CHAPITRE XII
SÉRIES DE TAYI.OR KT DE MACUl RIN.
35. — Le calcul différentiel comporte des développements algébriques, distincts du calcul des limites de rapport proprement dit. Nous nous bornerons à men lionncr celui qui s’y rattache le plus directement, et qui est connu sous le nom de série de Taylor.
Reprenons la fonction y = /’(#), et donnons à x un accroissement \x. On a, d’après les notations adoptées, A ij ou A f 'x) = f(.r | Aj-) — /’(.r) ; d’où
Dans cette rotation générale, qui subsiste quelles que soient les valeurs de x et de \x, remplaçons successivement x par : x Xx , x -f- 2 A.r , x -J- 3 A x , ... ; ou obtiendra celle suite d’expressions :
CALCUL INFINITÉSIMAL
f(x 4- Ax) = f(x) -\-\f(x) ,
f{x + 3 Ax) = f(x) + 3 A f(x) + 3 A 2 f(x) -f- A 3 f(x) ;
et, d’une manière générale :
/(x+*nAi)=/(i)+mA/(i) + A 2 /■ (x) -f-
Convenons de laisser constant le produit m Ax , quelles que soient les valeurs attribuées séparément à m et à Ax ; de telle sorte que si l’une de ces deux quantités augmente, l’autre devra être diminuée en proportion. Soit h ce produit constant : d’où m = ~ . Si l’on fait la substitution
Ax
dans la formule ci-dessus, il vient :
li (h — Ax) (h — 2 Ax) A 5 f(x)
H m Ax 3 4 ~’” •
1 Cette relation se déduit de la précédente en Taisant dans celle-ci * = i + Ai, Elle devient en ctlet, par suite de la substitution ,
f(x + 2Ax) = f[x+Ax) + Af(x + Ax).
St l’on remplace, dans cette équation, f{x + \x) par sa [valeur f(x) + A( [x), on trouve :
f (* + 2 A *)=/■(*) + A f(x)+ A [f (*) + A r(x)}=f(x) + 2 A /•(!) + A * f(x). Les relations suivantes s’obtiennent avec la même facilité,
SECONDE PARTIE
Supposons maintenant que A# décroisse indéfiniment : les quantités telles que » • • • auront res-
pectivement pour limites les dérivées f (x) ,f"(x) .... ; les quantités h — \x , h — 2 Ax , . . . auront toutes pour limite h. La formule deviendra finalement :
n*+ *) = a») +* rw +n r(I) + rxr ' n*}+.«.
Telle est la relation connue sous le nom de série de Taylor.
Remarquons que ce que nous venons de dire touchant la limite commune des quantités h — Ax , h — 2 Ax , . . . ne s'applique pas évidemment aux termes dont le rang dans la série est indéfiniment éloigné. Car dans l’expression de pareils termes entrent des facteurs de la formel — m Ax, qui ne se réduisent plus à Ji quand n augmente au delà de toute grandeur. On ne pourrait donc pas dire, à priori, que la série ci-dessus, indéfiniment prolongée, représente le développement exact de f(x-\-h). On est ainsi conduit à rechercher la fonction de x et de h qu’il convient d’ajouter à la série, arrêtée à un certain terme, pour reproduire identiquement le premier membre f{x + /i}. Le calcul de ce reste, aussi bien que la discussion des conditions de convergence de la série, sont exposés dans tous les Traités '. On trouve que ce reste peut affecter diverses formes, selon les cas : la plus usuelle est celle-ci :
ï ~2 . Z. (w -f 1) f" + ~ + > «/tant l’ordre
‘Voir notamment la Théorie des fonctions analytiques de Lagrange, le Traité élémentaire de la théorie des fonctions de M. Coumot, etc. etc.
CALGBI. INFINITÉSIMAL.
de la dérivée qui ligure dans le terme auquel on arrête la série, et 9 étant une quantité comprise entre 0 et i.
La série de Taylor permet d’exprimer, sous une forme remarquable, l’accroissement At/ d’une fonction correspondant à l’accroissement \x de la variable. Car si l’on suppose, dans la formule précédente, que h est cet accroissement Ar, et si l’on remarque que A y — f{x -f- A #) — f(x ) , il vient :
D’après cela , la quantité que nous désignions par », au n° 19 ,
est égale au développement f" (x) — -f- f" (x) - -t- . . .
On peut donner une nouvelle forme à l'expression de \y, en s’appuyant sur ce que, d’une manière générale,
f^(x)\x n est égal à d" y. De là résulte la relation suivante :
Nous avons ainsi la valeur de la différence en fonction des différentielles des divers ordres.
De la série de Taylor, on déduit une autre série, également importante, dite série de Rlaclaurin. Pour l’obtenir, il suffît de remarquer que la série de Taylor devant subsister identiquement, lors même que h représenterait une quantité variable , rien n'empêche d’établir le développement par rapport aux puissances de x au lieu de l’établir
SECONDE PARTIE
iUl)
par rapport à celles de h. Si l’on suppose ensuite que h devienne nul, la série prend la forme suivante :
m = m + *r(«) + o n<o + rra r " (0) + • • •
Les coefficients des puissances de x représentent les valeurs que prennent f(x) , f (x) , f" (x) , . . . quand on fait dans ces diverses fonctions x=o.
Ainsi se trouve résolu le problème qui consiste à développer une fonction quelconque en une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable.
