. Lors donc qu’on arrive à

poser f (x')= li' n * les deux termes du rapport sont

inséparables, et la quantité tout entière lim. “ n’est plus

qu’un symbole qui signifie proprement : La valeur fixe vers

laquelle converge lerapportde&y à A ,r quand ces deeroix-

sementx diminuent indéfiniment . Il devient illusoire, pour

, . , .... Ai/ , , o

décomposer la quantité uni. delà représenter par — et

ensuite par ^ , en ne voyant plus dans ces termes dg et

dx individuellement que de purs symboles, et non des grandeurs algébriques. En outre, je le demande, quelle significatioupourront avoirdesrclationsd’une forme comme celle-ci :

f(x) dx = o ,

qu’on rencontre fréquemment dans l’analyse ? Si dx est conçu comme exactement nul , cette relation n’est plus qu’une identité, satisfaite pour toute valeur de f’(x). Lorsqu’au contraire on laisse à dx son véritable caractère d’accroissement indéterminé, la relation implique nécessairement qu’on ait f (.r) = o, ce qui est, en effet, la condition qu’on doit trouver.

CALCUL INFINITÉSIMAL

C’est ce gofiPe de conception <pie Lagrange avait sans doute en vue,' et c’est à elle que s’adresse justement la critique que l'immortel géomètre faisait peser à ton sur la méthode des limites, lorsqu'il disait : « Mais celte méthode « (celle des (luxions) a, comme celle des limites dont nous « avons parlé plus haut, et qui n’en est que fa traduction « algébrique, le grand inconvénient de considérer les quan- « tités dans l’état où elles cessent, pour ainsi dite, d’être « quantités : car, quoique l’on conçoive toujours bien le « rapport de deux quantités tant qu’elles demeurent, finies, « ce rapport n’offre plus à l’esprit une idée claire et pré- « cise, aussitôt que ses termes deviennent l’un et l’autre « nuis à la fois. »

La critique serait fondée, à l’égard de la méthode des limites, si effectivement on y prenait le rapport de deux quantités qu’on supposerait milles à la fin. Mais il ne s’agit point de cela. Ce qu’on calcule, ce n’est pas ic rapport des quantités, à un état plus ou moins avancé de petitesse, mais la limite fixe vers laquelle tend ce rapport, sans jamais l’atteindre absolument, à mesure que les termes diminuent de plus en plus. Ainsi, quand j’ai trouvé que le rapport de l’accroissement d’une certaine fonction ù l’accroissement de la variable est égal à 2 x -t- p + h (c’est la fonction qui figure au renvoi de la page 39) , je ne m’occupe point d’évaluer celle quantité en y supposant h plus ou moins petit, mais je conclus immédiatement que la limite vers laquelle tend le rapport, à mesure que h décroît, est 2 x -4- p ; en sorte que 2x4 - p représente la dérivée cherchée ; et ce résultat est dégagé de toute considération de quantité prise « dans l'état où elle reste, pour ainsi dire, d’étre quantité. »

SECONDE PARTIE

Il n’csl pas douteux que Lagrange, lorsqu’il dirigeait celle critique contre la conception des limites, ne l’avait pas suftisaniment distinguée de celles qui en prenaient les apparences pour déguiser leur erreur fondamentale.