DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS COMPOSÉES : THÉORÈME FONDAMENTAL

■>(■>. — La différentiation des fonctions componéen (formées, comme nous l’avons déjà dit, par des combinaisons de fonctions simples) se ramène à celle des fonctions simp'esau moyen du théorème général suivant :

Si j/est une fonction médiale de .r, c’est-à-dire si l’on a

u, r, ic .. -, étant respectivement des fonctions de a-, la différentielle de »/ par rapport à.r s’obtient en prenant la différentielle de f [u, r, ir...), successivement par rappotl à h, p, ic..., considérées tour à tour comme des variables indépendantes, et en ajoutant les résultats ainsi obtenus. En d’autres termes, je dis qu'ou aura :

CALCUL INFINITÉSIMAL

dy = du -+- ~ dv -h dtv -+- ■' du dv dv:

, . , df . ......

la quantité représente la dérivée prise par rapport a u.

comme si u était la variable indépendante, et comme si

r, ir..., étaient des constantes ; de même représente la

dérivée par rapporta r, comme si u, w..., étaient des constantes; et ainsi de suite. Quant aux différentielles du, dv, dw..., qui multiplient ces dérivées, elles résultent de la variation de x dans les diverses fonctions qui représentent respectivement les quantités u, r, w...

D’après ce théorème, la différentielle de la fonction y sera obtenue sous cette double condition :

1° Qu’on sache différentiel 1 y par rapport à chacune des quantités u, v, w...

2° Qu’on sache différenlier u, v, w..., par rapport à x.

Afin de simplifier le raisonnement, prenons le cas de deux variables seulement, u et v. Soit donc y — f («, v).

Je suppose que x reçoive un accroissement Ax. Les quantités y, u et v, qui en sont fonction, recevront des accroissements correspondants que je désigne respectivement par Ay, Au, Av ; et l’on aura :

Ay ~f{u + Au, v -f- Au) — f {u, t»).

Le résultat serait le même si, au lieu de faire varier x simultanément dans les fonctions u et r, on la faisait varier successivement dans chacune d’elles. En opérant la variation d’abord dans u, par exemple, la fonction y devient f (u -+ Au, r), et il se produit un premier accroissement

SECONDE PARTIE

égal :i f (u- f- Am, v) — f (u, r). Si l’on fait ensuite varier x dans v, la fonction y , (lui était, comme nous avons vu, /■(«-+- Am, r), devient maintenant f(u-h Am, v -f- A»), cl il en résulte un deuxième accroissement représenté par f (u -h Am , v + Ar) — f(u -f- Am , r). L’accroissement total de y, qui est la somme de ces deux accroissements successifs, a pour valeur :

f (u + Ah, v) — f ( u , v)