FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES

PREFACE

J’ai remarqué qu’une première étude de l’Analyse infinitésimale laissait dans l’esprit beaucoup d’incertitude et d’obscurité. On ne pénètre pas immédiatement la métaphysique de cette science, et l’on ne se rend pas compte de ce qui assure la rigueur des résultats à travers l’apparente inexactitude des procédés.

Voici, si je ne me trompe, les réflexions que doivent faire les personnes peu habituées à l’emploi de l’Analyse :

Tandis que dans laGéométrie et l’Algèbre ordinaires on raisonne sur des quantités toujours finies et dé-

PRÉFACE

terminées, dans l’Analyse infinitésimale, au contraire, on abandonne les cléments véritables pour considérer des quantités auxiliaires, d’une petitesse indéfinie , et dont les dimensions ne sont jamais arrêtées, ce qui est bien propre à laisser une impression vague et incertaine. Non-seulement ces infiniment petits demeurent indécis, mais les relations établies à leur sujet ne semblent pas parfaitement rigoureuses, car on opère à tout instant comme s’ils pouvaient être remplacés par d’autres qui en différent réellement. Enfin ils disparaissent toujours des formules où l’on avait débuté par les introduire, en sorte qu’on est en droit de se demander si l’on néglige ce qui a de la valeur, ou si l’on s’était servi de ce qui n’en avait pas. Aussi, tout en acceptant des résultats d’une incontestable exactitude, on ne se sent pas satisfait de la voie suivie pour les obtenir. C’est assurément un grave défaut logique : il ne suffit pas d’atteindre le but, il faut encore savoir de quelle manière on y arrive.

J’ai cherché à me rendre compte des causes de cette impression : il m’a paru qu’elle tenait en grande partie à ce qu’on ne distingue pas habituellement le Calcul infinitésimal de la Méthode. Les esprits peu exercés confondent ces deux branches de l’Analyse, rapportent au Calcul les difficultés inhérentes à la Méthode, et ne les résolvent pas complètement, faute de les aborder sur leur véritable terrain.

PRÉFACE

Rien de plus rigoureux, de plus purement algébrique, si j’ose ainsi dire, que le Calcul pris en lui-même, abstraction faite de ses applications, mécaniques ou géométriques. Son objet consiste à calculer des limites de rapports et des limites de sommes, c’est-à-dire à trouver les valeurs fixes vers lesquelles convergent des rapports ou des sommes de quantités variables, à mesure que celles-ci décroissent indéfiniment suivant une loi donnée. Les résultats qu’on poursuit sont évidemment étrangers aux grandeurs attribuées aux variables, et ne dépendent que de la loi de leur décroissement. Cette remarque est essentielle, parce qu’elle établit que le Calcul infinitésimal, comme le Calcul ordinaire, n’a réellement en vue que des quantités fixes et déterminées. La recherche des fonctions dérivées et des intégrales est donc une suite naturelle de l’Algèbre, et ne saurait, par elle-même, donner prise à aucune objection métaphysique.

La Méthode infinitésimale est l’art d’appliquer le Calcul à la solution des problèmes de tous genres où l’évaluation des quantités inconnues ne peut pas être effectuée d’une manière directe. La marche uniformément suivie consiste à démontrer que ces quantités peuvent être considérées comme des limites de rapports ou de sommes d’infiniment petits, d’une nature plus simple, et à donner à ces rapports ou à ces sommes des formes algébriques telles que le calcul de leurs

XU PRÉFACE.

limites puisse avoir lieu à l’aide des procédés habituels de la différentiation et de l’intégration. Tout le succès est dû à cette circonstance capitale, que la limite d’un rapport ou d’une somme n’est pas changée , quand on vient à en altérer les termes de quantités infiniment petites par rapport à eux-mêmes ; d’où résulte le droit, dans les relations où l’on compte passer aux limites , de remplacer certains infiniment petits par d’autres qui en diffèrent réellement, et, en particulier, de remplacer les accroissements des quantités parleurs différentielles, dont l’expression est toujours plus simple. Il est également permis de supprimer, dans une équation, tous les infiniment petits d’ordres supérieurs à ceux dont on se propose de calculer les limites.

L’enchaînement des opérations est dès lors parfaitement naturel. Après avoir constaté que la quantité inconnue est une limite de rapport ou de somme d’infiniment petits, on s’occupe d’établir la loi de décroissement de ces derniers, c’est-à-dire de les exprimer en fonction d’un seul d’entre eux, qu’on soit maître de faire varier à volonté, et qui, pour ce motif, est en général l’accroissement de la variable indépendante. Mais au lieu d’opérer sur ces infiniment petits eux-mêmes, on les remplace, au besoin, par d’autres entre lesquels les relations soient plus faciles à découvrir; et l’on simplifie à chaque instant les formu-