CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LE CALCUL DES VARIATIONS

40. — l’oui' terminer celte exposition sommaire du calcul infinitésimal, il convient de dire quelques mois du Calcul des variations , Cféé par Lagrange.

Cette nouv elle et importante branche des mathématiques n’est pas, quoi qu’on en ait dit, un calcul hyper Irantcendant, distinct des calculs différentiel et intégral. C’est, comme le fait remarquer judicieusement un auteur de mérite *, « une élégante application des principes du calcul

1 Coumot, Traité élémentaire de la théorie des fonctions (lora. I",

SECONDE PARTIE

« différentiel aux fondions renfermées sous un signe de « quadrature (intégrale). »

Le but de cette invention a été de fournir des procédés réguliers pour résoudre certaines questions de maximum et de minimum qui échappent au calcul infinitésimal proprement dit. . •

Dans les questions ordinaires de maximum et de minimum, on se propose généralement de trouver la valeur de la variable qui fait prendre à la fonction une valeur plus grande ou plus petite que celle qui résulterait d’une fixation un peu differente de celle variable. Quant à la nature même de la fonction, elle est supposée connue, je veux dire par là qu’on sait de quelle manière la fonction est composée avec la variable. Le calcul différentiel fournit immédiatement la solution, én montrant que la valeur cherchée. de la variable est celle qui annule la dérivée de la fonction (n° 21).

Mais on peut se proposer certaines questions pour lesquelles la fonction même est inconnue : lorsqu’on demande, par exemple, de trouver l’équatiop de la courbe dont la longueur comprise entre deux points donnés sur une surface est un minimum; ou lorsqu’on demande quelle est la courbe que devrait suivre un mobile sollicité par la pesanteur pour parvenir d’un point à un autre dans le moindre temps possible ; ou encore lorsqu’on cherche la courbe fermée qui, sous u*ie longueur donnée, circonscrit la plus grande surface, etc., etc. Dans ces questions et dans une foule d’autres du môme genre, la solution habituelle du calcul différentiel n’est plus applicable, puisque, ♦ la fonction primitive elle-même étant inconnue, on n’en peut connaître la dérivée et par suite déterminer la valeur

CALCUL INFINITÉSIMAL

de la variable susceptible de l'annuler. Mais si l’on procède à la mise en équations, sans se préoccuper des difficultés ultérieures que nous venons de signaler, on est uniformément conduit, dans chaque Cas, à une intégrale définie ‘ qui porte sur la fonction qu’il s’agit de déterminer. Quant aux limites de l'intégrale, elles sont tantôt connues directement (lorsqu’il s’agit, par exemple, d’une courbe qui doit être comprise entre deux points donnés), tantôt connues indirectement (comme dans le dernier problème cité , où les limites résultent implicitement de ce que le périmètre a une longueur déterminée).

47. — C’est à de semblables recherches que s’applique le calcul des variations.

Pour en faire saisir l’esprit, reprenons une des questions précédentes, où la fonction inconnue. représente l’ordonnée d une certaine courbe dont la longueur doit être un minimum.

Si le problème était résolu, il est visible qu’en modifiant la fonction d’une manière quelconque, on obtiendrait une autre courbe, distincte de la combe de solution, et dont la longueur serait plus grande, puisque, par hypothèse, la première est un minimum. La manifestation de ce minimum est donc que la différence entre la longueur de la courbe, déduite de l’équation modifiée, et la longueur déduite de l’équation primitive, est constamment positive, quelles que soient la nature et l’importance de ta modifica-

1 Celle qui exprime suit la longueur de la courbe, soit la durée de la desrente du moliilc, soit l’aire inscrite, etc.

138 SECONDE PARTIE

tiqu opérée- Telle est h» condition qu’il s’agit d’exprimer algébiiqiiL'iiienl.

l’ouï' y parveuir, remai'quous que lu modification pouvaut éjre produite d’une manière absolument quelconque, rien ifcmpèclm d’adopter uu meule mû forme, consistant, par exemple, à faire varier uu des paramétrés de la fonction. Ainsi, dans 1 équation d'une ellipse, ou pourrait faire varier l’qq des axes ou l'excentricité ; dans celle d’une parabole, la distance focale, etc., etc.

Dès lors, pour une même valeur de la variable indépendante, la fonction prendra des accroissements en rapport avec les accroissements du paramètre ; tout comme si ce paramètre constituait la variable indépendante, et que les autres quantités fussent les constantes.

La portion principale de l’accroissement de la fonction (correspondant à la différentielle daus le cas ordinaire), se nomme la vai^atiun de la fonction, et s’obtient par une différentiation, effectuée d’après les procédés usuels, mais par rapport au paramètre ainsi choisi .

Comme upqS verrous bientôt (n° 49) que le signe de l'accroissement est déterminé par celui de la variation, uous sommes conduit à calculer la valeur de la variation de l’intégrale définie, quand on suppose que la fonction inconnue , qui figure dans son expression , subit ellemême une certaine variation correspondant à une modification déterminée.

C’est un problème de même nature, quoique incomparablement plus difficile, que celui-ci, qu’on résoud dans le calcul différentiel : étant supposé connue la différentielle d’une fonction , trouver la différentielle d’une fonction de cette fonction.

CALCUL INFINITÉSIMAL

48. — La détermination de la variation de l’intégrale définie s'effectue par des procédés réguliers, qui constituent la partie fondamentale du calcul des variations, et dont la possibilité théorique ne soulève évidemment aucune objection. Quant au détail même des calculs, les bornes de ce travail ne nous permettent pas de nous y arrêter; et nous sommes obligé de renvoyer aux Traités spéciaux sur la matière. Nous nous bornerons à retracer succinctement les principales règles sur lesquelles on s’appuie :

1° On peut intervertir l’ordre de la différentiation et de la variation.

Ainsi, je dis qu’on a :

a dy = d ày ;

§ étant la caractéristique de la variation , et y représentant une fonction quelconque.

En effet , la variation n’étant qu’une différentiation prise par rapport à une quantité autre que la variable indépendante, on peut intervertir l’ordre des deux différentiations successives.

2° On peut intervertir l’ordre de l’intégration et de la variation.

Ce qui signifie :

C’est toujours d’après le motif que la variation représente une différentiation étrangère à la variable indépendante. Rien n’empêçhe d’intervertir l’ordre d’une diffé-

SECONDE PAllTtF..

rentialion et d’une intégration relatives à des variables différentes. . ‘ •

3* Les propositions concernant la différentiation (n° 28) peuvent être reproduites, d’une manière analogue, pour la variation.

Ainsi, la variation d'une somme de termes est égale à la somme des variations de èliaque terme ; la variation d’un produit est égale à la somme des quantités obtenues en multipliant successivement la variation de chaque terme par le produit de tous les autres, etc., etc.

h" Toujours par analogie de ce qui a lieu dans la différentiation, on distingue des variations de divers ordres, savoir :

La variation première, ou simplement la variation, qui, comme nous l’avons déjà dit, est la portion de l’accroissement de la fonction qui correspond à la différentielle;

La variation xeconde, qui est la variation de la variation première ;

Et en général la variation qui est la variation de la variation n — T' m '.

Ces variations sont représentées dans les formules par les caractéristiques d , d 2 , $ 3 , ... $ n .

De ces notations résulte, qu’en désignant par y une fonction quelconque et par Dy l’accroissement obtenu par voie de variation, la valeur de cet accroissement pourra être exprimée de la manière suivante :

O;/ = $y + ~ F y -+- yjj-g S 1 y 4-

La forme de ce développement n’est autre que celle

CAI.Cn, INFINITÉSIMAL.

trouvée au n" 35 ; elle convient également ici , car la variation est une différentiation prise par rapport à une certaine variable.

49. — Revenons actuellement au problème de minimum considéré tout à l’heure ; et supposous que, par les procédés usités, on soit parvenu à déterminer l'expression de la variation do l’intégrale définie qui représente la longueur de la courbe. Je dis que, pour exprimer la loi du minimum, il faut égalera zéro la valeur de la variation. En effet, l’accroissement obtenu, en faisant varier la fonction de laquelle dépend la nature de la courbe, doit être constamment positif. Or, cet accroissement pouvant être mis sous la forme de la série ci-dessus, et la grandeur des termes pouvant être diminuée au point que le signe de l’accroissement soit déterminé par celui de la variation du premier ordre, il est nécessaire que celte variation soit nulle. La condition ainsi exprimée, portant précisément sur la fonction inconnue elle- même, permet de déduire celte dernière, et, par suite, d'établir l’équation de la courbé cherchée.

Ces considérations nous paraissent montrer suffisamment que si je calcul de Lagrange constitue une innovation capitale, au point de vue des opérations algébriques destinées à fournir la solution des problèmes, il ne modifie en rien l’esprit même du calcul infinitésimal proprement dit.