PRÉFACE. XIII

les en négligeant les quantités qui, par l’ordre de leur petitesse, seraient sans influence sur la valeur de la limite. On arrive ainsi à une équation toute préparée pour l’œuvre du Calcul infinitésimal, ce qui fait rentrer la question dans le domaine propre de l’Algèbre.

Tel est le sujet que j’ai entrepris d’exposer dans celte Etude. Évidemment, les considérations que je présente ne sont pas nouvelles pour les géomètres : on en retrouverait les principes à divers endroits de leurs écrits. Mais comme elles y sont généralement associées aux calculs, il n’est pas toujours facile, pour des commençants, d’en saisir la filiation naturelle. C’est ce qui m’a fait juger utile de les réunir en un corps de doctrine séparé, où l’enchaînement devient plus sensible.

Mon travail est divisé en trois parties. La première, intitulée Notions fondamentales, est, comme son nom l’indique, consacrée aux définitions et aux principes généraux de l’Analyse. Je me suis attaché à y mettre le plus de clarté possible, et je n’ai pas craint de prolonger parfois les explications, parce que je sais par expérience que les difficultés viennent souvent de ce qu’on a passé trop vite sur les préliminaires.

Le Calcul proprement dit occupe la seconde partie. N’ayant eu nulle prétention de faire un traité didactique, mais simplement d’indiquer la destiqation de celte Algèbre supérieure en même temps que sa place

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naturelle dans l’ensemble de l’Analyse, j’ai dû me borner à l’étudier dans ses opérations essentielles cl vraiment caractéristiques, à savoir la différentiation et l’ intégration.

La troisième partie est consacrée à la Méthode. C’est là que se présente l’examen des difficultés que je signalais en commençant. Le meilleur moyen de les saisir m’a paru être d’analyser quelques-uns des exemples les plus usuels et pour ainsi dire classiques. En reprenant à ce point de vue les problèmes connus de la mesure de l’aire ou de la longueur d’une courbe, de la détermination du rayon de courbure ou des composantes tangentielle et normale de la force accélératrice, etc., je me suis attaché à faire ressortir les principes sur lesquels on s’appuve tacitement dans le cours des opérations, et qui expliquent les transformations en apparence arbitraires qu’on fait subir aux quantités. Il n’est pas difficile de voir que chaque simplification a sa raison d’être, et que tout se ramène à un petit nombre de théorèmes généraux, susceptibles d’une démonstration parfaitement rigoureuse.

Les ouvrages que j’ai consultés avec le plus de fruit sont ceux de MM. Sturm, Duhamel, Navier, Carnot, Auguste Comte, Moigno, Bélanger, Cournot, etc. Je citerai en première ligne les Éléments de Calcul infinitésimal de M. Duhamel. C’est plus qu’un traité, c’est aussi une étude historique des plus intéressantes

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sur les origines de l’Analyse transcendante. Les Leçons sur le Calcul différentiel et intégral de M. l’abbé Moigno 1 résument et coordonnent, avec une grande élégance, les beaux travaux de M. Cauchy. Les Réflexions de Carnot sur la métaphysique du calcul infinitésimal éclairent supérieurement plusieurs notions essentielles, entre autres celle des infiniment petits. Mais je n’ai pu suivre cet auteur dans sa conclusion générale, qui consiste à fonder l’exactitude des résultats sur le fait de la disparition des quantités infinitésimales dans les équations dernières. Un tel argument, bien que vrai au fond , n’est pas satisfaisant pour l'esprit, car il semble confondre le signe de l’effet avec la cause elle-même, et l’on peut dire qu’il prouve, mais n explique pas.

Tout en accordant à la Théorie des fonctions analytiques et au Calcul des fonctions de Lagrange, le tribut d’admiration dû à ces œuvres immortelles, je n’ai pu m’empêcher d’en combattre la pensée dominante. L’entreprise de ramener l’Analyse infinitésimale à un point de vue purement algébrique et de suppléer une conception naturelle par des artifices de calcul, a définitivement échoué contre les impossibilités de l’ap-

1 Cet ouvrage est maintenant épuisé. J’ai dù à l’obligeance de l'auteur la communication , pendant quelques jours , d'un dernier exemplaire, que je regrette de n’avoir pu posséder plus longtemps.

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plicalion, sans parler de l’insuffisance et même du paralogisme de la proposition fondamentale.

J’ai dû mentionner, pour en signaler le vice , un expédient, heureusement peu répandu aujourd’hui, d’après lequel on regarde les accroissements des quantités, ainsi que les différentielles, comme de purs zéros, n’ayant dans les formules d’autre valeur que celle de symboles algébriques : singulière manière de constituer les éléments de ses calculs ! C’est le fruit d’une analyse trop peu relevée, où l’on se contente d’explications superficielles, faute de creuser la véritable notion des infiniment petits.

Maintenant que j’ai fait connaître la pensée de ce livre , qu’il me soit permis d’exprimer un souhait : ce serait de ramener vers les études infinitésimales quelques esprits que leurs débuts en auraient éloignés.

ANALYSE INFINITESIMALE

Je m’occuperai successivement :

1° Des notions générales qui servent de hase à l’Analyse ;

2° Du Calcul infinitésimal proprement dit ;

3° De la Méthode ou de l’application du Calcul aux divers problèmes. *

La nature et le motif de ces divisions seront indiqués plus tard.