THÉORÈME FONDAMENTAL SUR LES INTÉGRALES

38. — Le calcul des intégrales est fondé sur celte proposition remarquable :

Si l’on connaissait une fonction qui eût pour dérivée la fonction qui ligure dans les termes de la somme dont on cherche la limite, l’accroissement que prendrait celle fonction en attribuant à x les deux valeurs extrêmes qu’elle reçoit dans la somme, serait précisément égal à la limite cherchée.

Ainsi, je dis que si F (x) est une fonction telle que sa dérivée F' (a?) soit égale à f{x), qui figure dans les termes de la somme 2 f(x ) Aar, on aura

CALCUL INFINITÉSIMAL

Supposons en effet que dans la fonction F (x) on donne à la variable les accroissements successifs A# , , Air.,, .... A x n ,

correspondant respectivement aux valeurs x,x i ,x 3 ,....x n ; de telle sorte qn’on ait : x t = x -+- àx , x 3 = x t -f-

-+-A*. » n sa= t -f- Ax n j. La fonction ¥(x)

recevra des accroissements en conséquence, que je désigne par k , , k 3 , . . . A (l .

Nous savons d’une manière générale que l’accroissement d’une fonction est égal au produit de l’aceroîssenieni de la variable par laclérivée augmentée d'une quantité infiniment petite. On aura cette série de relations :

k — [F'(x) + a | Ax ,

k t — [F’ (**)+**} Ax, ,

Or, d’après l’hypothèse faite en commençant, la fonction F (a-) a pour dérivée f(x). On peut donc substituer f{x) à F(x) dans toutes ces relations, qui deviennent :

SECONDE PARTIE

Si on les ajoute membre à membre, la somme des premiers membres représentera l’accroissement tolal de la fonction F (.r) en passant de la valeur initiale# à la valeur finale x n + Ax n : elle sera donc égale à F (x M -t-AxJ— F(x). Quanta la somme des seconds membres elle se composera de deux parties : l’une, formée des termes Ax + -F/’(# î ) Ax, + ••• + /’(#„ ) Ax n , est la somme même dont il s'agit de calculer la limite ; l’autre peut être désignée par -A a Ax. On a en conséquence :

K (#„ A.rJ — F(x) == A f{x) A r + A * Ar .

Si je fais décroître A# indéfiniment, le premier membre aura pour limite F (x n ) — F (x). Le premier terme du

second membre aura pour limite

Ax; et je dis

que la limite de A a Ax est zéro. En effet, soit e la plus grande des quantités a , a, , a 3 . . . . a n . La somme A « Ax sera moindre que celle qu’on obtiendrait en remplaçant partout a , a, , a a , . . . par e. Elle sera donc moindre que eAx + e Ax, + e Ax 3 e Ax (1 , ou que e A Ax ou

enfin que t (x n — x + Ax H ). Or, la quantité entre parenthèses a pour limite x„ — x , grandeur finie, absolument indépendante de la valeur des accroissements. Au contraire e converge vers zéro en même temps que ces derniers. Cela résulte de ce que chacune des quantités % , a, , a, , . . . « n , tend vers zéro lorsque l’accroissement correspondant de la variable diminue indéfiniment (n° 19). Eu résumé, la somme A a Ax a pour limite zéro, et on en déduit :

CALCUL INFINITÉSIMAL. 109

en écrivant dx au lieu de Aa?, ainsi qu’on l’a fait au n° 19, pour la plus grande symétrie des formules.