EXISTENCE DE LA LIMITE DE SOMME POUR TOUTES LES FONCTIONS CONTINUES

36. — Les termes des sommes dont le ealcul intégral recherche les limites sont toujours supposés ramenés à la forme f{x ) \x.

En général , la mise eàfi équations des problèmes ne . fournit pas immédiatement des termes d’une forme aussi simple. Il faut une élaboration préliminaire pour les y

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réduire , élaboration distincte du calcul intégral proprement dit, et qui rentre véritablement dans •l’usage de la méthode infinitésimale, ainsi que nous le verrons plus tard *.

Quoi qu’il en soit de la transformation préalable dont nous parlons, et des difficultés spéciales dont elle peut être entourée dans les diverses applications, nous admettrons toujours qu'elle a été régulièrement effectuée. Les procédés du calcul intégral auront donc pour objet de faire connaître la valeur de la limite vers laquelle tend une suite de termes tels que :

f(x)\T-i-f(x î )\x î -hf(x i )Xc 3 -i-.. . . -\-f(x„)Xv n ;

en désignant par-r , , x 3 , . . . x n , les diverses valeurs

attribuées à x, et par , Ax., , \x 3 , . . . Ax„ les valeurs correspondantes des accroissements de x. Une telle somme est prise depuis une valeur déterminée que nous avons désignée ici par x , jusqu’à une aufre valeur désignée par x n . Le nombre des termes intermédiaires est d’autant plus grand que les accroissements Ax , Ax* , Ax 3 , . . . sont plus petits. En même temps la valeur individuelle de ces termes devient moindre, et la limite qu’il s’agit de calculer est celle vers laquelle tend la somme lorsque les accroissements de la variable convergent indéfiniment vers zéro.

'C’est le meme point de vue que pour le calcul [différentiel. Noos y

avons supposé les rapports ramenés à la forme sans nous préoc-

Ax

cuper de la manière de les ramener à eette forme.

CALCUL INFINITÉSIMAL

On représente ordinairement ta somme ci-dessns par 2 f(x) \x , et la limite de cette somme par lim. 2 f(x) Ax .

37. — Ici se présente, comme pour te calent différentiel, une question préliminaire tout à fait capitale : la limite dont nous parlons existe-t-elle? La somme des termes f(a>)Ax + f(x i )^x o converge -t- elle toujours vers une valeur déterminée ?

C’est ce que nous allons démontrer pour toute fonction d’une variable .r assujettie seulement aux conditions suivantes : « 1° que lorsqu’on donne un accroissement^ à x, « il en résulte un accroissement k de y qui tende vers « zéro si l’on fait tendre h vers zéro ; 2° qu’à partir de toute « valeur de a? on en puisse prendre une autre qui en diffère « d’une quantité finie déterminée, telle que si a? varie dans « le même sens, dans l’intervalle compris entre elles, y v varie constamment dans un même sens, c’est-à-dire tou- « jours en augmentant ou toujours en diminuant »

De la première de ces deux conditions résulte que la fonction ne passe pas par une valeur infinie quand# varie jusqu’à r n . Si donc on désigne par A la plus grande valeur que puisse prendre la fonction entre les valeurs x et x n de la variable, A sera nécessairement une quantité finie , et la somme 2f(x) Ax sera moindre que A A# -t-A Ar 2 +

-+-AA# 3 -t- A Ax n ; ou moindre-que A(# l( — #),

quantité finie, indépendante de la grandeur individuelle des accroissements. Ainsi , nous voyons en premier lieu

* Ces conditions sont ia reproduction de celles qui contiennent aux limites de rapport (N“ 1 7). Elles sont toujours ia conséquence directe de la continuité de. la fonction.

SECONDE PARTIE

que la somme en question ne peut croître au delà de toute expression.

D’un autre côté, considérons une portion de cette somme correspondant à une série de valeurs de x pour lesquelles, en vertu de la seconde condition, la fonction reste de même signe dans l’intervalle, par exemple constamment positive. Soit a la plus petite des valeurs positives de la fonction. Si x varie de la quantité finie h, la portion de somme dont il s’agit sera plus grande que ah ; et comme elle u’est pas infinie, elle converge vers une certaine valeur positive. Pour une autre portion de la somme, correspondant à des valeurs de x qui rendent la fonction constamment négative , la valeur convergera vers une certaine quantité négative ; et ainsi de suite. En sorte que la limite vers laquelle convergera la somme totale sera égale à la somme algébrique d’un certain nombre de quantités positives et négatives; ce qui représente bien une limite finie : car cette somme algébrique ne pourrait évidemment être nulle que dans un cas très-particulier.

La somme Af(x) Ax ayant toujours une limite finie, ou

représente cette limite par le signe particulier^*, en haut

cl en bas duquel on indique les valeurs extrêmes attribuées à la variable. Ainsi la limite de Af(x) A.r, la somme étant prise depuis a? jusqu’à x n , est représentée par

f 7 (x) Ax .

Celte somme limite s’appelle intégrale (du mot latin integra ), parce qu’on la considère comme l'entier dont f{x) Ax est une partie infiniment petite. Nous devons faire, au sujet

CALCUL INFINITÉSIMAL

de celle démonstration, une remarque semblable à celle du n°17. Ce qui précède prouve bien que la somme A f(x) Ax a une limite finie, mais ne prouve nullement que celte limite soit exprimable analytiquement , et, à plus forte raison, qu’on sache la trouver. Pour valider une pareille conclusion, il faudrait préalablement montrer, comme pour la différentiation, qu’en soumettant à des procédés de calcul réguliers les termes f(x) Ax, on en déduit toujours une expression analytique qui satisfait à la condition d’èlre la limite vers laquelle converge la somme de ces termes. Or, malheureusement, comme nous le verrons plus lard, on est loin d'un semblable résultat.